第19講包含與排除

第19講包含與排除【專(zhuān)題精華】在解包含與排除問(wèn)題時(shí)，要善于使用形象的圖示幫助理解題意，搞清數(shù)量關(guān)系和邏輯關(guān)系。也可以用容斥原理來(lái)解。容斥原理（1）：如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B兩類(lèi)，那么A類(lèi)或B類(lèi)元素個(gè)數(shù)=A類(lèi)元素個(gè)數(shù)+B類(lèi)元素個(gè)數(shù)-既是A類(lèi)又是B類(lèi)的元素個(gè)數(shù)。容斥原理（2）：如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B、C三類(lèi)，那么A類(lèi)或B類(lèi)或C類(lèi)元素個(gè)數(shù)=A類(lèi)元素個(gè)數(shù)+B類(lèi)元素個(gè)數(shù)+C類(lèi)元素個(gè)數(shù)-既是A類(lèi)又是B類(lèi)的元素個(gè)數(shù)-既是B類(lèi)又是C類(lèi)元素個(gè)數(shù)-既是A類(lèi)又是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù)+既是A類(lèi)又是B類(lèi)且是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù)?！窘滩纳罨縖題1]在100個(gè)外語(yǔ)教師中，懂英語(yǔ)的有75人，懂日語(yǔ)的有45人，其中必然有既懂英語(yǔ)又懂日語(yǔ)的老師，問(wèn)：只懂英語(yǔ)的老師有多少人？<敏捷思維>顯然，兩種語(yǔ)言都懂的人在懂英語(yǔ)的75人中統(tǒng)計(jì)過(guò)一次，在懂日語(yǔ)的45人中又統(tǒng)計(jì)過(guò)一次，因此，75+45=120（人），比100多出的20人就是兩種語(yǔ)言都懂的人數(shù)。然后，從懂英語(yǔ)的75人中減去兩種語(yǔ)言都懂的20人，就是只懂英語(yǔ)的人數(shù)了：75-20=55（人）。<全解>75+45-100=20（人）75-20=55（人）答：只懂英語(yǔ)的有55人。<拓展探究>解此題的關(guān)鍵要理解把人數(shù)重復(fù)統(tǒng)計(jì)了，從中找出兩種語(yǔ)言都懂的人數(shù)。[能力沖浪]1、全班46名同學(xué)，僅會(huì)打乒乓球的有28人，會(huì)打乒乓球又會(huì)打羽毛球的有10人，不會(huì)打乒乓球又不會(huì)打羽毛球的有6人，僅會(huì)打羽毛球的有多少人？2、30名學(xué)生中，8人學(xué)法語(yǔ)，12人學(xué)西班牙語(yǔ)，3人既學(xué)法語(yǔ)又學(xué)西班牙語(yǔ)。問(wèn)有多少學(xué)生兩種語(yǔ)言都不學(xué)？3、1至500，這500個(gè)自然數(shù)中，是5的倍數(shù)或是7的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？[題2]某個(gè)班的全體學(xué)生進(jìn)行短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，有4名學(xué)生在這三個(gè)項(xiàng)目上都沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一個(gè)項(xiàng)目達(dá)到優(yōu)秀，這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目、人數(shù)如下表：短跑游泳籃球短跑、游泳游泳、籃球籃球、短跑短跑、游泳、籃球1718156655這個(gè)班有學(xué)生多少人？<敏捷思維>4+17+18+15中有兩項(xiàng)達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生被算了2次，應(yīng)當(dāng)從中去掉1次，成為4+17+18+15-6-6-5。但其中三項(xiàng)達(dá)到優(yōu)秀的人，開(kāi)始被算了3次，然后又被去掉3次，所以應(yīng)將這部分人數(shù)加進(jìn)來(lái)，。<全解>全班人數(shù)是4+17+15+15-6-6-5+2=39（人）<拓展探究>解此題要知道兩項(xiàng)優(yōu)秀的學(xué)生被算了幾次，三項(xiàng)優(yōu)秀學(xué)生被算了幾次又去掉了幾次，最后要把這三項(xiàng)都優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)加進(jìn)去。[能力沖浪]1、某校參加區(qū)里的數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、科技三科競(jìng)賽，學(xué)生中至少參加一科的：數(shù)學(xué)807人，語(yǔ)文739人，科技437人；至少參加兩科競(jìng)賽的：參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文的有593人，參加數(shù)學(xué)、科技的有371人，參加語(yǔ)文、科技的有267人，三科都參加的有213人，問(wèn)至少參加一科競(jìng)賽的有多少人？2、實(shí)驗(yàn)二小各年級(jí)都參加的一次書(shū)法比賽中，四年級(jí)與五年級(jí)共有20人獲獎(jiǎng)，在獲獎(jiǎng)?wù)咧杏?6人不是四年級(jí)的，有12人不是五年級(jí)的。該校書(shū)法比賽獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)是多少人。3、二（三）班共有45人，其中35人會(huì)下象棋，30人會(huì)下軍棋，38人會(huì)下圍棋，40人會(huì)下跳棋，可以肯定這個(gè)班至少有多少人以上四種棋都會(huì)？【生活數(shù)學(xué)】[題3]在1至100這100個(gè)數(shù)中，有既不能被5整除也不能被9整除的數(shù)，它們的和是多少？<敏捷思維>先求出被5或9整除的數(shù)的和1至100中被5整除的數(shù)的有5、10、15，…，100，和為5+10+15+……+100=（100+5）×20÷2=10501至100中被9整除的數(shù)是9，18，……，99，和為9+18+……+99=（9+99）×11÷2=594又1至100中，45、90這兩個(gè)數(shù)同時(shí)被5與9整除。<全解>所求的和是（1+2+…+100）-（5+10+……+100）-（9+18+……+99）+（45+90）=3541<拓展探究>先求出被5或9整除的數(shù)的和，再求出1至100中同時(shí)被5與9整除的數(shù)，就可以求出既不能被5整除也不能被9整除的數(shù)的和。[能力沖浪]1、在1-100的自然數(shù)中，不是5的倍數(shù)，也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？2、在1-100的自然數(shù)中，能被2或3整除的數(shù)有多少個(gè)？3、在1-1000的自然數(shù)中，不能被3，5，7中任何一個(gè)數(shù)整除的數(shù)共有多少個(gè)？[題4]甲、乙、丙三個(gè)人共解出20道數(shù)學(xué)題，每人都解出了其中的12道題，每道題都有人解出，只有1人解出的題叫做難題，只有兩人解出的題叫中等題，三人解出的題叫容易題，難題比容易題多題。<敏捷思維>每道難題只有1人解出，每道容易題有3人解出，所以一道難題與一道容易題可以當(dāng)作2道中等題。將難題與容易題盡可能兩兩配對(duì)，當(dāng)作中等題，這樣處理后，如果20道題全成為中等題，那么3個(gè)人共解出20×2=40道題，但現(xiàn)在3個(gè)人共解出12×3=36道題，還差4道，所以有4道是難題，即原來(lái)難題比容易題多4道。<全解>20×2=40（道）12×3=36（道）40-36=4（道）<拓展探究>解此題的關(guān)鍵把一道難題與一道容易題可以當(dāng)作2道中等題來(lái)解答，從中找出它們之間的關(guān)系。[能力沖浪]1、一次數(shù)學(xué)小測(cè)驗(yàn)中只有兩道題，結(jié)果全班有10人全對(duì)，第一題25人對(duì)，第二題18人做錯(cuò)，那么兩題都做錯(cuò)的有多少人？2、學(xué)校數(shù)學(xué)競(jìng)賽出了A，B，C三道題，每人都至少做對(duì)一道，其中做對(duì)A題的有30人，做對(duì)B題的有32人，做對(duì)C題的有21人，既做對(duì)A題又做對(duì)B題的有15人，既做對(duì)B題又做對(duì)C題的有12人，既做對(duì)A題又做對(duì)C題的有14人，三道題都做對(duì)的有8人。那么參加競(jìng)賽的共有多少人？3、某次考試有52人參加，共5道題。每題做對(duì)的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：題號(hào)一二三四五做對(duì)的人數(shù)4846423213每人至少做對(duì)一道題，做對(duì)一道題的人有7人，5道題全對(duì)的有6人，做對(duì)二道題的人數(shù)和做對(duì)三道題的人數(shù)一樣多。那么，做對(duì)四道題的有多少人？【感受奧賽】[題5]有黑白兩種棋子共300枚，按每堆3枚分成100堆，其中只有1枚白子的共27堆，有2枚或3枚黑子的共42堆；有3枚白子的與有3枚黑子的堆數(shù)相等。那么在全部棋子中白子共有枚。<敏捷思維>按每堆所含白子的枚數(shù)分四類(lèi)討論，已知“只有1枚白子的共27堆”，又“有2枚或3枚黑子的共42堆”，即有1枚或0枚白子的共42堆，于是有0枚白子的有42-27=15（堆），再因?yàn)椤坝?枚白子的與有3枚黑子（即有0枚白子）的堆數(shù)相等”，故有3枚白子的堆數(shù)也是15堆。最后，因?yàn)榭偠褦?shù)是100，所有2枚白子的堆數(shù)是100-（15+27+15）=43。<全解>在全部棋子中，白子共有0×15+1×27+2×43+3×15=158（枚）<拓展探究>此題看上去比較復(fù)雜，但我們仔細(xì)觀察就可以把每堆所含白子的枚數(shù)分四類(lèi)討論，這樣就可以找出解此題的突破口。[能力沖浪]1、實(shí)驗(yàn)二小舉行小學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中24名運(yùn)動(dòng)員不是六年級(jí)的，28名運(yùn)動(dòng)員不是五年級(jí)的，已知五、六年級(jí)運(yùn)動(dòng)員共有32名，五、六年級(jí)和中低年級(jí)運(yùn)動(dòng)員各有幾名？2、甲、乙、丙都在讀同一本故事書(shū)，書(shū)中有100個(gè)故事，每人都從某一個(gè)故事開(kāi)始按順序往后讀。已知甲讀了75個(gè)故事，乙讀了60個(gè)故事，丙讀了52個(gè)故事，那么甲、乙、丙三人共同讀過(guò)的故事至少有個(gè)。3、在從1到1998的自然數(shù)中，能被2整除，但不能被3或7整除的數(shù)的個(gè)數(shù)等于。

19、包含與排除提高篇1、第一小組的同學(xué)們都在做兩道數(shù)學(xué)思考題，做對(duì)第一題的有15人，做對(duì)第二題的有10人，兩題都做對(duì)的有7人，兩題都做錯(cuò)的有2人，第一小組一共有多少人？2、五年級(jí)100名同學(xué)，每人至少愛(ài)好體育、文藝和科學(xué)三項(xiàng)中的一項(xiàng)。其中，愛(ài)好體育的有58人，愛(ài)好文藝的有60人，愛(ài)好科學(xué)的有54人，三項(xiàng)都愛(ài)好的有20人，只愛(ài)好體育和科學(xué)的有15人，只愛(ài)好體育和文藝的有8人。多少人只愛(ài)好科學(xué)和文藝兩項(xiàng)？3、五（三）班有54人，每人至少都愛(ài)好一種球類(lèi)。愛(ài)好乒乓球的有40人，愛(ài)好足球的有20人，愛(ài)好排球的有30人，既愛(ài)好乒乓球又愛(ài)好排球的有18人，既愛(ài)好足球又愛(ài)好乒乓球的有14人；既愛(ài)好足球又愛(ài)好排球的有12人。三種球都愛(ài)好的有多少人？4、把1-200這200個(gè)自然數(shù)中，既不是3的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)排成一排，其中第97個(gè)數(shù)是多少？5、在1，2，3，……，1998這1998個(gè)數(shù)中，既不能被8整除，也不能被12整除的數(shù)共有個(gè)。6、在實(shí)驗(yàn)二小“創(chuàng)新杯”展覽會(huì)上，展品中有26件不是六年級(jí)的，有25件不是五年級(jí)的，已知五、六年級(jí)展品共35件，那么五年級(jí)的展品有件。7、有A，B，C三個(gè)面積分別為38，40，42平方厘米的圓，每?jī)蓚€(gè)圓相交部分的面積分別為