材料力學cl-05彎曲內力

第四章彎曲內力§4-1平面彎曲的概念一.彎曲變形

1.載荷作用情況：

桿件上作用有垂直于桿件軸線的外力，或作用面垂直于橫截面的力偶。

2.變形情況：

原為直線的軸線變形后就會成為曲線，橫截面相對原來位置轉過一個角度。這種形式的變形就稱為彎曲。工程中以彎曲變形為主的桿件稱為梁12/17/20231凡是以彎曲為主要變形的桿件，通常稱為梁。12/17/20232PaAB陽臺梁欄桿PABq12/17/2023312/17/20234上海長江大橋第53號至54號橋墩間，架起“百米長梁”。這一箱梁長105米、寬16米、高5米，重2300噸，為世界第一?！鞍倜组L梁”超越東海大橋“梁式大橋”70米的跨度，實現(xiàn)了橋梁史上的一大突破。上海長江大橋跨江段長10公里，全橋長16.5公里，雙向6車道，設計時速100公里。整個隧橋工程在2009年完工。

上海長江大橋架起"世界第一梁"12/17/20235二.平面彎曲（對稱彎曲）一般情況下，工程中受彎桿件的特點：

1.橫截面都至少有一個通過幾何形心的對稱軸，因而整個桿件都有一個包含軸線的縱向對稱面。

2.作用于桿件的外力都在這個縱向對稱平面內。

3.軸線在彎曲變形后變成縱向對稱面內的一條平面曲線。這種情況的變形我們就稱為平面彎曲變形，可見梁發(fā)生平面彎曲時，受力為平面平行力系?？v向對稱面：梁的軸線與橫截面的對稱軸所構成的平面12/17/20236平面彎曲：當作用在梁上的載荷和支反力均位于縱向對稱面內時，梁的軸線由直線彎成一條位于縱向對稱面內的曲線。FqFAFB縱向對稱面軸線彎曲后梁的軸線（撓曲線）12/17/20237§4-2梁的計算簡圖Pq(x)三.支座的分類一.桿件的簡化

用梁的軸線來代替實際的梁。

折桿或曲桿用中心線代替。二.載荷的分類

1.

集中載荷2.

分布載荷

3.

集中力偶1.固定鉸支座2.可動鉸支座3.固定端支座

根據(jù)支座對梁在載荷平面內的約束情況，一般可以簡化為三種基本形式：12/17/20238四、靜定梁的基本形式1.簡支梁2.外伸梁3.懸臂梁中間鉸4.組合梁12/17/20239

超靜定梁——支座反力不能由靜力平衡方程完全確定的梁。12/17/202310§4-3梁的內力及其求法12/17/202311求內力—截面法彎曲構件內力剪力彎矩1.彎矩M

：它是與橫截面垂直的分布內力系的合力偶矩。2.剪力FS

：它是與橫截面相切的分布內力系的合力。MFRAFRBABPmmxFRAFSCPFRBFSCM12/17/202312FSdxmmFS+dxmmFSFS-剪力FS的符號規(guī)定：左上右下為正，反之為負彎矩M的符號規(guī)定：左順右逆(上壓下拉、上凹下凸)為正，反之為負mm+（受拉）MMmm（受壓）MM－12/17/202313例題

一簡支梁受力如圖所示。試求C截面（跨中截面）上的內力。解：1、根據(jù)平衡條件求支座反力qAB4aaaC求指定截面上的剪力和彎矩12/17/2023142、求C截面（跨中截面）上的內力qAaC得到：（剪力的實際方向與假設方向相反，為負剪力）得到：（彎矩M的實際方向與假設方向相同，為正彎矩）12/17/202315如以右側梁作為研究對象，則：為了計算方便，通常取外力比較簡單的一段梁作為研究對象。qBaC12/17/202316qAB4aaaC取左段梁為研究對象:取右段梁為研究對象:截面左側（或右側）梁上的所有外力向截面形心簡化所得到的主矢。12/17/202317截面左側（或右側）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心簡化所得到的主矩。qAB4aaaC取左段梁為研究對象:取右段梁為研究對象:12/17/202318例：求圖示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和彎矩。12/17/202319解：由得由得（FS4的實際方向與假設方向相反，為負剪力）12/17/202320小結(基本規(guī)律)

（1）求指定截面上的內力時，既可取梁的左段為脫離體，也可取右段為脫離體，兩者計算結果一致（方向、轉向相反）。一般取外力比較簡單的一段進行分析。（2）在解題時，一般在需要內力的截面上把內力（FS

、M）假設為正號。最后計算結果是正，則表示假設的內力方向（轉向）是正確的，解得的FS、M即為正的剪力和彎矩。若計算結果為負，則表示該截面上的剪力和彎矩均是負的，其方向（轉向）應與所假設的相反（但不必再把脫離體圖上假設的內力方向改過來）。12/17/202321（3）梁內任一截面上的剪力FS的大小，等于這截面左邊（或右邊）所有與截面平行的各外力的代數(shù)和。

若考慮左段為脫離體時，在此段梁上所有向上的外力會使該截面上產生正號的剪力，而所有向下的外力會使該截面上產生負號的剪力。（4）梁內任一截面上的彎矩的大小，等于這截面左邊（或右邊）所有外力（包括力偶）對于這個截面形心的力矩的代數(shù)和。

12/17/202322

若考慮左段為脫離體時，在此段梁上所有向上的力使該截面上產生正號的彎矩，而所有向下的力會使該截面上產生負號的彎矩;在此段梁上所有順時針轉向的外力偶會使該截面上產生正號的彎矩，而所有逆時針轉向的外力偶會使該截面上產生負號的彎矩。

(5)集中力作用的截面上剪力有“跳躍”（突變），其跳躍的值就是這個集中力的大小；集中力偶作用的截面上彎矩有

“跳躍”，其跳躍的值就是這個集中力偶的大?。?2/17/20232312/17/202324一.剪力和彎矩方程FS

=FS（x）——

剪力方程M=M（x）——彎矩方程

二.剪力圖、彎矩圖以x軸表示橫截面位置，以縱坐標表示相應截面上的

剪力

Fs

、彎矩

M，稱為剪力圖、彎矩圖。表示Fs、M沿梁軸線變化情況?！?-4剪力方程和彎矩方程

剪力圖和彎矩圖在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面的位置而變化。因此，剪力和彎矩均可表示為截面位置x的函數(shù)，即：12/17/202325AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDF因此，必須分段列出梁的剪力方程和彎矩方程，各段的分界點為各段梁的控制截面。作內力圖時，必須標明控制截面上的內力值。所謂控制截面,即外力規(guī)律發(fā)生變化的截面—集中力、集中力偶作用點、分布載荷的起點和終點處的橫截面。控制截面的概念12/17/202326例：簡支梁受均布荷載12/17/20232712/17/202328討論：集中力P作用點C處：剪力發(fā)生突變，突變量為

PAC段:CB段:12/17/202329FSMMABabC討論:集中力偶

M作用點

C處：AC段：CB段：12/17/202330注意：1、剪力、彎矩方程的適用范圍，在集中力（包括支座反力）作用處，應為開區(qū)間，因在該處剪力圖有突變；而在集中力偶作用處，M(x)應為開區(qū)間，因在該處彎矩圖有突變。2、若所得方程為x的二次或二次以上方程時，則在作圖時除計算控制截面的值外，應注意曲線的凹凸向及其極值。12/17/202331例題外伸簡支梁受力如圖所示。試列出梁的剪力方程和彎矩方程，作出梁的剪力圖和彎矩圖。ABqF=qaCa2a解：xy1、取參考坐標系Cxy。根據(jù)平衡條件求支座反力12/17/2023322、列出梁的剪力方程和彎矩方程yABqF=qaCa2axCA段:xAB段:x12/17/202333yABqF=qaCa2ax3、作梁的剪力圖和彎矩圖-qa(-)(-)(+)(-)E(+)M圖12/17/20233412/17/202335例.復合靜定梁，試作剪力圖和彎矩圖。

特點:中間鉸不能傳遞彎矩，只能傳遞力的作用。求解時先由中間鉸處拆開，化為兩個單跨梁。AD、DC和CB三段剪力方程和彎矩方程如下：1.支座反力a/2ACBqa/2aDxxxBAqccFCyFAyRC由AC跨的平衡條件求得。AD:DC:12/17/202336CB：2.剪力圖和彎矩圖OFS3qa/3qa/8MO9qa2/128qa2/16qa2/83a/8a/2ACBqa/2aDxxxcBqcAFCyFAy

AD段的彎矩圖為一條二次拋物線，作圖時須求出彎矩的極值和所在截面的位置，才能大致繪出其圖形。12/17/202337§4-5載荷集度、剪力和彎矩間的關系一、載荷集度、剪力和彎矩的微分關系規(guī)定向上的q(x)為正。12/17/20233812/17/202339上式的物理意義：梁上任一橫截面上的剪力對x的一階導數(shù)，等于該截面處作用在梁上的分布載荷集度。上式的幾何意義：任一橫截面上的分布荷載集度，就是剪力圖上相關點處的斜率。上式的物理意義：梁上任一橫截面上的彎矩對x的一階導數(shù)，等于該截面上的剪力。上式的幾何意義：任一橫截面處的剪力，就是彎矩圖上相關點處的斜率。12/17/202340由此式知：剪力圖曲線上一點處的斜率等于梁上相應點處的載荷集度q。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)M-圖12/17/202341由此式知：彎矩圖曲線上一點的斜率等于梁上相應截面處的剪力FS。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)M-圖12/17/202342上式的物理意義：梁上任一橫截面上的彎矩對x的二階導數(shù)，等于同一截面處作用在梁上的分布載荷集度數(shù)學上：二階導數(shù)可用來判定曲線的凹向，因此：上式的幾何意義：可以根據(jù)對x的二階導數(shù)的正、負來定出圖的凹向。12/17/202343載荷集度、剪力和彎矩的微分關系:12/17/202344二.載荷集度、剪力和彎矩的積分關系：

當梁的某一段內載荷作用規(guī)律沒有變化時12/17/2023454m4m4m3mABCDEMq例：外伸梁，作剪力圖，彎矩圖已知：解：1.求支反力2.作剪力圖Fs7313AC

段斜直線CD

段斜直線12/17/202346Fs7313BD：水平直線BE：水平直線23.作彎矩圖M2020.516x4m4m4m3mABCDEMqAC

段拋物線CD

段拋物線12/17/202347M2020.51666x4m4m4m3mABCDEMqFs73132DB

段斜直線BE段斜直線12/17/202348內力FS

、M

的變化規(guī)律,歸納如下：載荷F水平直線+-oror上斜直線上凸拋物線下凸拋物線下斜直線F(剪力圖無突變)F處有尖角斜直線12/17/2023491．當梁上某段q=0時，該段剪力為常數(shù)，故剪力圖為水平直線。相應的彎矩為x的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。當FS＞0時，彎矩圖為上升斜直線；FS＜0時，彎矩圖為下降斜直線。2．當梁上某段q=常數(shù)時，該段剪力為x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線。相應的彎矩為x的二次函數(shù)，彎矩圖為二次拋物線。若q＞0，則FS圖為上升斜直線，M圖為凹口向上的曲線（凹?。?；若q＜0，則FS圖為下降斜直線，M圖為凹口向下的曲線（凸弧）。

3．在集中力作用處（包括支承處），剪力圖將發(fā)生突變，其突變值等于該處集中力之大小。當集中力向上時，剪力圖向上突變（沿x正向），反之，向下突變；而彎矩圖將因該處兩側斜率不等出現(xiàn)拐點。

在集中力偶作用處，彎矩圖將發(fā)生突變，突變值等于集中力偶矩的大小。當集中力偶為順時針方向作用時，彎矩圖向上突變（沿x正向），反之則向下突變，但剪力圖在該處無變化。

12/17/20235012/17/202351作剪力圖，從左往右，★向上的外力向上畫★向下的外力向下畫★分布載荷斜著畫★沒有外力水平畫★集中力偶不管它12/17/20235212/17/20235312/17/20235412/17/20235512/17/20235612/17/20235712/17/20235812/17/20235912/17/20236012/17/20236112/17/20236212/17/202363

畫內力圖小結作剪力圖，從左往右，★向上的外力向上畫★向下的外力向下畫★分布載荷斜著畫

★

沒有外力水平畫★

集中力偶不管它作彎矩圖，從左往右，★

梁左端沒有集中力偶，彎矩為零；

有集中力偶時，順時針向上畫，逆時針向下畫?！锛袅檎蛏闲敝?；剪力為負，向下斜著畫?！锓植驾d荷向下，曲線向上凸；

分布載荷向上，曲線向下凸。★控制點數(shù)據(jù)，逐點加兩點間剪力圖面積。12/17/202364一.剛架的內力圖

剛架的組成—橫梁、立柱與剛節(jié)點立柱剛節(jié)點橫梁§4-6平面剛架（折桿）內力圖

平面剛架是由在同一平面內，不同取向的桿件，通過桿端相互剛性連結而組成的結構.F1alF2ABCB當桿件變形時，兩桿連接處保持剛性，即角度（一般為直角）保持不變。12/17/202365節(jié)點處的平衡關系：

當節(jié)點處沒有集中外力作用時,由節(jié)點平衡可知：

FNFSFSFNFNFSFNFSMMMM在平面載荷作用下，組成剛架的桿件橫截面上一般存在軸力、剪力和彎矩三個內力分量。12/17/202366剛架內力圖的畫法1.無需建立坐標系；2.控制面數(shù)據(jù)根據(jù)平衡微分方程計算；3.彎矩圖畫在受壓邊，（結構力學規(guī)定畫在受拉邊）

軸力，剪力畫在里側和外側均可，但需標出正負號；4.注意剛節(jié)點處的平衡關系。5.當剛節(jié)點處無集中力偶作用時，

剛節(jié)點兩側的彎矩

大小相等，彎矩圖畫在同側。12/17/202367例：作圖示剛架的軸力圖、剪力圖、彎矩圖。ABC12/17/202368BAC12/17/202369例：作圖示剛架的軸力圖、剪力圖、彎矩圖。BACD12/17/202370CL7TU18BADC12/17/202371例：作圖示剛架的彎矩圖。BAC12/17/202372例：作圖示剛架的彎矩圖。BAC12/17/202373例：作圖示剛架的彎矩圖。BAC12/17/202374例:繪剛架內力圖解：一）求支反力：q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRB12/17/202375二）分析內力：1）BC桿：（0x13）8kNRAYq=1kN/mABCDE4m1m2m3mRAXRB1kNFN12）DC桿：（0x23）分段列出EC段（0x22）x21kNRBx1B12/17/202376q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBDE段：（3x22）X2x33）AD段：（0x34）12/17/202377三、作內力圖1）軸力圖q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBABDEC3kN1kN5kN12/17/202378q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBABDEC2）剪力圖:用簡易法：取控制點1kN

BC桿：取一點（水平線）DC桿：取兩點（水平線）5kN3kNDA桿：取兩點（斜直線）1kN3kN12/17/202379q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRB3）彎矩圖：用簡易法：取控制點BC桿：取兩點（斜直線）DC桿：取兩點（斜直線）DA桿：取三點（拋物線）ABDEC0kN3kNm3kNm7kNm4kNm4.5kNm3m4kNmABDEC1kN

5kN3kN1kN3kN12/17/202380ABDEC1kN

5kN3kN1kN3kNA