2024版高考復(fù)習(xí)A版數(shù)學(xué)考點(diǎn)考法練習(xí)：平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

高考

數(shù)學(xué)平面向量平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用基礎(chǔ)篇考點(diǎn)平面向量的數(shù)量積考向一平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算1.(2023屆浙南名校聯(lián)盟聯(lián)考,3)已知邊長(zhǎng)為3的正△ABC,

=2

,則

·

=

(

)A.3

B.9

C.

D.6答案

D

2.(2019課標(biāo)Ⅱ理,3,5分)已知

=(2,3),

=(3,t),|

|=1,則

·

=(

)A.-3

B.-2

C.2

D.3答案

C

3.(2022全國(guó)乙理,3,5分)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=

,|a-2b|=3,則a·b=(

)A.-2

B.-1

C.1

D.2答案

C

4.(2022江蘇淮安車橋中學(xué)入學(xué)調(diào)研,7)已知△ABC的外心為O,2

=

+

,|

|=|

|=2,則

·

的值是

(

)A.

B.

C.2

D.6答案

D

5.(2023屆遼寧六校期初考試,13)已知a=(3,4),|b|=

,則(a+b)·(a-b)=

.答案

206.(2022全國(guó)甲理,13,5分)設(shè)向量a,b的夾角的余弦值為

,且|a|=1,|b|=3,則(2a+b)·b=

.答案

117.(2022湖南三湘名校、五市十校聯(lián)考,14)已知點(diǎn)P(-2,0),AB是圓x2+y2=1

的直徑,則

·

=

.答案

38.(2021新高考Ⅱ,15,5分)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a=

.答案-

考向二利用平面向量的垂直求參數(shù)1.(2023屆長(zhǎng)春六中月考,5)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),

則λ=

(

)A.-4

B.-3

C.-2

D.-1答案

B

2.(多選)(2022遼寧大連一中期中,9)已知平面向量

=(-1,k),

=(2,1),若△ABC是直角三角形,則k的可能取值是

(

)A.-2

B.2

C.5

D.7答案

BD

3.(2021全國(guó)甲理,14,5分)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,則k=

.答案-

4.(2020課標(biāo)Ⅰ文,14,5分)設(shè)向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,則m=

.答案

55.(2021全國(guó)乙理,14,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,則λ=

.答案

考向三平面向量的夾角與模1.(2023屆湖湘名校教育聯(lián)合體大聯(lián)考,3)已知四邊形ABCD,設(shè)E為CD的

中點(diǎn),

·

=10,|

|=4,則|

|=

(

)A.2

B.

C.2

D.

答案

A

2.(2022江蘇泰州二調(diào),3)已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,則a與b的夾角

為(

)A.30°

B.60°

C.120°

D.150°答案

B

3.(2022河北邢臺(tái)“五岳聯(lián)盟”聯(lián)考,4)已知向量a=(-2,1),b=(1,t),則下列說(shuō)

法不正確的是

(

)A.若a∥b,則t的值為-

B.若|a+b|=|a-b|,則t的值為2C.|a+b|的最小值為1D.若a與b的夾角為鈍角,則t的取值范圍是t<2答案

D

4.(2022新高考Ⅱ,4,5分)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,則

t=(

)A.-6

B.-5

C.5

D.6答案

C

5.(多選)(2023屆哈爾濱師大附中月考,9)已知向量a=(1,3),b=(2,-4),則下列

結(jié)論正確的是

(

)A.(a+b)⊥aB.向量a與向量b的夾角為

C.|2a+b|=

D.向量b在向量a上的投影向量是(1,3)答案

AB

6.(2023屆廣東普寧華美實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考,13)已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),則

向量a與b的夾角為

.答案

7.(2022河北邢臺(tái)期末,14)已知向量a=(1,-

),|b|=3,a·b=3

,則a與b的夾角為

.答案

8.(2022湖南三湘名校聯(lián)盟聯(lián)考,13)已知向量a與b的夾角為

,|a|=1,a·(a+b)=2,則|b|=

.答案

29.(2022石家莊二中月考,13)已知單位向量a,b滿足|a+b|=1,則|a-b|=

.答案

綜合篇考法一求平面向量模的方法1.(2022福建龍巖一模,3)已知向量a,b的夾角為60°,且|a|=1,|2a-b|=

,則|b|=

(

)A.5

B.3

C.4

D.3答案

A

2.(2022福建南平聯(lián)考,6)已知單位向量e1,e2的夾角為

,則|e1-λe2|的最小值為

(

)A.

B.

C.

D.

答案

C

3.(多選)(2022沈陽(yáng)三十一中月考,9)若向量a,b滿足|a|=|b|=1,且|b-2a|=

,則以下結(jié)論正確的是

(

)A.a⊥bB.|a+b|=2C.|a-b|=

D.向量a,b的夾角為60°答案

AC

4.(多選)(2021新高考Ⅰ,10,5分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P1(cosα,sinα),P2(cosβ,

-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),則(

)A.|

|=|

|

B.|

|=|

|C.

·

=

·

D.

·

=

·

答案

AC

5.(2022重慶一中月考,8)已知平面內(nèi)一正三角形ABC的外接圓半徑為4,在

以三角形ABC的中心為圓心,r(0<r≤1)為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,則|

+

+3

|的最大值為

(

)A.13

B.

C.5

D.

+6答案

A

6.(2023屆湖北摸底聯(lián)考,13)已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,設(shè)向

量a,b滿足

=a,

=a+b,則|3a+b|=

.答案

7.(2023屆甘肅張掖診斷,13)已知a,b是單位向量,且|a-b|=1,則|a+b|=

.答案

8.(2022河北衡水中學(xué)模擬一,14)已知向量a與b的夾角為30°,且|a|=

,|b|=1,設(shè)m=a+b,n=a-b,則向量m在n方向上的投影向量的模為

.答案

29.(2021全國(guó)甲文,13,5分)若向量a,b滿足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,則|b|=

.答案

3

考法二求平面向量夾角的方法1.(2023屆福建漳州質(zhì)檢,4)已知a,b,c均為單位向量,且滿足a+b+c=0,則<a-

b,c>=

(

)A.

B.

C.

D.

答案

C

2.(2022山東煙臺(tái)萊州一中開學(xué)考,4)已知|a|=

,|b|=4,當(dāng)b⊥(4a-b)時(shí),向量a與b的夾角為

(

)A.

B.

C.

D.

答案

B

3.(2022福建龍巖一中月考,2)已知向量a,b滿足3|a|=2|b|=3,若|a+2b|=

,則a,b的夾角的余弦值為

(

)A.

B.

C.

D.

答案

C

4.(2019課標(biāo)Ⅲ理,13,5分)已知a,b為單位向量,且a·b=0,若c=2a-

b,則cos<a,c>=

.答案

考法三平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用考向一平面向量與平面幾何的綜合1.(2022福建泉州質(zhì)量監(jiān)測(cè)二,7)四邊形ABCD為梯形,且

=2

,|

|=|

|=2,∠DAB=

,點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)及其邊界上的點(diǎn).若(

-

)·(

+

)=-4,則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度是

(

)A.

B.2

C.4πD.16π答案

B

2.(2018天津理,8,5分)如圖,在平面四邊形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn),則

·

的最小值為(

)

A.

B.

C.

D.3答案

A

3.(2022遼寧部分中學(xué)期末,7)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),向量

,

,

滿足|

|=|

|=|

|=1,(

-

)·(

-

)=0,若|

|=4,則|

+

+

|的取值范圍是

(

)A.[11,13]

B.[8,11]C.[8,13]

D.[5,11]答案

A

4.(2023屆山西長(zhǎng)治質(zhì)量檢測(cè),16)在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,矩形內(nèi)一點(diǎn)

M(含邊界),滿足

·

=

,若

=λ

+μ

,當(dāng)3λ+2μ取得最大值時(shí),

·

=

.答案

2-

5.(2020北京,13,5分)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P滿足

=

(

+

),則|

|=

;

·

=

.答案

-16.(2019天津,14,5分)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=2

,AD=5,∠A=30°,點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上,且AE=BE,則

·

=

.答案-1考向二平面向量數(shù)量積的最值問(wèn)題1.(2022遼寧六校協(xié)作體期中,8)邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)M(包括邊

界)滿足:

=

+λ

(λ∈R),則

·

的取值范圍是

(

)A.

B.

C.

D.[-2,2]答案

B

2.(2020新高考Ⅰ,7,5分)已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn),

則

·

的取值范圍是

(

)A.(-2,6)

B.(-6,2)

C.(-2,4)

D.(-4,6)答案

A

3.(2022湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考,6)如圖,正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)M從頂點(diǎn)B出發(fā),沿正六邊形的邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)F,若

·

的最大值和最小值分別是m,n,則m+n=

(

)A.9

B.10

C.11

D.12答案

D

4.(2020天津,15,5分)如圖,在四邊形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且

=λ

,

·

=-

,則實(shí)數(shù)λ的值為

,若M,N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn),且|

|=1,則

·

的最小值為

.

答案

一、單項(xiàng)選擇題專題綜合檢測(cè)1.(2022遼寧大連一中期中,6)設(shè)向量a,b滿足|a+b|=

,|a-b|=1,則a·b=

(

)A.1

B.-1

C.4

D.-4答案

A

2.(2022河北曲陽(yáng)一中月考,3)已知|a|=4,|b|=1,且(2a-3b)·b=3,則向量a,b的夾

角的余弦值為

(

)A.-

B.

C.

D.-

答案

B

3.(2022湖南常德臨澧一中月考,4)已知向量a=(

,1),b是不平行于x軸的單位向量,且a·b=

,則b=

(

)A.

B.

C.

D.(1,0)答案

B

4.(2020課標(biāo)Ⅱ文,5,5分)已知單位向量a,b的夾角為60°,則在下列向量中,

與b垂直的是(

)A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b答案

D

5.(2022江蘇南京、鹽城模擬,6)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)A(1,0),B(3,4),

向量

=x

+y

,x+y=6,則|

|的最小值為

(

)A.1

B.2

C.

D.2

答案

D

6.(2022湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考,3)已知|a|=3,|b|=1,|a-2b|=

,則向量a,b的夾角為

(

)A.30°

B.60°

C.120°

D.150°答案

C

7.(2022遼東南協(xié)作體期中,6)已知平面向量m,n滿足|m|=3,n=(4,-3),且m,n

之間的夾角為60°,則|m-2n|=

(

)A.

B.

C.

D.

答案

C

8.(2018天津文,8,5分)在如圖的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,

=2

,

=2

,則

·

的值為

(

)

A.-15

B.-9

C.-6

D.0答案

C

9.(2022遼寧六校聯(lián)考,11)給出下列命題,其中正確的有

(

)A.非零向量a、b滿足|a|=|b|=|a-b|,則a與a+b的夾角為30°B.若(

+

)·

=0,則△ABC為等腰三角形C.等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2,則

·

=2D.已知向量a=(1,-2),b=(k,1)且a⊥(a+b),則k=0答案

AB

二、多項(xiàng)選擇題10.(2022湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考,11)已知a=(sinα,cos2α+5),b=(3sinα+7,-

1),且a⊥b,則

(

)A.sinα=

B.sin2α=

C.cos2α=

D.若-

<α<

,則tan

=7答案

ACD

11.(2022河北神州智達(dá)省級(jí)聯(lián)測(cè),9)設(shè)0<θ<π,非零向量a=(sin2θ,cosθ),b=

(cosθ,1),則

(

)A.若tanθ=

,則a∥bB.若θ=

,則a⊥bC.存在θ,使2a=bD.若a∥b,則tanθ=

答案

ABD

12.(2022山東青島二中期末,10)已知平面向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb(k∈

R),則下列結(jié)論正確的是

(

)A.{a,b}可以作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底B.若a⊥c,則k=-

C.存在實(shí)數(shù)k,使得b∥cD.若|cos<a,c>|≤

,則k≤