2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（學(xué)生版）：第十一單元空間向量及其應(yīng)用

§11.1空間向量及其運(yùn)算

(對應(yīng)答案分冊第35~36頁)

................................圜基礎(chǔ)知識……，夯實(shí)基礎(chǔ)鞏固提升

?《知識清單》>

1.空間向量的有關(guān)定理

共線

向量對空間任意兩個向量a,次6,0),a”6的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)4使得

定理

共面

2如果兩個向量a,6不共線，那么向量"與向量共面的充要條件是存在唯一的有序

二亞實(shí)數(shù)對(xj),使得夕=%

/E埋

空間

向量如果三個向量a,6,c不共面，那么對空間任一向量夕，存在有序?qū)崝?shù)組｛x,卜力，使得

基本p=xa.其中｛a,6,4叫作空間的一個基底.

定理

2.兩個向量的數(shù)量積(與平面向量基本相同)

(1)兩向量的夾角:已知兩個非零向量3,6,在空間中任取一點(diǎn)。，作

而二&則叫作向量a與6的夾角，記作<a,6>.通常規(guī)

定，<<a,b><.若<46>苦則稱向量a6互相垂直,記作(3_1/?;若<3,6>=0或

va,6>n,則稱向量a,6互相平行，記作allb.

(2)兩向量的數(shù)量積

兩個非零向量a,6的數(shù)量積a6=.

(3)向量的數(shù)量積的性質(zhì)

@)ae=/3/2osva,e>(其中e為單位向量)；

②a_L/x=>;

③/

④1abi同間.

(4)向量的數(shù)量積滿足如下運(yùn)算律

(iXAa)-b=A(a-b)-,

②a6=b式交換律)；

③a(b+4=:(分配律).

3.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)設(shè)團(tuán)，曲由),6=(仇生甸，則

a+b=?+優(yōu)，力+6,為+bi),

a-6=(&-仇，力-笈,力-仇)，

Aa=(Aai,Aa2,Aai),

a-b=i：b,

ax.60al優(yōu)+a2b2+否0=0,

allb^ai=Ab].,a2=Ab2,a3=Ab3(A^^,

cos<a,b>=-^~

|a||b|

_。速1+。2b2+a3b3

Ja」+a介面Jb：+b，+b專

(2)設(shè)A(xi,yi,zi),B(X2,yz,Z2),

則萬=礪C?="…乙-Ni；

特別提醒

(1)注意向量夾角與兩直線夾角

的區(qū)別.

(2)共線向量定理中all6=存在唯一

的實(shí)數(shù)R,使3=助,易忽視6。0

的情況.

(3)共面向量定理中，注意有序?qū)崝?shù)對

(加0是唯一存在的.

(4)向量的數(shù)量積滿足交換律、分配

律，但不滿足結(jié)合律，即

(?6)?。不一定成立.

??分—基■?》

【概念辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.(對的打"V",錯的打"x")

(1)空間中任意兩非零向量3,6共面.

(2)在向量的數(shù)量積運(yùn)算中(a6)〈=a(b)

(3)對于非零向量6,由ab=bc得a=c.

(4)若｛a,6?是空間的一個基底，則a,中至多有一個零向量.

【對接教材】

如圖，在四面體0/6。中,O4_L8cO8_L/C試判斷。6■與的關(guān)系.

下列命題：

②若是空間中任意四點(diǎn)，則有荏+前+而而7割

②同-向=忖+川是a,6共線的充要條件；

淵共線，則a與6所在的直線平行；

④對空間任意一點(diǎn)。與不共線的三點(diǎn)48,￡若方=＜￥0/1+yOB+的4其中

x/,ZGR）,則R48c四點(diǎn)共面.

其中假命題的個數(shù)是（）.

A.lB.2C.3D.4

【易錯自糾】

已知空間四邊形O48C其對角線為O8/CM/V分別是邊04,C8的中點(diǎn)，點(diǎn)G

在線段M/V上，且/V/G=2G/V,則用向量?赤，沆表示向量而正確的是（）.

K0G=0A-h^0B-f-0C

B^0G=^0A-^；0B-^；0C

C^OG=^OA+^OB+^OC

633

D^OG=^0A-^OB-^OC

633

下列四個結(jié)論正確的是（）.

A.對于任意向量a,6,若a6=0,則＜a,6＞苦

B.若空間中點(diǎn)。,48,。滿足沆三函彳礪則48c三點(diǎn)共線

C.空間中任意向量3,6（都滿足（36）七二3（6。

D.已知向量a=（l,LM，6=（2x4）,若x＜|,則＜a,6＞為鈍角

講考點(diǎn)考向?，精研考向錘煉技能

d點(diǎn)鎏空間向量的線性運(yùn)算【題組過關(guān)】

1.

如圖，在長方體/8U。-481Gs中，。為力。的中點(diǎn).

⑴化簡:砧弓而曰詬二-

(2)用石，前，麗*表示^則西＞=.

如圖所示,在平行六面體ABCD-AiBiCiDi中，設(shè)彳否=a,都=b,而=c,M/V,P

分別是/4,8CGS的中點(diǎn)，試用a,6,c表示以下各向量:

(1)AP;(2)^N;(3)MP+NC1.

一用已知向量表示未知向量的解題策略

(1)用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)

(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.首尾相接的若干向量

之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們可把這個法則稱為

向量加法的多邊形法則.

(3)在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則,向量加法的平行四邊形法則在空間

中仍然成立.

至良?共線、共面向量定理的應(yīng)用【題組過關(guān)】

已知分別是空間四邊形的邊的中點(diǎn)，用向量方

法求證：

四點(diǎn)共面；

(2)8011平面EFGH.

如圖所示,已知斜三棱柱/8U-481G,點(diǎn)M/V分別在上,且滿足

宿=麻7，麗=碗（04心1）.判斷向量標(biāo)是否與向量存,旃＞共面.

G

在求一個向量由其他向量來表示時，通常是利用向量的三角形法則、

平行四邊形法則和共線向量的特點(diǎn)，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近.常

見的向量處理方法見下表：

三點(diǎn)（月4㈤共線空間四點(diǎn)（M44向共面

巨^=力而且同過點(diǎn)戶MP=AMA+>MB

對空間任意一點(diǎn)

對空間任意一點(diǎn)O,0P=0M+AMA+/而

--------->,>'''>

OQP=OA+植B

對空間任意一點(diǎn)

<9,OP=AOA+(1-對空間任意一點(diǎn)O,0P=AOM+順+(l-x^OB

A)OB

CH?空間數(shù)量積及應(yīng)用【典例遷移】

陽?。萑鐖D所示，已知三棱錐48。的每條棱長都為LSRG分別是

力民力。,。的中點(diǎn)，計算:

⑴喬研(2)苗麗

C

【變式設(shè)問】在本例條件下，求證:￡G，/8.

(1)空間向量數(shù)量積的計算方法

冊義法:設(shè)向量46的夾角為，則a-b=/3//b/cos6.

②^標(biāo)法:設(shè)權(quán)(牙1分,21),6=(檢以為,則a-b=x\X2+yiyi+z\Z2.

(2)數(shù)量積的應(yīng)用

②求夾角:設(shè)向量a,b所成的角為，則cos8=品，進(jìn)而可求出兩異面直線

所成的角.

②求長度(距離):運(yùn)用公式舒=?可可使線段長度的計算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)

量積的計算問題.

③解決垂直問題:利用以防？6印(衣0,6工0),可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)

量積的計算問題.

【追蹤訓(xùn)練】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系。-噂正方體的

棱長為1,頂點(diǎn)/位于坐標(biāo)原點(diǎn)，其中點(diǎn)8(1,0,0),點(diǎn)。(0,1,0),點(diǎn)/(0,0,1).

(1)若￡是棱8匕的中點(diǎn)，尸是棱的中點(diǎn),G是側(cè)面的中心，分別求

出向量岳，冠，刀的坐標(biāo);

(2)在⑴的條件下，分別求出(而+而)?而，府州值.

.....￡3方法技巧＞方法探究分類突破

0延突破?利用空間向量求距離和異面直線的夾角

陽硼如圖所示，已知空間四邊形力8。的每條邊和對角線長都等于1,E,F,G

分別是力民力。,。的中點(diǎn)，計算：

Q)&7的長；

(2)異面直線ZG與上所成角的余弦值.

C

E方法總結(jié)

(i)利用空間向量數(shù)量積求夾角:

設(shè)向量所成的角為日則cos

8=能，進(jìn)而可求兩異面直線所成的

|可出|

角.

(2)利用空間向量數(shù)量積求長度(距

離):運(yùn)用公式舒可使線段長度

的計算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計

算問題.

【突破訓(xùn)練】如圖，已知平行六面體ABCD-A1BCD1中，底面28。是邊

長為1的正方形,//h=2,N/i/8=N/h/O=120°.

(1)求線段ZG的長.

(2)求異面直線ACi與4。所成角的余弦值.

(3)求證:/4_L8D.

請完成課后作業(yè)

鏈接《精練案》分冊P75

§11.2用空間向量解決立體幾何問題

(對應(yīng)答案分冊第36~39頁)

......................圜基礎(chǔ)知識……，夯實(shí)基礎(chǔ)鞏固提升

?《知識清單》》

1.直線的方向向量與平面的法向量的確定

(1)直線的方向向量:/是空間一直線,48是直線/上任意兩點(diǎn)則稱四為直線

/的方向向量，與通平行的任意也是直線/的方向向量，顯然一條直線的

方向向量可以有無數(shù)個.

(2)平面的法向量

②定義:與平面的向量，稱為平面的法向量.一個平面的法向量有無數(shù)多

個，任意兩個都是共線向量.

②確定:設(shè)a,6是平面a內(nèi)兩個不共線向量，〃為平面。的法向量則求法向

量的方程組為｛::二*

2.空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

直線44的方An勿IIni=

向向量分別為

/?L±/72<=>

直線/的方向Zua/7-L/77O-0

向量為〃，平面

a的法向量為/±an\\mon二Am

m

平面a/的法a\\(Snilm<^n=Am

向量分別為

a±/3/7-L777="777=0

n,m

3.空間向量與空間角的關(guān)系

(1)兩條異面直線所成角的求法(a,6分別為的方向向量)

a與。的夾角

4與人所成的角e

(T

范圍(O,TT)

力|

e=/CGS夕n|a

求法8ss不而COS雨

(2)直線和平面所成角的求法

如圖所示,設(shè)直線/的方向向量為e,平面a的法向量為直線/與平面a所

成的角為夕,兩向量e與〃的夾角為8,則有sin(p=/cos勿=辭%

(3)二面角的求法

如圖。,/民。是二面角a-//兩個半平面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角0

的大小為ABCD.

如圖②③,/71,柩分別是二面角a-/-￡的兩個半平面a,￡的法向量，則二面角

6的大小滿足cos8=或.

4.空間距離

點(diǎn)/在平面a內(nèi)，點(diǎn)8在平面a外，向量〃為平面a的法向量，則點(diǎn)8到平

面0的距離〃窄.

□特別提醒

關(guān)注三種角的易錯點(diǎn)

(1)異面直線所成的角與其方向向量

的夾角:當(dāng)異面直線的方向向量的夾

角為銳角或直角時，就是該異面直線

的夾角;否則向量夾角的補(bǔ)角是該異

面直線所成的角.

(2)直線與平面所成的角:在上述求法

中要注意的是加。二鼎，而不是

cos

(3)二面角與法向量的夾角:利用平面

的法向量求二面角的大小時，當(dāng)求出

兩半平面的法向量小柩時，要

根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量

的方向，從而確定二面角與向量

力,/72的夾角是相等，還是互補(bǔ).

夯頭基礎(chǔ)

【概念辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.(對的打,錯的打"x")

Q)兩直線的方向向量的夾角就是兩條直線所成的角.()

(2)已知3=(-2,-3,1)力=(2,0,4)(=(4-6,2),則311強(qiáng)_16.()

(3)已知向量分別是直線/的方向向量和平面二的法向量，若cos<m,n>=-

翔直線/與平面a所成的角為120°.()

【對接教材】

2.

如圖所示，在棱長為1的正四面體力8。中,￡尸分別是力8,力。的中點(diǎn)，貝ij

=；EF-DC=.

如果PA,PB,PC是從氤戶出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°,那么直

線PU與平面外8所成角的余弦值為.

【易錯自糾】

若直線/的方向向量與平面a的法向量夾角的大小為120°,則直線/與平面a

所成角的大小為().

A.1200B.600

C.30°D.以上均錯

已知四二(2,2,1),就二(4,5,3),則平面/8U的單位法向量是

講考點(diǎn)考向?卜精研考向錘煉技能

利用空間向量證明平行、垂直問題【考向變換】

考向1利用空間向量證明平行問題

初。(一題多解)

如圖所示，在正方體/8。-481G中,M/v分別是Gc81G的中點(diǎn).求

證:例Ml平面48。

一—利用空間向量證明平行的方法

(1)線線平行:證明兩直線的方向向量共線.

(2)線面平行:②證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直;②證明直

線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行;③可在平面a內(nèi)取基向量{a,e},

證明存在實(shí)數(shù)44,使直線/的方向向量a=尢a+力20,然后說明/不在平面a

內(nèi)即可.

(3)面面平行:②證明兩平面的法向量為共線向量;②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線

平行問題.

【追蹤訓(xùn)練1］已知在四棱錐"乂8。中，底面力8。是直角梯

形,/必。-90°,2力8=2/。=《。,側(cè)面以。是正三角形且垂直于底面ABCD,E是

PU的中點(diǎn).試問在所上是否存在一點(diǎn)￡使/尸II平面BDR

考向2利用空間向量證明垂直問題

初?在四棱錐2/8。中，底面力8。為正方形/O_L平面ABCD,E,F分

別為棱戶8的中點(diǎn)，且夕。=/。求證:平面CFEL平面PBC.

■利用空間向量證明垂直的方法

(1)線線垂直:證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零.

(2)線面垂直:證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判

定定理用向量表示.

(3)面面垂直:證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄?/p>

表小.

【追蹤訓(xùn)練2】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為d的正方

形，側(cè)面外21底面且PA=PD斗AD,設(shè)"分別為戶的中點(diǎn).

(1)求證:的I平面PAD.

(2)求證:外，平面PDC.

至利用空間向量求空間角【考向變換】

考向1求異面直線所成的角

劍?如圖，在三棱柱/8U-481G中,881_1平面/8CN必U-90°,￡是BC

的中點(diǎn),/U=/8=/4=2,求異面直線力￡與4U所成的角的大小.

用向量法求異面直線所成角的一般步驟

(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系.

(2)確定異面直線上兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量.

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.

(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值.

□特別提醒

注意向量的夾角與異面直線所

成的角的區(qū)別：

當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳

角或直角時，就是此異面直線所成的

角;當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為

鈍角時，其補(bǔ)角才是異面直線所成的

角.

【追蹤訓(xùn)練3】

如圖所示，在三棱錐P-/8U中,E4_L平面力81。是棱所的中點(diǎn)，已知

外=8U=2,/8=4,U81./8,貝ij異面直線戶所成角的余弦值為().

A烏

A10BT

rV30

D噂

考向2求直線與平面所成的角

幽CJ如圖，在四棱錐2/8。中，底面28。是平行四邊形,N/8U=60°,側(cè)

面以8JL底面ABCD,^BAP=^Q°,AB=AC=PA=2.

Q)求證:平面戶8。，平面PAC.

(2)若例為也的中點(diǎn),求直線用U與平面28U所成角的正弦值.

:向量法求線面角的兩大途徑

Q)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向

向量的夾角(或其補(bǔ)角).

(2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳

角，取其余角就是斜線與平面所成的角.

【追蹤訓(xùn)練4】如圖所示，在三棱柱/8U-481G中在平面Z8U

的射影為線段/U的中點(diǎn)。，側(cè)面Z4GU是菱形，平面員8。與棱4G交于點(diǎn)

￡

(1)判斷四邊形881的形狀并證明；

(2)求與平面力8員4所成角的正弦的最大值.

B

考向3求平面與平面所成的角

倒瘍?nèi)鐖D,四棱柱/8UO-481GO1的所有棱長都相

等,/CBD=O,AiGPI814=Q,四邊形/CCiAi和四邊形BDF員均為矩形.

(1)證明:QOJL底面ABCD.

(2)若NUM=60°,求二面角G-O81-。的余弦值.

」向量法求二面角(或其某個三角函數(shù)值)的四個步驟

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求出兩個半平面的法向量m,/72；

⑶設(shè)二面角的平面角為，貝0/=1cos<ni,n2>f,

(4)根據(jù)圖形判斷8為鈍角還是銳角，從而求出仇或其三角函數(shù)值).

【追蹤訓(xùn)練5］如圖,四棱錐2/8。中，底面為平行四邊

形,ND/8=6O°,/8=2/2Q0_L底面ABCD.

(1)證明:外，8D.

(2)若戶。求二面角力-08-0的余弦值.

利用法向量求點(diǎn)到平面的距離【典例遷移】

如圖,正方體ABCD-AxBxCiDi的棱長為4,動點(diǎn)戶在棱4&上.當(dāng)AiP^-AiBi

4

時，點(diǎn)C到平面戶的距離為

【變式設(shè)問】已知長方體ABCD-AiBiCiDi中,48=/。=2,/4=4,￡尸分別

為8見。的中點(diǎn)廁點(diǎn)尸到平面的距離為.

^點(diǎn)wvw撥ww*用向量法求點(diǎn)戶到平面a的距離的三個步驟

Q)在平面a內(nèi)取一點(diǎn)4確定向量方的坐標(biāo)表示；

(2)確定平面a的法向量〃

(3)代入公式4=智求解.

【追蹤訓(xùn)練6】'022-在棱長為1的正四面體力8。中，例為

力。上的一點(diǎn)，且/例=豺。,2為/U的中點(diǎn)廁點(diǎn)/到平面8/I4/V的距離為

()-

A.當(dāng)B日

C包D在

1010

..............................[3方法技巧＞方法探究分類突破

052突破C利用空間向量探究點(diǎn)的位置

￡3012?天滓聯(lián)如圖，在四棱錐G/8U。中，平面/8U。，平面

ABE,AB\\CD,ABLBC,AB=2BC=2CD=2,AE=BE=W,M為8F的中點(diǎn).

(1)求證：。41平面

(2)求二面角G80-U的正弦值.

(3)在線段上是否存在一點(diǎn)2使直線例。與平面8￡7V所成角的正弦值

為辟?若存在，求出//V的長;若不存在，說明理由.

E

【突破訓(xùn)練】在三棱錐S-/8U中,281.平面

S4C/SJ_SC/8=L/U=&上為力8的中點(diǎn)，例為CF的中點(diǎn).

(1)在線段58上是否存在一點(diǎn)/V,使用Ml平面以。若存在,指出點(diǎn)/V的位

置并給出證明;若不存在，說明理由.

(2)若NSC4=30°,求二面角S-UF-8的大小.

B

請完成課后作業(yè)

鏈接《精練案》分冊P76

解答題題型突破四立體幾何

(對應(yīng)答案分冊第40~42頁)

(突破點(diǎn)，立體幾何中的翻折問題

把一個平面圖形按照某種要求折起，轉(zhuǎn)化為空間圖形，進(jìn)而研究圖形在位置關(guān)

系和數(shù)量關(guān)系上的變化，這就是折疊問題.折疊問題是立體幾何的一個重要問題，

折疊與展開的轉(zhuǎn)變正是空間幾何與平面幾何問題轉(zhuǎn)化的集中體現(xiàn).此類問題是歷

年高考命題的一大熱點(diǎn),多涉及空間中的線面關(guān)系、體積的求解以及空間角、距

離的求解等問題.

考向1折疊后的線面關(guān)系

OO如圖②，在平面四邊形

中,8。二百/8,。=247,且“18。為等邊三角形.設(shè)￡為力。的中點(diǎn)，連接8￡將

△/8￡沿折起，使點(diǎn)力到達(dá)平面BCDE上方的點(diǎn)E連接PQPD,設(shè)廠是ZY■的

中點(diǎn)，連接如圖②.

(1)證明:8尸II平面PDE.

(2)若二面角P-BE-D為60°,設(shè)平面Q8U與平面ZY汪的交線為/求/與平

面■。所成角的正弦值.

折疊問題要抓住兩個關(guān)鍵點(diǎn):不變的線線關(guān)系、不變的數(shù)量關(guān)系.不變

ZWWVWWX

的線線關(guān)系，尤其是平面圖形中的線線平行、線線垂直關(guān)系是證明空間平行、垂

直關(guān)系的起點(diǎn)和重要依據(jù);不變的數(shù)量關(guān)系是求解幾何體的數(shù)字特征，如幾何體的

表面積、體積、空間中的角與距離等.

【突破訓(xùn)練1】如圖,四邊形為正方形,￡尸分別為

的中點(diǎn)，以。尸為折痕把△。尸U折起，使點(diǎn)U到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF1BF.

(1)證明:平面夕日」平面ABFD.

(2)求。戶與平面尸。所成角的正弦值.

考向2折疊后幾何體的數(shù)字特征

蒯?已知如圖。所示，在邊長為12的正方形44214中,88111811/4,

且力5=3,8U=4,/Wi分別交88i,UG于點(diǎn)8Q將該正方形沿88i,UG折疊，使

得/2i與重合，構(gòu)成如圖②所示的三棱柱/8U-4員G,在該三棱柱底邊

/U上有一點(diǎn)例滿足/例=攵⑨。0＜攵＜1),請在圖②中解決下列問題：

(1)求證:當(dāng)左=［時,8/II平面/PQ

(2)若直線8例與平面/PQ所成角的正弦值為唱，求Z的值.

折疊后幾何體的數(shù)字特征包括線段長度、幾何體的表面積與體積、

空間角與距離等.設(shè)計問題綜合、全面,也是高考命題的重點(diǎn).解決此類問題的關(guān)

鍵是準(zhǔn)確確定折疊后幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及平面圖形折疊前后的數(shù)量關(guān)系之間

的對應(yīng).

【突破訓(xùn)練2】如圖,在平行四邊形/8W

中,/8=/。=3//。14=90°,以/U為折痕將心。4折起，使點(diǎn)例到達(dá)點(diǎn)。的位

置，且

Q)證明:平面平面ABC.

(2)若Q為線段上一點(diǎn)，戶為線段8U上一點(diǎn)，且求三棱錐

Q-/89的體積.

【突破點(diǎn)?立體幾何中的探索性問題

探索性問題是相對于那種完全具備條件和固定答案的封閉題而言的,立體幾

何探索性試題的條件或結(jié)論不完備，要求解答者自己去探索,結(jié)合已有條件，進(jìn)行

觀察、分析、比較和概括.它對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法

的能力提出了較高的要求.它有利于培養(yǎng)學(xué)生探索、分析、歸納、判斷、討論與

證明等方面的能力,讓學(xué)生經(jīng)歷一個發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的全過程.

考向1空間平行關(guān)系的探索性問題

施I?如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD

中,zABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=^a點(diǎn)￡在也上，且PE:ED=2:1.

(1)證明:以J■平面/8UO

(2)求二面角的大小.

(3)在棱"C上是否存在一點(diǎn)￡使88平面力比?證明你的結(jié)論.

平行與垂直關(guān)系中探索性問題的類型及解題策略

(1)對命題條件的探索

晚猜后證，即先觀察并嘗試給出條件，再給出證明；

分通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明條件的充分性;

③把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題才采索出命題成立的條件.

(2)對命題結(jié)論的探索

質(zhì)索結(jié)論是什么，常從條件出發(fā)才呆索出要求的結(jié)論是什么；

②探索結(jié)論是否存在，常先假設(shè)結(jié)論存在，再在這個假設(shè)下進(jìn)行推理論證，尋

找與條件相符或矛盾的結(jié)論，相符則存在，矛盾則不存在.

【突破訓(xùn)練3】如圖。，在五邊形28次?尸中，△/8尸

為等腰三角形,N班尸=120°,四邊形BCEF%矩形,CE=2乘,EF=1,D%"的中

點(diǎn).將四邊形ADEF沿力。折起，使得平面力。9」平面如圖②.

圖①圖②

(1)在2。上是否存在一點(diǎn)E使得平面W國平面力8乃若存在，求出/"的

長;若不存在,請說明理由.

(2)求直線與平面28尸所成角的正弦值.

考向2空間垂直關(guān)系的探索性問題

創(chuàng)危!在如圖所示的幾何體中,四邊形。樂為正方形，四邊形為等腰

梯形,48llCD,AB=2BC^ABC=^QO,AC1.FB.

(1)求證:/Cl平面FBC.

(2)求直線8U與平面所成角的正弦值.

(3)線段￡。上是否存在點(diǎn)Q,使平面E4C1平面Q8a證明你的結(jié)論.

點(diǎn)￡這類問題的結(jié)論已經(jīng)給定，而需探求此結(jié)論成立的條件,常規(guī)的解決方

法:執(zhí)果索因，逆向求索，或合理猜想，再加以證明，即多采用分析法或猜想證明.

【突破訓(xùn)練4】如圖，在三棱柱/8U-481G中底面

ABC,AB1.BC,AB=1,BC=2,AAI=<3.

(1)求直線4。與ABi所成角的余弦值；

(2)設(shè)例為/U的中點(diǎn)，在平面8UG內(nèi)找一點(diǎn)N使得例/VJL平面48c求

點(diǎn)/V到平面/8U和平面/881的距離.

考向3空間角的探索性問題

幽瘍?nèi)鐖D，底面是邊長為3的正方形，平面力?！?3平面

ABCD,AF\\DE,AD1DE,AF=2瓜,DE=3瓜.

(1)求證:平面平面BED.

(2)求直線C4與平面8匠所成角的正弦值.

(3)在線段/尸上是否存在點(diǎn)M使得二面角股-86。的大小為60°?若存在,

求出券的值;若不存在，說明理由.

R;與空間角有關(guān)的探索性問題主要為與兩異面直線所成的角、直線與

ZWWWVW*

平面所成的角和二面角有關(guān)的存在性問題，常利用空間向量法求解.求解時，一般

把"是否存在"問題轉(zhuǎn)化為"點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解"等問

題，并注意準(zhǔn)確理解和熟練應(yīng)用夾角公式.

【突破訓(xùn)練5]如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1

中/8/U=90°,/8=/U=2,例為4G的中點(diǎn),/V為力以上一動點(diǎn).

(1)是否存在一點(diǎn)/V,使得線段例/Vll平面881Go若存在，指出點(diǎn)/V的位置;

若不存在,請說明理由.

(2)若/V為力員的中點(diǎn)且求二面角M-CN-A的正弦值.

'￡\

R_____—2

BC

延展點(diǎn)4空間幾何體建系的方法

(對應(yīng)答案分冊第39~40頁)

坐標(biāo)法是利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解答立體幾何問題的重要方法，運(yùn)用坐標(biāo)

法解題往往需要建立空間直角坐標(biāo)系.依據(jù)空間幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，充分利用圖

形中的垂直關(guān)系或構(gòu)造垂直關(guān)系來建立空間直角坐標(biāo)系，是運(yùn)用