2023高考真題15 立體幾何中球的問題

專題15立體幾何中球的問題

【高考真題】

1.（2022?新高考II）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3G和46，其頂點(diǎn)都在同一球面上，

則該球的表面積為（）

A.1007TB.128兀c.1447tD.192兀

2.（2022?全國乙理）己知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為。，底面的四個頂點(diǎn)均在球。的球面上，則當(dāng)

該四棱錐的體積最大時，其高為（）

A.-B.-C.也D.總

3232

3.（2022?新高考I）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36兀，且3W

I

W3小，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

A.[18,y]B.g,yjC.Ly,y]D.[18,27]

【方法總結(jié)】

如果一個多面體的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多

面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點(diǎn)與難點(diǎn)，也是高考考查的一個熱點(diǎn).考

查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球問題，既要運(yùn)用多面體的知識，又要運(yùn)用球的

知識，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.并且還要特

別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至

關(guān)重要的作用.

球的內(nèi)切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決.如果外

切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作.當(dāng)球與多面體的各個面相切時，注意球

心到各面的距離相等即球的半徑，求球的半徑時，可用球心與多面體的各頂點(diǎn)連接，球的半徑為分成的小

棱錐的高，用體積法來求球的半徑.

空間幾何體的外接球與內(nèi)切球十大模型

1.墻角模型；2.對棱相等模型；3.漢堡模型；4.垂面模型；5.切瓜模型；6.斗笠模型：7.鱷

魚模型；8.己知球心或球半徑模型；9.最值模型；10.內(nèi)切球模型.

可參考：侯永青工作室《2022年高考數(shù)學(xué)之解密幾何體的外接球與內(nèi)切球十大模型命題點(diǎn)對點(diǎn)突破》

【題型突破】

1.點(diǎn)A,B,C,。均在同一球面上，且AB,AC,AZ）兩兩垂直，且AB=1,AC=2,AO=3,則該球的

表面積為（）

A.7兀B.14兀C.%D.

2.等腰AABC中，AB=AC=5,BC=6,將AA8C沿8C邊上的高AO折成直二面角8—4￡＞一。，則三棱

錐8—AC。的外接球的表面積為（）

20

A.5兀B.-TTC.10兀D.34TC

3.已知球。的球面上有四點(diǎn)A,B,C,D,D4_L平面ABC,ABLBC,DA=AB=BC=?則球。的體

積等于.

4.已知四面體尸一ABC四個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若P2_L平面ABC,ABLAC,且AC=1,AB=PB

=2,則球。的表面積為.

5.三棱錐P-ABC中，AABC為等邊三角形，PA=PB=PC^3,PA1PB,三棱錐P-ABC的外接球的體

積為（）

A.李兀B.27y兀C.27、/57rD.27兀

6.已知正四面體A8C￡?的外接球的體積為8加兀，則這個四面體的表面積為.

7.表面積為8G的正四面體的外接球的表面積為（）

A.4后乃B.12萬C.8萬D.4灰）兀

8.已知四面體4BCD滿足A8=CO=,，AC=AD=BC=BD=2,則四面體ABC。的外接球的表面積是

9.三棱錐中S-ABC,SA=BC=S8=AC=小，SC^AB=y[}0.則三棱錐的外接球的表面積為.

10.已知一個四面體A8CD的每個頂點(diǎn)都在表面積為9兀的球O的表面上，且AB=CD=a,AC^AD^BC

—BD=y[5,則。=.

11.一直三棱柱的每條棱長都是2,且每個頂點(diǎn)都在球。的表面上，則球。的表面積為（）

A.等B*C警D.由兀

12.一個正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，己知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上，且該

六棱柱的體積為底面周長為則這個球的體積為.

O3,

13.已知正三棱柱ABC—4BC1中，底面積為斗，一個側(cè)面的周長為6V5,則正三棱柱ABC-48cl外

接球的表面積為（）

A.4兀B.8兀C.16兀D.32兀

14.已知直三棱柱ABC—ASG的6個頂點(diǎn)都在球。的球面上，若AB=3,AC=1,ZBAC=60°,AAt

=2,則該三棱柱的外接球的體積為（）

40兀c40^兀-320\^5兀一“

A.B.-27-C.—27—D.20K

15.已知矩形ABC。中，AB=2AD=2,￡,尸分別為AB,CO的中點(diǎn)，將四邊形AEF。沿EF折起，使二

面角A—EF—C的大小為120。，則過A,B,C,D,E,尸六點(diǎn)的球的表面積為（）

A.6兀B.5兀C.4兀D.3兀

16.三棱錐S—ABC中，SAL底面ABC,若SA=AB=BC=AC=3,則該三棱錐外接球的表面積為（）

A.18兀B.C.217tD.42n

17.四面體ABC。的四個頂點(diǎn)都在球。的表面上，A8L平面88,△8CZ）是邊長為3的等邊三角形，若

AB=2,則球O的表面積為（）

A.4兀B.12兀C.16兀D.327r

18.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，SAJ_平面ABC,SA=2季,AB=\,AC=2,Z

BAC=60。，則球。的表面積為（）

A.4兀B.12兀C.16兀D.64兀

19.在三棱錐產(chǎn)一ABC中，已知以J_底面ABC,N54C=60。，PA=2,AB=AC=小，若該三棱錐的頂點(diǎn)

都在同一個球面上，則該球的表面積為（）

A.號B.8，'C.8兀D.127t

20.在三棱錐A—BCQ中，AC=CD=巾,AB=AD=BD=BC=\,若三棱錐的所有頂點(diǎn)，都在同一球面

上，則球的表面積是.

21.把邊長為3的正方沿對角線AC對折，使得平面A8C_L平面4X7,則三棱錐的外接

球的表面積為（）

A.32萬B.27萬C.18萬D.9萬

22.在三棱錐4-8CD中，△4CO與A8C。都是邊長為4的正三角形，且平面ACD_L平面8CD,則該三

棱錐外接球的表面積為.

23.已知如圖所示的三棱錐。一ABC的四個頂點(diǎn)均在球。的球面上，AABC和△O8C所在的平面互相垂

直，AB=3,4?=小，BC=CD=BD=2小,則球。的表面積為（）

A.4兀B.12兀C.16KD.36兀

TT

24.在三棱錐A-BCD中，平面/SC_L平面BCD,A4BC是邊長為2的正三角形，若NBDC=—,三棱

4

錐的各個頂點(diǎn)均在球O上，則球O的表面積為（）.

25.已知空間四邊形/WCD,ZBAC=-TT,AB=AC=26BD=4,8=26，且平面ABC_L平面BC￡>

3

,則該幾何體的外接球的表面積為（）

A.24萬B.48萬C.64萬D.96萬

26.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,母線Q4與底面所成的角為30。，底面圓心O到的距離為1,則該圓錐外接

球的表面積為.

27.在三棱錐P-A8C中，PA=PB=PC=6側(cè)棱心與底面A8C所成的角為60。，則該三棱錐外接球

的體積為（）

A.萬B.C.4兀D.牛

28.在三棱錐中，PA=PB=PC=R,AC=AB=2,且則該三棱錐外接球的表面

積

為（）

A.47rB.84C.16/rD.9%

29.已知體積為G的正三棱錐P-ABC的外接球的球心為O,若滿足OA+O8+OC=0,則此三棱錐外

接

球的半徑是（）

A.2B.y/2C.^2D.^4

30.已知正四棱錐P—A8CQ的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面正方形的邊長為啦，若該正四棱錐的體積為

2,則此球的體積為（）

I24n625TI「500?t256n

A.3B.81C-81D-9

31.在三棱錐S—ABC中，S8=SC=AB=3C=AC=2,二面角S-3C-A的大小為60。，則三棱錐S-AB

C外接球的表面積是（）

A14萬167r廠40452萬

3399

32.已知三棱錐A-38,3c=6,且AABC、ABCD均為等邊三角形，二面角A-BC-D的平面角為60。，

則三棱錐外接球的表面積是.

33.已知邊長為6的菱形A8a＞中，ZBAD=U0°,沿對角線AC折成二面角AC-￡＞的大小為6的四

面體且cos6?=，,則四面體A8CD的外接球的表面積為.

3

34.在三棱錐P-ABC中，頂點(diǎn)P在底面4?C的投影G是AABC的外心，PB=BC=2,且面尸BC與底

面

所成的二面角的大小為60。，則三棱錐尸-ABC的外接球的表面積為.

35.直角三角形ABC,ZABC=~,AC+3C=2,將AABC繞AB邊旋轉(zhuǎn)至AABC位置，若二面角C—AB

2

-C'的大小為空，則四面體C'-/WC的外接球的表面積的最小值為（）

3

3

A.64B.3兀C.—reD.2冗

2

36.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，AABC滿足4B=2啦，ZACB=90°,以為球。

的直徑且雨=4,則點(diǎn)尸到底面ABC的距離為（）

A.小B.2啦C.小D.2小

37.已知矩形A8CD的頂點(diǎn)都在球心為O,半徑為R的球面上，A5=6,BC=2小,且四棱錐O—ABCD

的體積為8小，則R等于（）

A.4B.2小C.唔D.

38.己知三棱錐P-A8C的四個頂點(diǎn)均在某球面上，PC為該球的直徑，AABC是邊長為4的等邊三角形,

三棱錐P-ABC的體積為苧，則此三棱錐的外接球的表面積為（）

16兀40兀64兀80兀

.3u?3?3L*?3

39.已知三棱錐A-SBC的體積為半，各頂點(diǎn)均在以出為直徑球面上，AB=AC=42,BC=2,則這

個球的表面積為.

40.（2017?全國III）已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的

體積為.

41.三棱錐尸一ABC的四個頂點(diǎn)都在體積為竽的球的表面上，底面ABC所在的小圓面積為16兀，則該三

棱錐的高的最大值為（）

A.4B.6C.8D.10

42.（2015?全國H）已知A,8是球。的球面上兩點(diǎn)，NAOB=90。，C為該球面上的動點(diǎn).若三棱錐。一A8C

體積的最大值為36,則球O的表面積為（）

A.36兀B.64兀C.144兀D.256n

43.已知點(diǎn)A,B,C,。均在球。上，AB=BC=#,AC=2小.若三棱錐。-4BC體積的最大值為3,

則球。的表面積為.

44.在三棱錐A-BC。中，AB=\,BC=也,CD=AC=事,當(dāng)三棱錐A-BCQ的體積最大時，其外接球

的表面積為.

45.己知三棱錐。一A8C的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，AB=BC=2,AC=2小,若三棱錐。一ABC體

積的最大值為2,則球。的表面積為（）