山西省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

屆高三一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（三）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回?？荚嚂r(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知M，N是全集U的非空子集，且，則A. B. C. D.2.若z滿足，則A. B. C.5 D.3.已知非零向量，，那么“”是“的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.記的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，，則邊上的高為A. B. C. D.5.已知某物種t年后的種群數(shù)量y近似滿足函數(shù)模型：.自2023年初起，經(jīng)過n年后（），當(dāng)該物種的種群數(shù)量不足2023年初的20%時(shí)，n的最小值為（參考數(shù)據(jù)：）A.10 B.11 C.12 D.136.過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則A. B. C.1 D.27.對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列，令，則數(shù)列稱為數(shù)列的一階商數(shù)列，再令，則數(shù)列是數(shù)列的二階商數(shù)列.已知數(shù)列為1，2，8，64，1024，…，且它的二階商數(shù)列是常數(shù)列，則A. B. C. D.8.已知函數(shù)，設(shè)，，，則A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，則A.有最大值4 B.有最大值C. D.10.一半徑為2米的水輪，水輪圓心O距離水面1米（如圖）.已知水輪按逆時(shí)針方向繞圓心O做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每1分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水面浮現(xiàn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，則下列判斷正確的有A.點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要20秒B.點(diǎn)P第一次到達(dá)最低點(diǎn)需要45秒C.在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有20秒的時(shí)間，點(diǎn)P在水面的下方D.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)30秒時(shí)，點(diǎn)P距離水面的高度是2米11.已知正三棱柱的各棱長都為1，E為的中點(diǎn)，則A.平面B.二面角的正弦值為C點(diǎn)A到平面的距離為D.若棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的半徑為.12.設(shè)定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若與均為偶函數(shù)，則下列說法正確的是A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B.2為函數(shù)的周期C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 D.為偶函數(shù)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知函數(shù)則的值為_______.14.已知為銳角且滿足，則________.15.已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列滿足，且，則________.16.在四棱錐中，，，，，，，則三棱錐外接球的表面積為________.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（10分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意正整數(shù)n，均有，求正整數(shù)m的最大值.18.（12分）已知向量，向量，.（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若在上有唯一的零點(diǎn)，求的取值范圍.19.（12分）已知函數(shù).（1）若在上存在單調(diào)減區(qū)間，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若在區(qū)間上有極小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20.（12分）如圖，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，，，B為下底面圓周上異于A，C的點(diǎn).（1）在線段上是否存在一點(diǎn)P，使得平面?若存在，指出點(diǎn)P的位置，并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）若四棱錐的體積為，求平面與平面角的余弦值.21.（12分）如圖，在平面凸四邊形中，，，，M為邊的中點(diǎn).（1）若，求的面積；（2）求的最大值.22.（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求證：在上單調(diào)遞減；（2）若有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，.（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）求證：.2024屆高三一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（三）數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見1.D【解析】因?yàn)镸，N是全集U的非空子集，且，所以韋恩圖為：由韋恩圖可知，D正確.故選D.2.B【解析】因?yàn)?，所?故選B.3.B【解析】對(duì)兩邊平方，整理可得向量與的夾角為0，向量與平行且同向，從而存在實(shí)數(shù)；由可得向量，平行，與同向或者反向，因此“”是“”的必要不充分條件.故選B.4.D【解析】由，得，設(shè)邊上的高為h，因?yàn)?，所以，即邊上的高?故選D.5.D【解析】根據(jù)題意得2023年初（）時(shí)種群數(shù)量為，所以由，化簡得，則，又因?yàn)?，所以的最小值?3.故選D.6.B【解析】由題意得，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，由于，故，，由題意可知，為的兩個(gè)解，則，，故，故選B.7.C【解析】該數(shù)列的一階商數(shù)列為2，4，8，16，…，則二階商數(shù)列為2，2，2，…，因?yàn)槎A商數(shù)列是常數(shù)列，故二階商數(shù)列后面的項(xiàng)均為2，所以一階商數(shù)列后面的項(xiàng)依次為，，，…，從而原數(shù)列后面的項(xiàng)依次為，，…，故.故選C.8.A【解析】，由題意知當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，所以只需比較，，的大小.當(dāng)時(shí)，，則，所以；令，，則，令，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得，即在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，即在區(qū)間上恒成立，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上恒成立，令，則，即，所以，綜上所述，.故選A.9.BCD【解析】對(duì)于A，正實(shí)數(shù)a，b滿足，即有，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值4，無最大值，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，D正確.故選BCD.10.ACD【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.如下圖，設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度與時(shí)間的函數(shù)解析式為，由題意知：，，最小正周期，，，，，即，又由及題意，，.對(duì)于A，令，解得，即點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要20秒，A正確；對(duì)于B，令，解得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，即，，解得，所以水輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，點(diǎn)P在水面下方的時(shí)間為秒，C正確；對(duì)于D，，當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)30秒時(shí)，點(diǎn)P距離水面的高度是2米，D正確.故選ACD.11.ACD【解析】連接與相交于F，連接，因?yàn)镕，E分別為，中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，故選項(xiàng)A正確.在正三棱柱中，平面，又因?yàn)槠矫?，則.又，，平面，平面，所以平面.又因?yàn)槠矫?，則，又，可知二面角的平面角為，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為d，取中點(diǎn)G，連接，則，又，，，，由余弦定理可得，所以，所以.所以，故選項(xiàng)C正確.設(shè)外接圓半徑為r，由正弦定理得，所以.又設(shè)三棱柱外接球半徑為R，則三棱柱外接球與以和的外接圓為底面的圓柱外接球相同，則.故選項(xiàng)D正確.故選ACD.12.ABC【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)椋?，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，所以，所以2為的一個(gè)周期，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?為的一個(gè)周期，又因?yàn)?，所以，所以，所以為奇函?shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選ABC.13.1【解析】由題意可得：.14.【解析】由，得，則，是銳角，.則.15.【解析】根據(jù)題意可得各項(xiàng)均不為0，則，則，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，則，，故.16.【解析】如圖，取的兩個(gè)三等分點(diǎn)、E，連接，、，設(shè)，連接，，則，，又，，所以，四邊形為平行四邊形.，H為的中點(diǎn)，所以在中，，由勾股定理可得，則，在中，，，，，又，則為等邊三角形，，則是的外接圓的圓心，因?yàn)椋琀為的中點(diǎn).，，，，，，，又，，平面，且.設(shè)O為三棱錐外接球的球心，連接，、，則，過O作，垂足為F，則外接球的半徑R滿足，設(shè)，又，解得，從而，故三棱錐外接球的表面積為.17.解：（1）設(shè)的公差為d，則解得故.（2）由（1）可知，.當(dāng)時(shí)，取得最小值.由恒成立，得，解得.因?yàn)?，所以m的最大值為11.18.解：（1）因?yàn)?，，所以，由，，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，.（2）由，得，則，由，得，因?yàn)樵谏嫌形ㄒ唤?，所以，?19.解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得.令得，若在存在單調(diào)遞減區(qū)間，，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.（2）由，即，解得，.當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在處取得極小值，于是，即，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，解得，綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.20.解：（1）存在，中點(diǎn)即為所求.證明如下：取中點(diǎn)P，連接，取中點(diǎn)H，連接，，則有，.如圖，在等腰梯形中，，，所以，，則四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）過點(diǎn)B作于，在等腰梯形中，，所以該梯形的高，所以等腰梯形的面積為，所以四棱錐的體積，解得，所以點(diǎn)與重合.以為原點(diǎn)，，，方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,所以即取，則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即取，則.設(shè)平面與平面夾角為，則.故平面與平面夾角的余弦值為.21.解：（1）在中，由余弦定理，得.取中點(diǎn)N，連接，.，，N為的中點(diǎn)，，.則的面積.（2）設(shè)，，M，N分別為邊，的中點(diǎn)，，，.在中，由余弦定理，得由正弦定理，得.在中，，由余弦定理，得，，其中當(dāng)，即時(shí)，有最大值：.長度的最大值為.22.（1）證明：的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，.設(shè)，則.由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在