奧數(shù)-格點(diǎn)與面積

學(xué)科：奧數(shù)教學(xué)內(nèi)容：第六講格點(diǎn)與面積生活中我們常借助一些工具來(lái)迅速簡(jiǎn)便的解決一些問(wèn)題，如為了能捕到魚(yú)，人們制作了魚(yú)鉤和網(wǎng)。同樣在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，為了更好的解決問(wèn)題聰明的人類也創(chuàng)造了一些“工具〞。這一講我們主要介紹利用格點(diǎn)求幾何圖形的面積。先來(lái)介紹什么是“格點(diǎn)〞。見(jiàn)下列圖：這是一張由水平線和垂直線組成的方格紙，我們把水平線和垂直線的交點(diǎn)稱為“格點(diǎn)〞，水平線和垂直線圍成的每個(gè)小正方形稱為“面積單位〞。圖中帶陰影的小方格就是一個(gè)面積單位。借助格點(diǎn)圖，我們可以很快的比擬或計(jì)算圖形的面積大小。利用格點(diǎn)求圖形的面積通常有兩種思路，一是直接將圖形分成假設(shè)干個(gè)面積單位，然后通過(guò)計(jì)算有多少個(gè)面積單位來(lái)求圖形面積；二是將某些圖形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的面積來(lái)求。當(dāng)然還可以將這兩種方法結(jié)合起來(lái)，求出某些較復(fù)雜圖形的面積。計(jì)算下列圖中各圖形的面積：分析：先仔細(xì)觀察圖中的每個(gè)圖形，選擇方法。顯然第一、三、六圖可以直接數(shù)出包含多少個(gè)面積單位即可。而二、四、五圖顯然不適合用數(shù)單位面積的方法來(lái)求面積，可以采用虛線把這些圖形擴(kuò)展或割補(bǔ)成長(zhǎng)方形，通過(guò)求長(zhǎng)方形面積來(lái)求這些圖形面積。解答：〔1〕圖中長(zhǎng)方形包括3×2=6〔個(gè)〕面積單位，所以它的面積為6。〔2〕將圖中平行四邊形割補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的面積為3×2=6，而平行四邊形的面積等于長(zhǎng)方形面積，所以平行四邊形的面積為3×2=6?！?〕將圖中三角形用虛線分成3塊，它包含有1個(gè)面積單位和2個(gè)面積單位的一半，合起來(lái)有2個(gè)面積單位，所以它的面積為2?！?〕圖中將三角形擴(kuò)展成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的面積為3×2=6，而三角形面積為長(zhǎng)方形面積的一半，那么三角形面積為3?！?〕將圖中梯形的互相平行的一組對(duì)邊延長(zhǎng)，補(bǔ)出一個(gè)和原來(lái)梯形方向顛倒，但面積一樣的梯形，形成一個(gè)大的長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形的面積為〔2＋4〕×3=18，而梯形的面積為長(zhǎng)方形的面積的一半。所以梯形的面積為：〔2＋4〕×3÷2=9?！?〕將圖中梯形用虛線分成3塊，它包含有5個(gè)面積單位和2個(gè)面積單位的一半，合起來(lái)有6個(gè)面積單位，所以它的面積為6。計(jì)算下面這個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積。分析：這是一個(gè)不規(guī)那么的多邊形，不能直接求出它的面積?？捎瞄L(zhǎng)方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積，如圖1所示；另外還可將該四邊形分割成幾塊，如圖2。解答：方法一：3×4－〔2×1÷2＋2×1÷2＋2×2÷2＋3×1÷2〕=6.5〔面積單位〕方法二：1×2÷2＋1×3÷2＋1×1÷2＋3×1÷2＋1×2=6.5〔面積單位〕相鄰四點(diǎn)連成的小正方形面積為1平方厘米。分別連接各點(diǎn)，組成下面12個(gè)圖形，你發(fā)現(xiàn)有什么排列的規(guī)律？算出各圖形的面積。找出圖形外面一周的點(diǎn)子數(shù)、中間的點(diǎn)子數(shù)與面積三者之間的關(guān)系。分析：仔細(xì)觀察圖形：橫看，從左往右圖形一周的格點(diǎn)數(shù)逐漸增多，中間的格點(diǎn)數(shù)不變；豎看，從上往下列圖形一周的格點(diǎn)數(shù)不變，中間的格點(diǎn)數(shù)逐漸增多。圖形一周的格點(diǎn)數(shù)、中間的格點(diǎn)數(shù)與面積究竟有什么關(guān)系呢？我們可以將圖形按中間沒(méi)有個(gè)點(diǎn)、中間有一個(gè)格點(diǎn)和中間有兩個(gè)格點(diǎn)進(jìn)行分組列表分析。第〔1〕組圖形編號(hào)①②③④一周格點(diǎn)數(shù)46814中間格點(diǎn)數(shù)0000面積〔平方厘米〕1236中間沒(méi)有格點(diǎn)時(shí)，面積=一周格點(diǎn)數(shù)÷2－1第〔2〕組圖形編號(hào)⑤⑥⑦⑧一周格點(diǎn)數(shù)46814中間格點(diǎn)數(shù)1111面積〔平方厘米〕2347中間有一個(gè)格點(diǎn)時(shí)，面積=一周格點(diǎn)數(shù)÷2＋〔1－1〕1211第〔3〕組1211圖形編號(hào)⑨⑩一周格點(diǎn)數(shù)46814中間格點(diǎn)數(shù)2222面積〔平方厘米〕3458中間有兩個(gè)格點(diǎn)時(shí)，面積=一周格點(diǎn)數(shù)÷2＋〔2－1〕解答：〔1〕中間格點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，圖形的面積隨著一周的格點(diǎn)數(shù)增加而增加；當(dāng)一周的格點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，圖形的面積同樣隨著中間的格點(diǎn)數(shù)增加而增加?！?〕各圖形的面積見(jiàn)表格。各圖形面積的大小與一周的格點(diǎn)數(shù)、中間的格點(diǎn)數(shù)都有關(guān)系，格點(diǎn)圖形的面積計(jì)算公式是：圖形面積=圖形一周的格點(diǎn)數(shù)÷2＋〔中間格點(diǎn)數(shù)－1〕說(shuō)明：格點(diǎn)圖形的面積求法很靈活，不要死記公式，要具體題目具體研究。下列圖是一個(gè)漂亮禮盒的平面圖，請(qǐng)你求出它的面積：分析：這是一個(gè)組合圖形，面積可分成幾個(gè)局部來(lái)求。本圖可分為兩個(gè)三角形和一個(gè)長(zhǎng)方形三局部。每一局部面積的求法，因圖而異。如兩個(gè)三角形需要擴(kuò)展成長(zhǎng)方形再求面積，而長(zhǎng)方形只要直接數(shù)單位面積即可。解答：左邊三角形面積=4×4－1×2÷2－4×3÷2－4×2÷2=5；右邊三角形面積=4×4－1×3÷2×2－4×4÷2－1×1=4；長(zhǎng)方形的面積為6×2=12；所以禮盒面積為：5＋4＋12=21說(shuō)明：此題還可以直接用公式，請(qǐng)你自己試一試。在下列圖中有21個(gè)點(diǎn)，每相鄰三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)單位面積的等邊三角形，計(jì)算三角形ABC的面積。分析：此題是一個(gè)三角形格點(diǎn)圖。每三個(gè)相鄰的格點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，為一個(gè)面積單位。三角形格點(diǎn)圖形面積的計(jì)算類似于正方形格點(diǎn)圖形面積的計(jì)算，可以直接數(shù)圖形所包含的面積單位，也可將之轉(zhuǎn)化為幾個(gè)易求的三角形，在通過(guò)加減運(yùn)算得到。此題中三角形ABC的面積不能通過(guò)直接數(shù)格點(diǎn)面積來(lái)求，可以把它擴(kuò)展成三一個(gè)大三角形，再減；也可以把它分成幾個(gè)小的三角形，然后再加。解答：方法一：給三角形ABC添加Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ局部小的三角形，那么得到由25個(gè)單位三角形構(gòu)成的大三角形，現(xiàn)在只要分別求出Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ三個(gè)小三角形的面積即可。三角形Ⅰ是一個(gè)平行四邊形的面積的一半，如圖4中的虛線平行四邊形。這個(gè)平行四邊形包含6個(gè)面積單位，所以他的面積為6，三角形Ⅰ的面積為：6÷2=3同理，三角形Ⅱ及Ⅲ的面積分別為4和8，所以三角形ABC的面積為：25－3－4－8=10〔面積單位〕方法二：將三角形分成幾個(gè)易求面積的三角形〔如圖3〕。Ⅰ的面積為1×3=3，Ⅱ的面積可直接數(shù)為1，Ⅲ的面積為1×2=2，Ⅳ的面積為2×2=4，于是三角形ABC的面積為：3＋1＋2＋4=10。想一想：以三角形Ⅰ為例，為什么這里三角形的面積可以用1×3計(jì)算？可聯(lián)系方法一中三角形Ⅰ面積的求法。說(shuō)明：關(guān)于三角形格點(diǎn)多邊形的面積也有類似于正方形格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算公式?？梢园凑绽?的方法歸納總結(jié)，就可以得到三角形格點(diǎn)多邊形面積的計(jì)算公式：三角形格點(diǎn)多邊形的面積=多邊形內(nèi)包含的格點(diǎn)數(shù)×2＋多邊形周界上的格點(diǎn)數(shù)－2。在下列圖中有45個(gè)正方形格點(diǎn)，過(guò)圖中三點(diǎn)連一個(gè)三角形，并且至少有一條邊水平或垂直。問(wèn)共有多少個(gè)這樣的格點(diǎn)三角形？分析：如果要在圖中找一個(gè)面積為8的格點(diǎn)三角形很容易，但是要求出有多少個(gè)這樣的格點(diǎn)三角形就有些困難，不過(guò)功夫不負(fù)有心人，一定能找到方法。注意到待計(jì)數(shù)的格點(diǎn)三角形的底與高的乘積為16，所以可以分類計(jì)數(shù)。解答：因?yàn)?6=4×4=2×8=8×2，所以可以分為以下幾類來(lái)計(jì)數(shù)：〔1〕每個(gè)4×4的正方形中有4個(gè)直角三角形符合要求，總數(shù)為4×5=20〔個(gè)〕；〔2〕每個(gè)2×8的長(zhǎng)方形中也有4個(gè)直角三角形符合要求，總數(shù)為4×3=12〔個(gè)〕；〔3〕符合要求的不是直角三角形的三角形有：4×4，狀的有：5×7=35〔個(gè)〕；狀的有：35個(gè)；狀的有：5×3=15〔個(gè)〕；狀的有：15個(gè)；8×2，狀的有：3×7=21〔個(gè)〕；狀的有：21個(gè)；2×8，狀的有：3×3=9〔個(gè)〕；狀的有：9個(gè)；共有：〔35＋15＋21＋9〕×2=160〔個(gè)〕所以符合要求的三角形一共有：20＋12＋160=192〔個(gè)〕閱讀材料有形狀的數(shù)最早把自然數(shù)和幾何圖形聯(lián)系在一起的是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯。畢達(dá)哥拉斯把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，又按小石子所能排列的形狀，尋找自然數(shù)與正三角形、正方形、正五邊形……之間的關(guān)系。畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小石子的數(shù)目是1、3、6、10等數(shù)時(shí)，小石子都能擺成正三角形，他把這些數(shù)叫做三角形數(shù)；當(dāng)小石子的數(shù)目是1、4、9、16等數(shù)時(shí)，小石子都能擺成正方形，他把這些數(shù)叫做正方形數(shù)；當(dāng)小石子的數(shù)目是1、5、12、22等數(shù)時(shí)，小石子都能擺成正五邊形，他把這些數(shù)叫做正五邊形數(shù)……畢達(dá)哥拉斯還擺出了其它多邊形數(shù)。有趣的事，他還進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了各種“形數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系〞。比方，每個(gè)大于1的正方形數(shù)都可以表示成兩個(gè)相鄰三角形數(shù)的和。4=1+3，9=3+6，16=6+10，……反過(guò)來(lái)，任意兩個(gè)相鄰的三角形數(shù)相加，必然是一個(gè)正方形數(shù)，也就是平方數(shù)。這從下面的圖形中可以得到證實(shí)。畢達(dá)哥拉斯借助生動(dòng)的幾何直觀發(fā)現(xiàn)，第n個(gè)三角形數(shù)等于1+2+3+…+n，第n個(gè)正方形數(shù)等于，……根據(jù)這些規(guī)律，人們就可以寫出很多很多的形數(shù)了。練習(xí)題1．計(jì)算下列圖中各多邊形的面積〔點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離都是1厘米〕分析與解答：〔1〕直接計(jì)數(shù)，圖1中包含5個(gè)面積單位，所以它的面積為5；〔2〕直接計(jì)數(shù)，圖2中包含6個(gè)面積單位，所以它的面積為6；〔3〕將圖3分為上下兩局部，上面的長(zhǎng)方形包含有6個(gè)面積單位，下面的平行四邊形可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)1×2的長(zhǎng)方形，所以面積為2。圖3的面積為6＋2=8〔面積單位〕；〔4〕圖中包含2個(gè)面積單位和4個(gè)單位面積的一半，所以圖4的面積為4；〔5〕將圖5按下列圖分割為上下兩局部，上面的包含3.5個(gè)面積單位，下面的面積為3×1÷2=1.5〔面積單位〕，所以圖5的面積為5；〔6〕直接計(jì)數(shù)，圖6中包含7個(gè)面積單位，所以它的面積為7。2．下列圖中喇叭、小貓、小狗的面積各是多少？分析與解答：〔1〕喇叭圖中包含2個(gè)面積單位和2個(gè)面積單位的一半，所以它的面積為3；〔2〕將小貓圖分為左右兩局部，頭與身子局部的面積為〔可直接計(jì)數(shù)〕10，尾巴局部是一個(gè)平行四邊形，它的面積與一個(gè)單位面積相同，所以小貓圖的面積為11?！?〕小狗圖面積的求法與小貓圖形面積的求法相同，它的面積為6。說(shuō)明：此題還有其他的分割方法，請(qǐng)你自己想一想。想一想：請(qǐng)你用格點(diǎn)圖形面積的計(jì)算公式試求每一個(gè)圖形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？是不是每個(gè)圖都可以用公式計(jì)算，哪個(gè)可以，哪個(gè)不可以，為什么？3．求下列圖中梯形的面積。分析與解答：這個(gè)梯形圖的一周共有6個(gè)格點(diǎn)，中間共有16個(gè)格點(diǎn)，運(yùn)用正方形格點(diǎn)圖形的面積公式的：6÷2＋16－1=18〔面積單位〕想一想：還有其他方法嗎？請(qǐng)你試做。4．下列圖中三角形的面積分析與解答：方法一：這個(gè)三角形圖的一周共有6個(gè)格點(diǎn)，中間共有13個(gè)格點(diǎn)，運(yùn)用正方形格點(diǎn)圖形的面積公式的：6÷2＋13－1=15〔面積單位〕。方法二：將三角形擴(kuò)展成一個(gè)6×6的正方形時(shí)，增加了三個(gè)直角三角形，因?yàn)橹苯侨切蔚拿娣e簡(jiǎn)單易求，所以我們將求三角形ABC的面積轉(zhuǎn)化為求正方形的面積和直角三角形的面積，然后求差即可。正方形的面積為36，左上角的直角三角形的面積為2×6÷2=6〔面積單位〕，右下角的直角三角形的面積為3×6÷2=9〔面積單位〕，右上角的直角三角形的面積為4×3÷2=6〔面積單位〕，由此可得三角形ABC的面積：36－6－9－6=15〔面積單位〕5．下面圖中有21個(gè)點(diǎn)，其中相鄰的三點(diǎn)所形成的等邊三角形的面積為1，試計(jì)算四邊形的面積。分析與解答：方法一：這個(gè)四邊形圖的一周共有4個(gè)格點(diǎn)，中間共有5個(gè)格點(diǎn)，運(yùn)用三角形格點(diǎn)圖形的面積公式的：5×2＋4－2=12〔面積單位〕。方法二：加一條輔助線，將四邊形分成下列圖中的2個(gè)三角形，左上的三角形面積為4×1=4，右下的三角形面積為4×2=8，所以四邊形的面積為4＋8=12。6．計(jì)算下面三角形格點(diǎn)多邊形的面積分析與解答：這個(gè)六邊形圖的一周共有7個(gè)格點(diǎn)，中間共有8個(gè)格點(diǎn)，運(yùn)用三角形格點(diǎn)圖形的面積公式：8×2＋7－2=21〔面積單位〕。7．計(jì)算下面三角形格點(diǎn)中多邊形的面積。分析與解答：方法一：這個(gè)多邊形圖的一周共有10個(gè)格點(diǎn)，中間共有9個(gè)格點(diǎn)，運(yùn)用三角形格點(diǎn)圖形的面積公式的：9×2＋10－2=26〔面積單位〕。方法二：加輔助線將這個(gè)多邊形分成如下列圖所示的三個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形。左下角的三角形為一個(gè)面積為10的平行四邊形面積的一半是5，右上角的三角形的面積為3〔請(qǐng)你自己找出它所在的平行四邊形〕，中間的等邊三角形的面積為4×4=16，小平行四邊形的面積為2，因此多邊形的面積為：5＋3＋16＋2=26〔面積單位〕8．下列圖中有16個(gè)格點(diǎn)，以圖中三點(diǎn)為頂點(diǎn)連一個(gè)三角形，并且至少有一條邊水平或垂直。問(wèn)共有多少個(gè)這樣的格點(diǎn)三角形，面積分別是多少？分析與解答：以這16個(gè)格點(diǎn)中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)連成的三角形面積最多為整個(gè)圖形面積的一半，即任一三角形的面積至多為3×3÷2=4.5〔面積單位〕。面積為4.5的直角三角形有4個(gè)；面積為4.5的非直角三角形有2×4=8〔個(gè)〕；面積為3×2÷2=3的直角三角形有4×4=16〔個(gè)〕；面積為3×2÷2=3的非直角三角形有6×4=24〔個(gè)〕；面積為2×2÷2=2的直角三角形有4×4=16〔個(gè)〕；面積為2×2÷2=2的非直角三角形有8×4=32〔個(gè)〕；面積為3×1÷2=1。5的直角三角形有4×6=24〔個(gè)〕；面積為3×1÷2=1。5的非直角三角形有4×6=24〔個(gè)〕；面積為2×1÷2=1的直角三角形有4×12=48〔個(gè)〕；面積為2×1÷2=1的非直角三角形有〔4＋8＋8＋4〕×2=48〔個(gè)〕；面積為1×1÷2=0。5的直角三角形有4×9=36〔個(gè)〕；面積為1×1÷2=0。5的非直角三角形有〔6＋12＋12＋6〕×2=72〔個(gè)〕；所以圖中共有4＋8＋16＋24＋16＋32＋24＋24＋48＋48＋36＋72=352〔個(gè)〕格點(diǎn)三角形。9．在下列圖中含有多少個(gè)格點(diǎn)正方形？分析與解答：這個(gè)問(wèn)題可分類討論：面積為1個(gè)單位面積的格點(diǎn)正方形共有3×3=9個(gè)；面