新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則學(xué)案北師大版選擇性必修第二冊

§5簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則．2．能求簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．核心素養(yǎng)通過求簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)1復(fù)合函數(shù)的概念對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝φ(x)，給定x的一個(gè)值，就得到了u的值，進(jìn)而確定了y的值，那么y可以表示成x的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)_y＝f(u)__和_u＝φ(x)__的復(fù)合函數(shù)，記作_y＝f(φ(x))__，其中u為中間變量．[提醒]討論復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成時(shí)，“內(nèi)層”“外層”函數(shù)一般應(yīng)是基本初等函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等．然后從外向內(nèi)逐層求導(dǎo)．想一想：如何求復(fù)合函數(shù)y＝f(φ(x))的定義域？提示：由內(nèi)函數(shù)u＝φ(x)的值域包含于外函數(shù)y＝f(u)的定義域所求得的x的取值集合就是復(fù)合函數(shù)y＝f(φ(x))的定義域．練一練：思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)復(fù)合函數(shù)y＝f(φ(x))的定義域就是內(nèi)函數(shù)u＝φ(x)的定義域．(×)(2)復(fù)合函數(shù)y＝f(φ(x))的定義域就是內(nèi)函數(shù)u＝φ(x)的值域．(×)(3)復(fù)合函數(shù)y＝f(φ(x))的定義域就是外函數(shù)y＝f(u)的定義域．(×)(4)(ln|x|)′＝eq\f(1,x).(√)知識(shí)點(diǎn)2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y＝f(φ(x))的導(dǎo)數(shù)為：y′x＝_[f(φ(x))]′__＝_f_′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x)__.想一想：任何兩個(gè)函數(shù)都能復(fù)合嗎？提示：只有外函數(shù)y＝f(u)的定義域與內(nèi)函數(shù)u＝φ(x)的值域的交集非空時(shí)才能復(fù)合．練一練：1．函數(shù)y＝eq\f(1,(3x－1)2)的導(dǎo)數(shù)是(C)A．y′＝eq\f(6,(3x－1)3) B．y′＝eq\f(6,(3x－1)2)C．y′＝－eq\f(6,(3x－1)3) D．y′＝－eq\f(6,(3x－1)2)[解析]∵y＝eq\f(1,(3x－1)2)＝(3x－1)－2，∴y′＝－2(3x－1)－3·(3x－1)′＝－6(3x－1)－3＝－eq\f(6,(3x－1)3).2．已知函數(shù)f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，則a＝_1__.[解析]易得f′(x)＝4(2x＋a)，又f′(2)＝20，即4(4＋a)＝20，解得a＝1.題型探究題型一復(fù)合函數(shù)的概念典例1函數(shù)y＝eq\f(1,(2x＋1)2)可以看成哪兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合？[解析]函數(shù)y＝eq\f(1,(2x＋1)2)可以看成函數(shù)y＝eq\f(1,u)與函數(shù)u＝(2x＋1)2的復(fù)合，也可以看成函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,u)))2與函數(shù)u＝2x＋1的復(fù)合．[規(guī)律方法]1.不是任意兩個(gè)函數(shù)都能復(fù)合，只有內(nèi)函數(shù)的值域與外函數(shù)的定義域的交集非空時(shí)，才能復(fù)合．2．一個(gè)復(fù)合函數(shù)有不同的復(fù)合形式，要根據(jù)研究的需要進(jìn)行選擇．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?函數(shù)y＝e2x－1可以看成哪兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合？[解析]函數(shù)y＝e2x－1可以看成函數(shù)y＝eu與函數(shù)u＝2x－1的復(fù)合．題型二復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)典例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(4－3x)2；(2)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))；(3)y＝ln(4x－1)；(4)y＝ex2.[分析]先分析每個(gè)復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，再按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)．[解析](1)設(shè)y＝u2，u＝4－3x，則yu′＝2u，ux′＝－3，于是yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝－6(4－3x)＝18x－24，即y′＝18x－24.(2)設(shè)y＝cosu，u＝2x－eq\f(π,4)，則yu′＝－sinu，ux′＝2，于是yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，即y′＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))).(3)設(shè)y＝lnu，u＝4x－1，則yu′＝eq\f(1,u)，ux′＝4，于是yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝eq\f(4,4x－1)，即y′＝eq\f(4,4x－1).(4)設(shè)y＝eu，u＝x2，則yu′＝eu，ux′＝2x，于是yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝ex2·2x，即y′＝2xex2.[規(guī)律方法]求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?(1)函數(shù)y＝x2cos2x的導(dǎo)數(shù)為(B)A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x(2)若f(x)＝eq\r(ax－1)，且f′(1)＝1，則a的值為(B)A．1 B．2C．3 D．4(3)函數(shù)f(x)＝(2x＋1)5，則f′(0)的值為_10__.[解析](1)y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.(2)∵f′(x)＝eq\f(1,2\r(ax－1))·(ax－1)′＝eq\f(a,2\r(ax－1))，∴f′(1)＝eq\f(a,2\r(a－1))＝1，解得a＝2.(3)f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，∴f′(0)＝10.題型三與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的切線問題典例3(1)函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的傾斜角為(D)A．0 B．eq\f(π,2)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,4)(2)已知直線y＝x＋2與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a＝_3__.[分析](1)先求出函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即為切線的斜率，從而求得切線在此處的傾斜角．(2)先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，從而求得a的值．[解析](1)∵f′(x)＝eq\f(2x,x2＋1)，∴函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率k＝f′(1)＝eq\f(2,1＋1)＝1.設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的傾斜角為θ，則tanθ＝1，∴θ＝eq\f(π,4).(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝eq\f(1,x＋a)(x＋a)′＝eq\f(1,x＋a)，∴切線的斜率k＝eq\f(1,x0＋a)＝1，∴x0＋a＝1.又∵y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，又∵y0＝x0＋2＝0，∴x0＝－2.∴a＝3.[規(guī)律方法]解決與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的切線問題的關(guān)鍵有兩個(gè)：(1)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這是正確解答的前提條件，要注意把復(fù)合函數(shù)逐層分解，求導(dǎo)時(shí)不要有遺漏．(2)求切線方程，注意切線所過的點(diǎn)是否為切點(diǎn)．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝e－x－1－x，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是_2x－y＝0__.[解析]設(shè)x>0，則－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)為偶函數(shù)，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝ex－1＋x.因此，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率為f′(1)＝2，所以切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.易錯(cuò)警示對(duì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)不完全而致誤在對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，恰當(dāng)?shù)剡x擇中間變量及分析函數(shù)的復(fù)合層次是關(guān)鍵．一般從最外層開始，由外及里，一層層地求導(dǎo)，最后要把中間變量變成自變量的函數(shù)．典例4函數(shù)y＝xe1－2x的導(dǎo)數(shù)為_(1－2x)e1－2x__.[錯(cuò)解]y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x.[正解]y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(－2)＝(1－2x)e1－2x.[點(diǎn)評(píng)]錯(cuò)解中對(duì)e1－2x求導(dǎo)數(shù)，沒有按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行，導(dǎo)致求導(dǎo)不完全.1.函數(shù)y＝(x2－1)n的復(fù)合過程正確的是(A)A．y＝un，u＝x2－1B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)nD．y＝(t－1)n，t＝x2－1[解析]將x2－1看作整體，記u＝x2－1，則y＝(x2－1)n由y＝un和u＝x2－1復(fù)合而成．2．已知f(x)＝ln(2x＋1)－ax，且f′(2)＝－1，則a＝(A)A.eq\f(7,5) B．eq\f(6,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)[解析]f′(x)＝eq\f(2,2x＋1)－a，所以f′(2)＝eq\f(2,5)－a＝－1，解得a＝eq\f(7,5).3．設(shè)f(x)＝cos2x－3x，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝(B)A．－5 B．－3C．－4 D．－eq\f(