2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 6-2-4向量的數(shù)量積第1課時(shí)向量數(shù)量積的概念 學(xué)案

第1課時(shí)向量數(shù)量積的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)知道向量數(shù)量積的物理背景，理解并掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量．(2)掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)，并會(huì)求向量的模與向量的夾角．題型1兩向量的夾角【問題探究1】如圖，一個(gè)物體在力F的作用下發(fā)生了位移s，那么該力對(duì)此物體所做的功為W＝|F||s|cosθ，在該公式中，涉及力與位移的夾角，我們要先定義向量的夾角的概念．什么是向量的夾角？例1已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？學(xué)霸筆記：(1)求兩個(gè)向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量起點(diǎn)重合，作兩個(gè)向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出．(2)特別地，a與b的夾角為θ，λ1a與λ2b（λ1，λ2是非零常數(shù))的夾角為θ0，當(dāng)λ1λ2<0時(shí)，θ0＝180°－θ；當(dāng)λ1λ2>0時(shí)，θ0＝θ.跟蹤訓(xùn)練1在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12AB，則AB與BC的夾角是(A．30°B．60°C．120°D．150°題型2兩向量的數(shù)量積【問題探究2】類比力做功的物理模型，你能給出向量數(shù)量積的定義嗎？兩個(gè)向量的數(shù)量積還是向量嗎？例2如圖，在平行四邊形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝3，∠DAB＝60°，求：(1)AD·BC；(2)AB·CD；(3)AB·AD.學(xué)霸筆記：定義法求平面向量的數(shù)量積若已知兩向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b＝|a||b|cosθ.運(yùn)用此法計(jì)算數(shù)量積的關(guān)鍵是確定兩個(gè)向量的夾角，條件是兩向量的起點(diǎn)必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件．跟蹤訓(xùn)練2在等邊三角形ABC中，邊長為2，求AB·AC，AB·題型3投影向量【問題探究3】如圖，設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，那么OM1與e，a，θ例3如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D為BC的中點(diǎn)．(1)求BA在CD上的投影向量；(2)求CD在BA上的投影向量．學(xué)霸筆記：(1)任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cosθe(θ為向量a，b的夾角，e為與b同向的單位向量(2)在平面幾何圖形中，求一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影向量時(shí)，關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)拇咕€，根據(jù)題意確定向量的模及兩向量的夾角．跟蹤訓(xùn)練3已知|a|＝1，|b|＝3，a·b＝－3，則向量a在向量b上的投影向量為________．題型4向量數(shù)量積的性質(zhì)【問題探究4】探究以下問題，嘗試發(fā)現(xiàn)數(shù)量積的性質(zhì)．(1)向量a與單位向量e的數(shù)量積結(jié)果是什么？(2)當(dāng)兩個(gè)非零向量a與b互相平行或垂直時(shí)，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性，這時(shí)它們的數(shù)量積又有怎樣的特殊性？(3)|a·b|與|a||b|有什么關(guān)系？例4已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，當(dāng)a·b滿足下列哪個(gè)條件時(shí)，能確定△ABC的形狀？如能確定，指出三角形的形狀，如不能確定，請說明理由．(1)a·b<0；(2)a·b＝0；(3)a·b>0.學(xué)霸筆記：利用數(shù)量積的性質(zhì)判斷三角形的形狀關(guān)鍵看角的大小，若其中有一個(gè)角為鈍角或直角，那么三角形為鈍角三角形或直角三角形，若其中有一個(gè)角為銳角，三角形的形狀不能判斷為銳角三角形．跟蹤訓(xùn)練4已知a，b，c是三個(gè)非零向量，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)為()①若a·b＝±|a|·|b|，則a∥b；②若a，b反向，則a·b＝－|a|·|b|；③若a⊥b，則|a＋b|＝|a－b|；④若|a|＝|b|，則|a·c|＝|b·c|.A．1B．2C．3D．4隨堂練習(xí)1．已知單位向量a，b，夾角為30°，則a·b＝()A．12B．32C．1D2．若a·b>0，則a與b的夾角θ的取值范圍是()A．[0，π2)B．[π2C．(π2，π]D．(π23．已知平面向量a，b的夾角為π3，且a＝4，b＝4，則a·b＝(A．4B．43C．8D．834．已知|a|＝2，a與b的夾角為2π3，e是與b同向的單位向量，則a在b方向上的投影向量為課堂小結(jié)1.向量數(shù)量積的定義，會(huì)用數(shù)量積的定義求兩個(gè)向量的數(shù)量積．2．會(huì)求一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影向量．3．向量數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用．第1課時(shí)向量數(shù)量積的概念問題探究1提示：已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB＝θ叫作向量a與b的夾角，夾角的取值范圍是0≤θ≤π.例1解析：如圖所示，作OA＝a，OB＝b，且∠AOB＝60°.以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形則OC＝a＋b，BA＝a－b.因?yàn)閨a|＝|b|＝2，所以平行四邊形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以O(shè)C與OA的夾角為30°，BA與OA的夾角為60°.即a＋b與a的夾角是30°，a－b與a的夾角是60°.跟蹤訓(xùn)練1解析：如圖，作向量AD＝BC，則∠BAD是AB與BC的夾角，在△ABC中，因?yàn)椤螦CB＝90°，BC＝12AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即AB與BC的夾角是120°.故選答案：C問題探究2提示：已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(θ為a，b的夾角)．由數(shù)量積的定義知兩個(gè)向量的數(shù)量積不是向量是數(shù)量．例2解析：(1)平行四邊形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝3，∠DAB＝60°，∵AD＝BC，∴AD·BC＝AD2＝9.(2)∵AB＝－CD，∴AB·CD＝－AB2＝－16.(3)根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義知，AB·AD＝|AB|×|AD|×cos60°＝4×3×12跟蹤訓(xùn)練2解析：AB·AC＝|AB||AC|cosA＝2×2×12＝2AB·BC＝－BA·BC＝－|BA||BC|cosB＝－2×2×12問題探究3提示：OM1＝|a|cosθe例3解析：因?yàn)椤鰽BC為等腰三角形，且D為BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC，又因?yàn)锳B＝2，∠ABC＝30°，所以CD＝BD＝AB·cos30°＝3.由圖可知向量BA與向量CD的夾角為∠ABC的補(bǔ)角，所以向量BA與向量CD的夾角為150°，CDCD＝13CD(1)BA在CD上的投影向量為|BA|cos150°×CDCD＝2×cos150°×13CD(2)CD在BA上的投影向量為|CD|cos150°×BABA＝3×cos150°×12BA跟蹤訓(xùn)練3解析：∵a·b＝|a||b|cosθ＝－3，又|b|＝3，∴|a|cosθ＝－1，又bb＝b所以向量a在向量b方向上的投影向量為－13b答案：－13問題探究4提示：(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝a·(3)|a·b|≤|a||b|.例4解析：∵a·b＝AB·AC＝|AB||AC|cosA.故(1)當(dāng)a·b<0時(shí)，∠A為鈍角，△ABC為鈍角三角形；(2)當(dāng)a·b＝0時(shí)，∠A為直角，△ABC為直角三角形；(3)當(dāng)a·b>0時(shí)，∠A為銳角，△ABC的形狀不確定．跟蹤訓(xùn)練4解析：對(duì)于①，設(shè)a，b的夾角為θ，∵a·b＝|a||b|cosθ，∴由a·b＝±|a||b|及a，b為非零向量，可得cosθ＝±1，∴θ＝0或π，∴a∥b，故①正確；對(duì)于②，若a，b反向，則a，b的夾角為π，∴a·b＝|a||b|·cosπ＝－|a||b|，故②正確；對(duì)于③，當(dāng)a⊥b時(shí)，將向量a，b的起點(diǎn)確定在同一點(diǎn)，則以向量a，b為鄰邊作平行四邊形，該平行四邊形必為矩形，于是它的兩條對(duì)角線長相等，即有|a＋b|＝|a－b|，故③正確；對(duì)于④，當(dāng)|a|＝|b|，但a與c的夾角和b與c的夾角不等時(shí)，|a·c|≠|(zhì)b·c|，故④錯(cuò)誤．故選C.答案：C[隨堂練習(xí)]1．解析：由向量的數(shù)量積公式，得a·