2023年全國統(tǒng)一高考文科數(shù)學(xué)試卷（全國甲卷）（含答案與解析）

2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）設(shè)全集，2，3，4，，集合，，，，則A．，3， B．，3， C．，2，4， D．，3，4，2．（5分）A． B．1 C． D．3．（5分）已知向量，，則，A． B． C． D．4．（5分）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為A． B． C． D．5．（5分）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則A．25 B．22 C．20 D．156．（5分）執(zhí)行下邊的程序框圖，則輸出的A．21 B．34 C．55 D．897．（5分）設(shè)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則A．1 B．2 C．4 D．58．（5分）曲線在點(diǎn)處的切線方程為A． B． C． D．9．（5分）已知雙曲線的離心率為，的一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，則A． B． C． D．10．（5分）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，，則該棱錐的體積為A．1 B． C．2 D．311．（5分）已知函數(shù)．記，，，則A． B． C． D．12．（5分）函數(shù)的圖象由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為．14．（5分）若為偶函數(shù)，則．15．（5分）若，滿足約束條件，則的最大值為．16．（5分）在正方體中，，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17．（12分）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，求面積．18．（12分）如圖，在三棱柱中，平面，．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，，求四棱錐的高．19．（12分）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：．試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；（2）（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表；對(duì)照組試驗(yàn)組（ⅱ）根據(jù)中的列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.63520．（12分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．21．（12分）已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，．（1）求；（2）設(shè)為的焦點(diǎn)，，為上兩點(diǎn)，且，求面積的最小值．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．（10分）已知點(diǎn)，直線為參數(shù)），為的傾斜角，與軸正半軸、軸正半軸分別交于，，且．（1）求；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程．[選修4-5：不等式選講]23．設(shè)，函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若曲線與軸所圍成的圖形的面積為2，求．

【參考答案與解析】1．【答案】A【解析】解：因?yàn)椋?，3，4，，集合，，，，所以，3，，則，3，．故選：．2．【答案】C【解析】解：．故選：．3．【答案】B【解析】解：根據(jù)題意，向量，，則，，則有，，，故，．故選：．4．【答案】D【解析】解：某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，基本事件總數(shù)，這2名學(xué)生來自不同年級(jí)包含的基本事件個(gè)數(shù)，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為．故選：．5．【答案】C【解析】解：等差數(shù)列中，，所以，，故，則，，則．故選：．6．【答案】B【解析】解：模擬執(zhí)行程序框圖，如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，輸出．故選：．7．【答案】B【解析】解：根據(jù)題意，點(diǎn)在橢圓上，滿足，可得，又由橢圓，其中，則有，，可得，故選：．8．【答案】C【解析】解：因?yàn)?，，故函?shù)在點(diǎn)處的切線斜率，切線方程為，即．故選：．9．【答案】D【解析】解：雙曲線的離心率為，可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為：，一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，圓的圓心，半徑為1，圓的圓心到直線的距離為：，所以．故選：．10．【答案】A【解析】解：如圖，，，取的中點(diǎn)，連接，，可得，，又，、平面，平面，在與中，求得，在中，由，，得，則，，．故選：．11．【答案】A【解析】解：令，則的開口向下，對(duì)稱軸為，，而，，，由一元二次函數(shù)的性質(zhì)可知，，而，，，綜合可得，又為增函數(shù)，，即．故選：．12．【答案】C【解析】解：的圖象向左平移個(gè)單位長度得到，在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖：的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：3．故選：．13．【答案】【解析】解：等比數(shù)列中，，則，所以，解得．故答案為：．14．【答案】2【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)，若為偶函數(shù)，則，變形可得在上恒成立，必有．故答案為：2．15．【答案】15【解析】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，由得，則表示直線在軸截距，截距越大，越大，結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，最大，聯(lián)立可得，此時(shí)取得最大值15．16．【答案】，【解析】解：設(shè)球的半徑為，當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會(huì)包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒有交點(diǎn)，正方體的外接球直徑為體對(duì)角線長，即，，故，分別取側(cè)枝，，，的中點(diǎn)，，，，則四邊形是邊長為4的正方形，且為正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，連接，則，當(dāng)球的一個(gè)大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑最小，即的最小值為，綜上，球的半徑的取值范圍是，．17．【答案】解：（1）因?yàn)?，所以；?），所以，所以，所以，即，由為三角形內(nèi)角得，面積．【解析】（1）由已知結(jié)合余弦定理進(jìn)行化簡即可求解；（2）先利用正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡可求，進(jìn)而可求，然后結(jié)合三角形面積公式可求．18．【答案】解：（1）底面，面，，又，，平面，，平面，又平面，平面平面；（2）平面，，平面，，，，，△，，底面，面，，，，，，過作于，，為的中點(diǎn)，，由（1）可知平面，四棱錐的高為1．【解析】（1）根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得平面平面；（2）利用已知可得，進(jìn)而可得，過作于，可得為四棱錐的高，求解即可．19．【答案】解：（1）根據(jù)題意，計(jì)算試驗(yàn)組樣本平均數(shù)為．（2）由題意知，這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排列后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，因?yàn)樵瓟?shù)據(jù)的第11位數(shù)據(jù)是18.8，后續(xù)依次為19.2，19.8，20.2，20.2，21.3，21.6，22.5，22.8，23.2，23.6，，所以第20位為23.2，第21位數(shù)據(jù)為23.6，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是；填寫列聯(lián)表如下：合計(jì)對(duì)照組61420試驗(yàn)組14620合計(jì)202040根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，所以有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異．【解析】（1）根據(jù)平均數(shù)的定義計(jì)算即可．（2）把兩組數(shù)據(jù)合在一起，按從小到大排列后求中位數(shù)，填寫列聯(lián)表即可；根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計(jì)算，對(duì)照臨界值得出結(jié)論．20．【答案】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，令，，，，又，，在上單調(diào)遞減；（2）設(shè)，，則，，，在上單調(diào)遞減，若，又，則，，當(dāng)時(shí)，，又，，，，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，，，滿足題意；綜合可得：若，則，所以的取值范圍為，．【解析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，再判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可求解；（2）設(shè)，，利用其二階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)可得一階導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減，再根據(jù)及，可得，再分類討論驗(yàn)證，即可求解．21．【答案】解：設(shè)，，，，聯(lián)立，消去得：，，，△，，，，，，，，（2）由（1）知，所以，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線，，，，由，可得，所以，，△，因?yàn)?，所以，即，即，將，，代入得，，所以，且，解得或．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，，所以的面積，又或，所以當(dāng)時(shí)，的面積．【解析】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出；（2）設(shè)直線，，，，，利用，找到，的關(guān)系，以及的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．22．【答案】解：（1）直線為參數(shù)）化為普通方程為，令，得，令，得，所以，，所以，整理得，因?yàn)榕c軸正半軸、軸正半軸分別交于，，所以，所以，故；（2）由（1）得，即，因?yàn)?，，所以極坐標(biāo)方程為，即．【解析】（1）先把參數(shù)方程化為普通方程，然后求出，的坐標(biāo)，進(jìn)而可求，結(jié)合已知可求，進(jìn)而可求；（2）