2023屆高考數(shù)學(xué)壓軸小題13 與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題含答案

2023屆高考數(shù)學(xué)壓軸小題13與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題

與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題

一.方法綜述

如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多

面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn).考查學(xué)生的

空間想象能力以及化歸能力。

研究球與多面體的接、切問題主要考慮以下幾個(gè)方面的問題：

（1）多面體外接球半徑的求法，當(dāng)三棱錐有三條棱垂直或棱長相等時(shí)，可構(gòu)造長方體或正方體.

（2）與球的外切問題，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，可通過作截面來解決.

（3）球自身的對(duì)稱性與多面體的對(duì)稱性；

二.解題策略

類型一柱體與球

【例1】（2020?河南高三（理））已知長方體48cA的表面積為208,AB+BC+AAX=\^>,

則該長方體的外接球的表面積為（）

A.116乃B.1067C.56乃D.53乃

【答案】A

【解析】

AB+BC+AA,=18

【分析】由題意得出<=104-由這兩個(gè)等式計(jì)算出次+靖+嫡，可

ABBC+BC-AA.+ABAA,

求出長方體外接球的半徑，再利用球體表面積公式可計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】依題意，/8+8C+Z4=18,ABBC+BC-AA^ABAA^=104,

22

所以，AB-+BC+AAf=(AB+BC+AAi)-2(AB-BC+BC-AAi+AB-AAi)=\\6,

故外接球半徑r=""+802+攻=如，

因此，所求長方體的外接球表面積S=4萬/=U6萬.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查長方體外接球表面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是利用長方體的棱長來表示外接球的半徑.

【舉一反三】

1.（2020?河南高三模擬）已知三棱柱的底面是邊長為的等邊三角形，側(cè)棱垂直于底面且側(cè)棱長為2,若

該棱柱的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）

711,c

A.-7tB.-71C.5萬D.8萬

33

【答案】D

【解析】根據(jù)條件可知該三棱柱是正三棱柱，上下底面中心連線的中點(diǎn)就是球心，如圖,

外接球的表面積5=4萬x2=8%.故選：D

【指點(diǎn)迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圓的圓心的連線上，確定球心，用球心、一底面

的外接圓的圓心，一頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，用勾股定理得關(guān)于外接球半徑的關(guān)系式，可球的半徑.

2.（2020?安徽高三（理））已知一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)都在同一球面上，現(xiàn)用一個(gè)平面去截這個(gè)球和正方體，

得到的截面圖形恰好是一個(gè)圓及內(nèi)接正三角形，若此正三角形的邊長為“，則這個(gè)球的表面積為（）.

32,,32

A.—Tia"B.3jtcrC.6m-D.-7ia~

42

【答案】D

【解析】由已知作出截面圖形如圖1,可知正三角形的邊長等于正方體的面對(duì)角線長，正方體與其外接球的

位置關(guān)系如圖2所示，可知外接球的直徑等于正方體的體對(duì)角線長，設(shè)正方體的棱長為〃z，外接球的半徑為

H，則a=2火=國，所以H=乎a，所以外接球的表面積為S=47R2=4）x|亭［,

【點(diǎn)睛】本題考查正方體的外接球、正方體的截面和空間想象能力，分析出外接球的半徑與正三角形的邊

長的關(guān)系是本題的關(guān)鍵，

3.（2020?河南高三（理））有一圓柱狀有蓋鐵皮桶（鐵皮厚度忽略不計(jì)），底面直徑為20cm,高度為100cm,

現(xiàn)往里面裝直徑為10cm的球，在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝（）

（附：V2?1.414,73?1.732,75?2.236）

A.22個(gè)B.24個(gè)C.26個(gè)D.28個(gè)

【答案】C

【解析】由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切，且相鄰四個(gè)球兩兩相切，

這樣，相鄰的四個(gè)球的球心連線構(gòu)成棱長為10cm的正面體，

易求正四面體相對(duì)棱的距離為5夜cm,每裝兩個(gè)球稱為“一層“，這樣裝“層球，

則最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為（10+5后（"一1）卜m,

若想要蓋上蓋子，則需要滿足10+5及（〃-1）<100,解得〃41+9我。13.726，

所以最多可以裝13層球，即最多可以裝26個(gè)球.故選：C

類型二錐體與球

【例2】5.已知球。的半徑為叵，以球心。為中心的正四面體「的各條棱均在球。的外部，若球。的

2

球面被「的四個(gè)面截得的曲線的長度之和為8乃，則正四面體「的體積為.

【來源】重慶市2021屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題

【答案】18加

【解析】由題知，正四面體截球面所得曲線為四個(gè)半徑相同的圓，每個(gè)圓的周長為2萬，半徑為1,故球心

。到正四面體各面的距離為-1=逅，設(shè)正四面體棱長為。，如圖所示，則斜高

K2J2

AE-3EF----a>體高在RtA/ET7和R/△力GO中，=――=—,

23403

A

近

即一?=^~'-a=6,A=-a2-——-63=1872.

V6V6334312

----Q-------

32

【舉一反三】

1.（2020四川省德陽一診）正四面體ABCD的體積為《，則正四面體ABCD的外接球的體積為

3

【答案】手癡

【解析】如圖，

設(shè)正四面體ABCD的棱長為X，過A作AD_LBC,

設(shè)等邊三角形ABC的中心為0,則40=馬利=坦力

33

PO=Jx2-（手工）2=*,

二=Z"7X，VX，^r=T，即M=

*n"1*32233

再設(shè)正四面體ABCD的外接球球心為G,連接GA,

則解=4櫻+GflZ=4“）2+（竽a_*產(chǎn),即R=爭.

.?.正四面體ABCD的外接球的體積為昨與x譚0尸=學(xué)1H故答案為：寺島

2.（2020?寧夏育才中學(xué)）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，其中有很多對(duì)幾何體體積的研究，已知某囤積

糧食的容器的下面是一個(gè)底面積為32兀，高為h的圓柱，上面是一個(gè)底面積為32兀，高為h的圓錐，若該容器有外

接球，則外接球的體積為

【答案】288萬

【解析】如圖所示，根據(jù)圓柱與圓錐和球的對(duì)稱性知，

其外接球的直徑是2R=3A,設(shè)圓柱的底面圓半徑為尸，母線長為/=/;,

則仃2=32%,解得廠=40，又『+(2r)2=(3?2,

h2+(8后了=9A2,解得〃=4,

3

???外接球的半徑為火二萬乂4=6,

外接球的體積為V=絲上="工=288萬.

33

3.(2020?貴陽高三(理))在四棱錐P—中，底面488是邊長為4的正方形，是一個(gè)正三

角形，若平面平面28C。，則該四棱錐的外接球的表面積為()

14%28%56兀112萬

A.---B.----C.----D.-----

3333

【答案】D

【解析】

【分析】過尸作尸交AD于F,取8c的中點(diǎn)G,?PG,FG,取尸尸的三等分點(diǎn)〃

(PH=2HF),取G77的中點(diǎn)E，在平面尸F(xiàn)G過瓦尸分別作G尸,PE的垂線，交于點(diǎn)。，可證。為外

接球的球心，利用解直角三角形可計(jì)算尸。.

【詳解】如圖，過尸作尸尸，/。，交AD于F，取8C的中點(diǎn)G,連接PG,RG,在尸產(chǎn)的三等分點(diǎn)，

(PH=2HF),取GR的中點(diǎn)￡,在平面PEG過E尸分別作GRPR的垂線，交于點(diǎn)O.

B

因?yàn)锳PZ。為等邊三角形，AF=FD，所以Pb_L/Q.

因?yàn)槠矫媸矫鎆8CD,平面凡4。0平面/88=4。，尸Eu平面?N。，

所以PF_L平面/8C。，因GFu平面力88,故PFLGF.

又因?yàn)樗倪呅瘟CD為正方形，而G,尸為5C,/。的中點(diǎn)，故FGHCD,故GR_LZO,

因N￡>n尸尸=/，故PE_L平面"￡）.

在R/APGF中,因。故OEHPF,故平面Z8CZ）,

同理?！盻L平面尸4D.

因E為正方形ABCD的中心，故球心在直線0E上，

因，為A/》。的中心，故球心在直線0H上，故。為球心，OP為球的半徑.

在R/APG/中，PH=-PF=-x4x—=^->OH=EF=2,

3323

用八八L16[282V21土通28一112萬

故0P=j4d.—=----,所以球的表面積為4;rx——----.

V3V3333

類型三構(gòu)造法（補(bǔ)形法）

【例3】已知三棱錐產(chǎn)一ZBC的各個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，P/_L底面4BC,ABLAC,AB=6,

AC=S,。是線段45上一點(diǎn)，且208.過點(diǎn)。作球。的截面，若所得截面圓面積的最大值與最小

值之差為25乃，則球。的表面積為（）

A.128%B.132%C.144乃D.156萬

【答案】B

【解析】平面Z8C,AB±AC,將三棱錐P-Z8C補(bǔ)成長方體PQMN—/6EC,如下圖所示:

設(shè)/En8C=b，連接。/、DF、OD,可知點(diǎn)。為PE的中點(diǎn),

因?yàn)樗倪呅蝂8EC為矩形，AE［｝BC=F,則尸為4E的中點(diǎn)，所以，OFHPA旦OF=；PA,

設(shè)尸4=2x，且4E=dAB、BE2=10,PE=PA2+AE2=2y/x2+25-

所以，球0的半徑為R=LpE=G+25,

2

在放△力8E中，/.ABE=—,AB=6,AE=10,cos/.BAE----——,

2AE5

2

在A/OE中，4D=-4B=4,AF^5,

3

由余弦定理可得DF=《AD?+AF?-2皿AFcosNBAE=如，

?：PAV^^ABCD,:.OFL^^ABCD,

-：DFu平面ABCD,則OF_LDF,

'.■OF=^PA=x,：.OD=NOF'DF?=J》？+*,

設(shè)過點(diǎn)。的球。的截面圓的半徑為r,設(shè)球心。到截面圓的距離為d,設(shè)OD與截面圓所在平面所成的角

為6，則d=OZ）sin8=J&2—尸2.

當(dāng)。=0時(shí)，即截面圓過球心。時(shí)，d取最小值，此時(shí)尸取最大值，即々一=火=+25；

當(dāng)。='時(shí)，即。。與截面圓所在平面垂直時(shí)，d取最大值，即4nax=OD=Jx+17,

此時(shí)，r取最小值，即“乒壇了=2萬

由題意可得萬［（%怨）2-（％加）［=12+17卜=25萬，vx>0,解得x=2a.

所以，R—133，因此，球。的表面積為S=4萬7?2=132乃.

故選：B.

【舉一反三】

1.（2020寧夏石嘴山模擬）三棱錐S-AJW:中，側(cè)棱S4與底面4BC垂直，54=1，45=2,〃7=3且ABJL航，

則三棱錐S—4BC的外接球的表面積等于.

【答案】Ite

［解析】把三棱錐$—ABC，放到長方體ABCD-5Hle［%里,如下圖:

AB

SC=+AC2=何,因此長方體ABCD-的外接球的直徑為VI0.

所以半徑?jīng)]=0,則三棱錐$—加化的外接球的表面積為4M2=10”

2

2.（2020荷澤高三模擬）已知直三棱柱ABC—4［月隹1的底面為直角三角形，且兩直角邊長分別為1和5,

此三棱柱的高為小，則該三棱柱的外接球的體積為

A-7B-TC-TD.與

【答案】c

【解析】

0：--------,-c'

0

如圖所示，將直三棱柱ABC—4181G補(bǔ)充為長方體，

則該長方體的體對(duì)角線為^（2^）2+（^）2+12=4,

設(shè)長方體的外接球的半徑為K，則2*=4,?=2,

所以該長方體的外接球的體積y=±&3=熟，故選c.

33

3.（2020?貴州高三月考（理））某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（)

4516

A.-B.一D.

333T

【答案】A

【解析】【分析】如圖所示畫出幾何體，再計(jì)算體積得到答案.

【詳解】由三視圖知該幾何體是一個(gè)四棱錐，可將該幾何體放在一個(gè)正方體內(nèi)，如圖所示:

在棱長為2的正方體中,

取棱B￡,DA,AB,BC,CD的中點(diǎn)分別為E,M,N,P,Q,

則該幾何體為四棱錐后一加麗。，其體積為gx（8Jx2=；.故選：A

類型四與球體相關(guān)的最值問題

【例4】（2020?福建高三期末（理））在外接球半徑為4的正三棱錐中，體積最大的正三棱錐的高/?=（

1413716

I.—B.—C.-D.—

3423

【答案】D

【解析】

【分析1設(shè)正三棱錐底面的邊長為高為人由勾股定理可得42="—4）2+（且a],則8/?-肥=；/

手（83）,對(duì)其求導(dǎo)，分析其單調(diào)性與最值即可得解.

三棱錐的體積修

【詳解】

解：設(shè)正三棱錐底面的邊長為。，高為肌根據(jù)圖形可知

"Y

42=(/Z-4)2+—a,

I3)

則8/z-/=J>0,.?.0<〃<8.

3

又正三棱錐的體積

V=^x-a2h=乎（84一〃2）〃=乎（8力2_43）,則/，=乎（16]?-3/?2）,

令廣=0,則或/j=0（舍去），

3

函數(shù)憶=弓（8后一川）在（0,修）上單調(diào)遞增，在（g,8）上單調(diào)遞減，

二當(dāng)人=3時(shí)，/取得最大值，故選：D.

3

【點(diǎn)睛】本題考查球與多面體的最值問題，常常由幾何體的體積公式、借助幾何性質(zhì)，不等式、導(dǎo)數(shù)等進(jìn)

行解決，對(duì)考生的綜合應(yīng)用，空間想象能力及運(yùn)算求解能力要求較高.

【舉一反三】

1.（2020?廣東高三（理））我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一些數(shù)學(xué)用語，“塹堵”意指底面為直角

三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底面為矩形，且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.現(xiàn)有一如

圖所示的塹堵，ACLBC,若44=/8=2,當(dāng)陽馬8-//CG體積最大時(shí)，則塹堵/8。一4瓦。1的

外接球體積為（

Il

8V2c.成兀

-------71D.4^271

33

【答案】B

【解析】依題意可知8C_L平面/CG4?設(shè)NC=a，8C=b，則

I|I1/02?R021A0

a2+b2=AB2=4.V=-X-XACXAAXSC=-XACXBC=當(dāng)

BA1AC1C32I332323

且僅當(dāng)AC=BC=yf2時(shí)取得最大值.依題意可知A48cA48aA是以45為斜邊的直角三角形,

所以塹堵N6C-481G外接球的直徑為4臺(tái)，故半徑OB=；4臺(tái)=gx1AA；+AB2=也.所以外接球的

體積為?.（正）8^271

3

特別說明：由于8CL平面ZCC/，板乃。,兇18/,乙4田片是以48為斜邊的直角三角形，所以塹堵

Z8C-481G外接球的直徑為48為定值，即無論陽馬8-N/CG體積是否取得最大值，塹堵

/8C-48cl外接球保持不變，所以可以直接由直徑46的長，計(jì)算出外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的

體積.故選：B

2.（2020?遵義市南白中學(xué)高三期末）已知Z,B,C,。四點(diǎn)在同一個(gè)球的球面上，AB=BCM，

/Z8C=90°，若四面體Z8C。體積的最大值為3,則這個(gè)球的表面積為（）

A.44B.8）C.164D.32乃

【答案】C

【解析】

根據(jù)AB=BC=a，可得直角三角形MBC的面積為3,

其所在球的小圓的圓心在斜邊ZC的中點(diǎn)上，

設(shè)小圓的圓心為。，由于底面積%BC不變,高最大時(shí)體積最大，

所以。0與面Z8C垂直時(shí)體積最大，最大值為為gs^Bcx。。=3,即:x3x。。=3,；.。。=3,如圖,

設(shè)球心為O,半徑為R，則在直角MQO中，即R2=(Gy+(3-RR，R=2,

則這個(gè)球的表面積為S=4%x2?=16",故選C.

3.(2020?河南高三(理))菱形ABCD的邊長為2,ZABC=60%沿對(duì)角線AC將三角形ACD折起，當(dāng)三

棱錐D-ABC體積最大時(shí)，其外接球表面積為()

V152715「20620

AA.---71BD.-----71C.冗D.—71

3393

【答案】D

【解析】

【分析】當(dāng)平面ACD與平面ABC垂直時(shí)體積最大，如圖所示，利用勾股定理得到

2

A=(73-OG)2+(1§)2和R2=OG2+(孚)2,計(jì)算得到答案.

【詳解】易知：當(dāng)平面ACD與平面ABC垂直時(shí)體積最大.

如圖所示：

E為ZC中點(diǎn)，連接DE,BE,外接球球心。的投影為G是ZU8C中心，在BE上

BE=BDE=5EG^—，BG^—

33

設(shè)半徑為R，則斤=(G-0G)2R2=OG2+

解得：7?=巫，表面積5=4萬R2="三故選：D

33

三.強(qiáng)化訓(xùn)練

一、選擇題

1.（2020?廣西高三期末）棱長為。的正四面體/BCD與正三棱錐E-8CD的底面重合，若由它們構(gòu)成的多

面體NBCDE的頂點(diǎn)均在一球的球面上，則正三棱錐￡-88的表面積為（）

.3+百2n3+5/323—V323—A/32

A.--------aB.--------aCr.--------aND.--------a

4664

【答案】A

【解析】由題意，多面體的外接球即正四面體的外接球,

由題意可知/E上面6c。交于尸，連接CF,則。尸=2.14=34

設(shè)正三棱錐E-8CD的高為肌因?yàn)锳E=&=^~a+h>所以。=^-a

236

因?yàn)榈酌鍭8CD的邊長為a,所以EB=EC=ED=""+/=旦a,

2

則正三棱錐E-BCD的三條側(cè)棱兩兩垂直.

即正三棱錐E—88的表面積S=3x'x12V33+5/32&VI.

2——aT+—Q-X---=------Q~,故選：A.

212J224

2、（2020遼寧省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三）在三棱錐S—4BC中,

SA=BC=屈,SB=AC=S,SC-AB=-^則三棱錐S—川配外接球的表面積為（）

A.25K氏C.50HD-5(h/2n

【答案】C

【解析】如圖,

把三棱錐S-4BC補(bǔ)形為長方體，設(shè)長方體的長、寬、高分別為%b.c

則oz+h2=41,6z+cz=25,oz+cz=34，

...三棱錐外接球的半徑R==%

22

，三棱錐S-ABC外接球的表面積為Sudirff2=50n

故選：C.

3.（2020?安徽高三期末）如果一個(gè)凸多面體的每個(gè)面都是全等的正多邊形，而且每個(gè)頂點(diǎn)都引出相同數(shù)目

的棱，那么這個(gè)凸多面體叫做正多面體.古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在其著作《幾何原本》的卷13中系統(tǒng)地研究

了正多面體的作圖，并證明了每個(gè)正多面體都有外接球.若正四面體、正方體、正八面體的外接球半徑相同,

則它們的棱長之比為（)

正四面體正六面體（正方體）正八面體

A.V2:1：V3B-2：V2：V3C.2:72:1D.2:立3

【答案】B

【解析】設(shè)正四面體、正方體、正八面體的棱長以及外接球半徑分別為。，仇c,R

則2R=6X叵a,2R=y{ib,R=^c,

22

,Bnn

即°=—產(chǎn)一,b=—7=,c=J誦.1a:b:c=2:忘：6故選：B

V3V3

4.（2020?北京人大附中高三）如圖，在四棱錐S-/8c。中，四邊形/8CZ）為矩形，AB=26，AD=2,

NZS8=120°,S4J.Z。，則四棱錐外接球的表面積為（）

A.16萬B.20%C.80%D.100萬

【答案】B

【解析】由四邊形Z8C。為矩形，得/B14D,又“，4。，且S4c45=4,，力。，平面”8,

…AB2G拒.

則平面SAB1平面ABCD,設(shè)三角形"8的外心為G,則一2sinNASB-2sin120°一百一.

過G作GO，底面￡48,且GO=1,則OS=32?+『=蓬.即四棱錐外接球的半徑為J5.

四棱錐外接球的表面積為S=47x（V?）2=20%.故選B.

HO

5.（2020河南省鄭州市一中高三）在三棱錐P—AJW：中，PA_L平面AffC,ZiMC=120",AP=^2,AB=2'

M是線段bCl：一動(dòng)點(diǎn)，線段PH長度最小值為百，則三棱錐P—ABC的外接球的表面積是（）

A.B.C.D.40H

【答案】C

【解析】解：如圖所示：

三棱錐P-ABC中，P411平面ABC,AP=^2.AB=2'

M是線段BC匕一動(dòng)點(diǎn),線段PM長度最小值為月，

則：當(dāng)AMJ.比時(shí)，線段PH達(dá)到最小值，

由于：P4_L平面4BC，所以：PAZ+AM2=PM2>

解得：4M=1，所以：BM=^>貝！1：㈤Uf=6（F，

由于：ZBAC=12O0>所以：ZJMC=6O°則：為等腰三角形.所以BC=2，3，

在A4BC中，設(shè)外接圓的直徑為2r=^^=4,貝U：r=2,所以外接球的半徑R=卜+（和=

則：S=4IT-=18H.故選：C.

2

6、（2020河南省天一大聯(lián)考）某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)直角邊為2的等腰直角三角

形，側(cè)視圖是兩直角邊分別為2和1的直角三角形，俯視圖為一矩形，則該多面體的外接球的表面積為（）

B.8H

C.9HD.15

【答案】C

【解析】由三視圖可得，該幾何體為一個(gè)三棱錐，放在長、寬、高分別為2,1,2的長方體中，此三棱錐

和長方體的外接球是同一個(gè)，長方體的外接球的球心在體對(duì)角線的中點(diǎn)處，易得其外接球的直徑為

V2Z+2Z+1Z=3＞從而外接球的表面積為.故答案為：C.

7.（2020?江西高三期末（理））如圖，三棱錐尸一月8c的體積為24,又NPBC=NABC=90°,BC=3,

AB=4,PB=4回,且二面角尸一3。一/為銳角，則該三棱錐的外接球的表面積為（）

A.1694B.144)C.185乃D.80"

【答案】A

【解析】因NP8C=/48C=90。，所以平面尸48，且NPH/為二面角尸一8。一4的平面角,

又BC=3,AB=4,PB—4Vw，由勾股定理可得尸C=13,AC=5,

因?yàn)镾.B=；PBSBsinNPBA=8"6sinAPBA,所以三棱錐的體積

V=-S"BC=gx8V10sinZPBAx3=24,解得sinNPBA=

3310

又NPB4為銳角，所以cos/P氏4=巫

10

在AE48中，由余弦定理得P/2=160+16—2x4x4如x嘰144,

10

即尸/=12,則尸爐=PA2+AB2，故尸/_LZ8,

由8CJ_平面P/3得尸力，

故尸N_L平面4BC,即"_L4C,取PC中點(diǎn)。，

在直角APZC和直角\PBC中，

易得OP=OC=OA=OB,故O為外接球球心，

113

外接圓半徑及=一尸。=一，故外接球的表面積S=4萬R2=169乃.故選：A.

22

8.（2019?湖南長沙一中高三）在如圖所示的空間幾何體中，下面的長方體Z8CD-4AG2的三條棱長

AB=AD=4,工4=2,上面的四棱錐尸—中?！?，尸七，平面4gCQi,PE=1，

則過五點(diǎn)/、B、C、D、尸的外接球的表面積為（）

【答案】C

【解析】問題轉(zhuǎn)化為求四棱錐產(chǎn)一Z8C。的外接球的表面積.PC=V4+9=V13.

3V1313

AsinZPCZ）=-=.所以APCD外接圓的半徑為〃=；一廠=不，由于尸平面,

v/132x.—

V13

則PE_L平面力88,PEu平面PCD,所以平面PC。，平面488,

所以外接球的后=22+/=4+胃=費(fèi)?所以S球表面積=4兀叱=等.

9.三棱錐P—ABC中，底面ABC滿足BA=BC,zABC=i，點(diǎn)P在底面ABC的射影為AC的中點(diǎn)，且該三棱

錐的體積為費(fèi)，當(dāng)其外接球的表面積最小時(shí)，P到底面ABC的距離為（）

A.3B.舊C.返D.還

23

【答案】B

【解析】設(shè)外接球半徑為RP到底面ABC的距離為。AC=2a，

則LX2X2OXQXA=—Aa2h=—,

3262

因?yàn)楹?g一切2+.,所以沒=皿=型=匕+至，

2AL2^^2

因?yàn)椤?T一玄=0=>A=酒，所以當(dāng)0<a<近5時(shí)，?,<0.當(dāng)a>相時(shí)，?>0因此當(dāng)人=比邨寸，

R取最小值，外接球的表面積取最小值，選B.

10.（2019?河北高三月考）在平面四邊形48co中，AB1BD,ZBCD=30°,AB2+4BD2=6.若將

沿8。折成直二面角/力力。則三棱錐/-8OC外接球的表面積是（）

A.4兀B.5兀C.6兀D.8兀

【答案】C

【解析】取Z0,8。中點(diǎn)E,F，設(shè)kBCD的外心為M.連MB,MF,EF,

則MF1BD,ZBMF=-ADMB=NBCD=30。,BM=2BF=BD

2

分別過作板,EF的平行線，交于。點(diǎn)，

^OE/IMF,OM/IEF,

???BD1AB,：.E為\ABD的外心，

平面/BD_L平面BCD，/8_1,平面BCD,

EE/A46,EE，平面8C。，.?.。河_L平面8c。，

同理OE_L平面48。，E,"分別為A48D,A5c。外心，

.?.。為三棱錐的外接球的球心，08為其半徑，

OB2=BM2+OM2=BD2+EF2=BD2+-AB2

42

S球=4%x082=6%?故選:C

11.（2020?梅河口市第五中學(xué)高三期末（理））設(shè)三棱錐P-N8C的每個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，APAB是

面積為的等邊三角形，N4cB=45。,則當(dāng)三棱錐P-48C的體積最大時(shí)，球。的表面積為（）

2832

A.—71B.10/TC.-71D.12"

33

【答案】A

【解析】如圖，由題意得也4^2=6,解得/8=2.記Z6=c,6C=a,NC=b,

4

1/9

222

SMBC=—ahsinC=7-ab，由余弦定理c?=a+b-2abcosC，得4=a?+h-42ab>lab-42ab，

〃力<，^=2（2+JI）,當(dāng)且僅當(dāng)〃二b時(shí)取等號(hào).

所以C4=CB且平面PAB1底面力BC時(shí)，三棱錐P-ABC的體積最大.

分別過APZB和A48C的外心作對(duì)應(yīng)三角形所在平面的垂線，垂線的交點(diǎn)即球心

設(shè)"力3和A48c的外接圓半徑分別為不，r2,球。的半徑為R,

則耳=-7=,—x---=/.故A?=）+1]=2+—=—

V322sin45°2（2'）33

28

球。的表面積為4萬R2=一萬故選：A.

3

12.（2020四川省成都外國語學(xué)校模擬）已知正方形4%的邊長為4,E,F分別是8C,曲的中點(diǎn)，沿

EF,""折成一個(gè)三棱錐PT麗（使8,C,。重合于0,三棱錐PT"'的外接球表面積為（）

A.6冗B.12HC.24KD.4&R

【答案】C

【解析】如圖，

由題意可得，三棱錐尸T跖的三條側(cè)棱處，PE,件兩兩互相垂直,

且P4=4,PE=PF=2，

把三棱錐P-45F補(bǔ)形為長方體，則長方體的體對(duì)角線長為"爐+N+22=2通，

則三棱錐產(chǎn)■4砂的外接球的半徑為北，外接球的表面積為4Mx（遍T=24R.故選：C.

13.已知球。夾在一個(gè)二面角1-/一4之間，與兩個(gè)半平面分別相切于點(diǎn)48.若/3=2,球心O到該二

面角的棱/的距離為2,則球。的表面積為（）

A.8萬B.6兀C.4萬D.2乃

【來源】江西省萍鄉(xiāng)市2021屆高三二?？荚嚁?shù)學(xué)（文）試題

【答案】A

【解析】過。,48三點(diǎn)作球的截面，如圖：

設(shè)該截面與棱/交于。，則OB11,又。40。8=。，

所以/人平面ZO8,所以O(shè)OJJ,所以|。。|=2,

依題意得。/所以。,4。,8四點(diǎn)共圓，且。。為該圓的直徑，

因?yàn)閨45|=2=|。。|,所以也是該圓的直徑，

所以四邊形0408的對(duì)角線48與0。的長度相等且互相平分，所以四邊形0408為矩形，又

I0A|=|0B|,所以該矩形為正方形，所以|。4|=芋|Z8|=逐，即圓。的半徑為J5,所以圓。的表面

積為4乃x（JI）2=8乃.

故選：A

14.已知點(diǎn)4民。在半徑為2的球面上，滿足Z8=/C=l,BC=6若S是球面上任意一點(diǎn)，則三

棱錐S-體積的最大值為（)

A3+26R3+20C2+3-D.基

1261212

【答案】A

【解析】設(shè)△NBC外接圓圓心為0',三棱錐S—Z8C外接球的球心為。，AB=AC=1,設(shè)。為8C中

點(diǎn)，連NO,如圖，

則且O'在/。上，力。=/432—(與>=；,

設(shè)A/BC外接圓半徑為r,

r2=(-y-)2+{AD-r)2=|+(1-r)2,解得r=1,

：\OO'\=yj22-r2=73

要使S-ABC體積的最大，需S到平面48c距離最大，

即S為。'0的延長線與球面的交點(diǎn)，最大值為JJ+2，

所以三棱錐S-N8C體積的最大值為1x(73+2)S“BC=；x(、回+2)x；xgxJJ=.

故選：A

15.已知半球。與圓臺(tái)00'有公共的底面，圓臺(tái)上底面圓周在半球面上，半球的半徑為1,則圓臺(tái)側(cè)面積

取最大值時(shí)，圓臺(tái)母線與底面所成角的余弦值為()

AGB百C/D百

92763

【答案】D

【解析】如圖1所示，設(shè)8C=x,C0'=r,作CFLNB于點(diǎn)尸，延長0。'交球而于點(diǎn)E,則區(qū)=1一廠，

OO'=CF=NBC"-BF?=J》2一(1一尸)2,由圓的相交弦定理及圖2得

則圓臺(tái)側(cè)面積5=兀?

則S'=2萬—史令s，=o,則X=3叵或工=-3叵（舍去）,

當(dāng)0<x<迪時(shí)，S>0.當(dāng)述<x<Ji時(shí)，S'<0,

，行上遞減,

所以函數(shù)S=K-X在

所以當(dāng)叵時(shí),

s取得最大值.

3

當(dāng)x=BC=拽時(shí)，r=l--=~,則8尸=1一"=].

3233

在軸截面中，NO8C為圓臺(tái)母線與底面所成的角，在中可得cos/O8C=g￡=/

BC3

故選：D.

Of

H

圖2

16.（2020?重慶八中高三）圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)面積為16后的正方形，該圓柱內(nèi)有一個(gè)體積為P的球,

則P的最大值為_______________

____32乃

【答案】----

3

f2兀尸=Ifr=2

【解析】設(shè)圓柱的底面直徑為2r，高為/,則「22,解得「）.故圓柱的底面直徑為4,高為4萬，

[/=1671-[/=4兀

4兀327r

所以圓柱內(nèi)最大球的直徑為4,半徑為2,其體積為——x23=一

17.（2020,江西高三）半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，如圖所示，是由邊數(shù)不全相同

的正多邊形為面的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐,

如此共可截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體，它們的邊長都相等，其中八個(gè)為正三角形,

六個(gè)為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體.若二十四等邊體的棱長為則該二十四等邊體外

接球的表面積為________________

【答案】87t

【解析】由已知根據(jù)該幾何體的對(duì)稱性可知，該幾何體的外接球即為底面棱長為后，側(cè)棱長為2的正四棱

柱的外接球，(2R>=(V2)2+(V2)2+2?,R=啦，

二.該二十四等邊體的外接球的表面積S=4TTR2=4兀=8兀.

18.(2020?福建高三期末(理))在棱長為4的正方體力BCD—44G2中，E,尸分別為44-8c的

中點(diǎn)，點(diǎn)〃在棱8c上，若平面FEM交4圈于點(diǎn)N,四棱錐N—8。。圈的五個(gè)頂點(diǎn)

都在球O的球面上，則球。半徑為

【答案】2叵

3

【解析】如