2023年考研數(shù)學(xué)二真題與解析

2023年考研數(shù)學(xué)二真題與解析

一、選擇題1—8小題.每小題4分，共32分.

1.當(dāng)xf0+時，若ln"(l+2x),(l—cosx)。均是比x高階的無窮小，則a的可能取值范圍是()

(A)(2,+oo)(B)(1,2)(C)(-,1)(D)

11±2

【詳解】h>a(l+2x)~2ax。，是a階無窮小，(1一COSX)。~丁工"是一階無窮小，由題意可知彳2

a—

2"[a

所以a的可能取值范圍是(1,2),應(yīng)當(dāng)選(B).

2.下列曲線有漸近線的是

211

(A)y=x+sinx(B)y=x+sinx(C)y=x+sin—(D)y=x^24-sin—

XX

1y1

【詳解】對于y=x+sin—,可知lim』=l且lim(y-x)=limsin—=O,所以有斜漸近線y=x

XXT8XXT8XT8X

應(yīng)當(dāng)選(C)

3.設(shè)函數(shù)/(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，8(幻=/(0)(1—幻+〃1)》,則在［0,1］上()

(A)當(dāng)r(x)N0時,/(x)Ng(x)(B)當(dāng)r(x)N0時，/(x)^g(x)

(C)當(dāng)/"(x)N0時，/(x)Ng(x)(D)當(dāng)/"(x)>0時，f(x)<g(x)

【分析】此題考查的曲線的凹凸性的定義及推斷方法.

【詳解1】假如對曲線在區(qū)間［a,切上凹凸的定義比較熟識的話，可以干脆做出推斷.明顯

g(x)=/(0)(l-x)+/(l)x就是聯(lián)接(0,7(0)),(1,/(1))兩點的直線方程.故當(dāng)/"(x)N0時，曲線是凹

的，也就是/(x)4g(x),應(yīng)當(dāng)選(D)

【詳解2】假如對曲線在區(qū)間［a,切上凹凸的定義不熟識的話，可令

/(x)=/(x)-g(x)=/(x)-〃0)(l-x)-/⑴X,則/(0)=尸(1)=0,且F'(x)=r,(x),故當(dāng)

/"(x)NO時，曲線是凹的，從而尸(x)4尸(0)=尸⑴=0,即/(x)=/(x)-g(x)40,也就是

f(x)<g(x),應(yīng)當(dāng)選(D)

x=f2+7,

4.曲線《上對應(yīng)于f=l的點處的曲率半徑是()

y=t'+At+\

(A)2(A)(B)(C)(D)'°(C)IOA/TO(D)5A/10^

100

曲率半徑/?='.

【詳解】曲線在點(x,/(x))處的曲率公式K=

Vo+/2)3

2

dxdy-彳dy2￡+4

本題中=2t—=2,+4,所以—=-----=14+2,也=ZZ=__L

9dtdx2ttdx~2tt3

y1,曲率半徑

對應(yīng)于f=l的點處V=3,V'=-1,所以K=-7^^==――/?=-1-=ioJT5.

7(i+y2)3IOVIOK

應(yīng)當(dāng)選(C)

5.設(shè)函數(shù)f(x)=arctanx,若/(x)=W'(J),則Iimg-=()

DX

(A)1(B)-(C)-(D)-

323

【詳解】留意(1)f'(x)=----(2)x-?0時,arctanx=x-'x，+。(/).

1+x3

x-arctanx

由于/(X)=A/，C).所以可知//)=二?二四二四吧鏟=

1+J-XX(arctanx)2

J,x-arrtanx

hm、=hm-----------------

XT。廣1。x(arctanx)~3

K2

6.設(shè)”(x,y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在D的內(nèi)部具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿意空?WO及

dxoy

(A)w(x,j)的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的邊界上；

(B)w(x,j)的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域。的內(nèi)部；

(C)w(x,y)的最大值點在區(qū)域。的內(nèi)部，最小值點在區(qū)域。的邊界上;

(D)”(x,y)的最小值點在區(qū)域。的內(nèi)部，最大值點在區(qū)域。的邊界上.

【詳解】?(x,j)在平面有界閉區(qū)域。上連續(xù)，所以w(x,y)在D內(nèi)必定有最大值和最小值.并且假如在

內(nèi)部存在駐點(x。,光),也就是黑="=0,在這個點處A=烏：,。=d2u

由

dxdydx2dy2dxdydydx

條件，明顯AC—B2<O,明顯w(x,y)不是極值點，當(dāng)然也不是最值點，所以”(x,y)的最大值點和最

小值點必定都在區(qū)域D的邊界上.

所以應(yīng)當(dāng)選(A).

0ab0

a00b

7.行列式等于一

0cd0

c00d

(A){ad-be)2(B)-{ad-be)2(C)a~d~-b~c2(D)-a~d2+b2c2

【詳解】

0b

b0b

a00ba

=—a0d0+b0c0=-ad+be=—(ad—be)2

0cd0c

0d

00

應(yīng)當(dāng)選(B).

8.設(shè)a”%，%是三維向量，則對隨意的常數(shù)A,2,向量四+桃,，%+/。3線性無關(guān)是向量

線性無關(guān)的

(A)必要而非充分條件(B)充分而非必要條件

(C)充分必要條件(D)非充分非必要條件

【詳解】若向量多,。2，4線性無關(guān)，則

f10、

(a,+ka3,a2+la3)=(a,,a2,a3)01=(al,a2,a3)/C,對隨意的常數(shù)A,/,矩陣K的秩都等

7

于2,所以向量。2+1%肯定線性無關(guān)?

T9、

時，對隨意的常數(shù)A,1,向量/+A%，。2+/。3線性無關(guān)，但

而當(dāng)囚=0,a21,出

a”a2,出線性相關(guān)；故選擇(A).

二、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

9.[―—----dx=

J-8x，+2x+5

11

…5.f1,fdx1x+l,|1(71.乃、13兀

[詳解]----------dx=---------；——=-arctan------|'OT=-――(――)=一.

J-8JT+2X+5」-8(*+])~+4222(42)8

10.設(shè)/(x)為周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且/'(X)=2(X-1),XG[0,2],則〃7)=.

【詳解】當(dāng)XG[0,2]時，/(x)=J2(X-1)JX=X2-2X+C,由/(0)=0可知。=0,即

2

/(X)=X-2X;/(x)為周期為4奇函數(shù)，故/(7)=/(-l)=f(l)=l.

7

11.設(shè)z=z(x,y)是由方程e2"+x+_y2+z=]確定的函數(shù)，則會上口=____________.

4㈤

7)

【詳解】設(shè)F(x,y,z)=e2"+x+/+z-w，死=1,4=Zze?"+2必工=Zye?"+1,當(dāng)x=y=耳

時,z=0>M=-也=-3電=_乙=一工，所以或匕一=一1而_，力

dxF,2辦Fz2圖22

71幾

12.曲線L的極坐標方程為r=6,則L在點(r,6)=處的切線方程為

x=r(e)cos6=Ocose

【詳解】先把曲線方程化為參數(shù)方程V于是在夕=生處，x=o,j=-,

y=r(e)sin。=0s\n022

dy,sme+6cos612...八、\n⑺心一工口、=n2/八、口口

-1乃=-—1^.=，則Lr在點(zr,6)=—處的切線方程為=(“-。)，即

dx-cosJ-Ssine-nk22J2n

2冗

—Xd——

7C2

13.一根長為1的細棒位于x軸的區(qū)間［0,1］上，若其線密度P(x)=-/+2x+l,則該細棒的質(zhì)心坐標

_f'xp(x)dx［'(-x3+2x2+x)rfx111

(詳解】質(zhì)心坐標X=9-------=與------------------=11=11,

Jp(x)dx￡(—x2+2x+\)dx-2。

14.設(shè)二次型/3/2，*3)=療一式+2依產(chǎn)3+4與巧的負慣性指數(shù)是1，則4的取值范圍

是.

【詳解】由配方法可知

2

/(Xj,x2,x3)=x)-x；+2aX1X3+4X2X3

22

=(x,+ax3)—(x2-2X3)+(4—Q2)X；

由于負慣性指數(shù)為1,故必需要求4一。2NO,所以4的取值范圍是[-2,2].

三、解答題

15.(本題滿分10分)

1

「(尸(>

求極限lim----------------：-----.

XT+8xc2ln(l+-)

X

【分析】.先用等價無窮小代換簡化分母，然后利用洛必達法則求未定型極限.

【詳解】

1\

「(/(/-1)-￡辿/(?(/_1)_￡)由1

lim----------------------=lim-----------------------=]im(x2(ex-1)-x)

x->+a>1xT+8Yx->oo

xo2ln(l+)x

X

2

=lim|x(-+-^T+o(^r)-x|=^

x2x~x~J2

16.(本題滿分10分)

已知函數(shù)j=y(x)滿意微分方程x2+j2/=1-/,且y(2)=0,求j(x)的極大值和微小值.

【詳解】

解：把方程化為標準形式得到(1+_/)」=1-*2,這是一個可分別變量的一階微分方程，兩邊分別積分

1I2

可得方程通解為：-J3+j=x--x3+C,由y(2)=0得C=§,

即§+了=*_，*3+2.

333

.dy1—x2八口fr,dy-2x(1+J2)2-2J(1-X2)2

令手=——7=0,得x=±l,且可知一T=

dxl+y~dx'(1+J2)3

當(dāng)x=l時，可解得y=l,j"=-l<0,函數(shù)取得極大值y=l；

當(dāng)x=-l時，可解得y=0,j"=2>0,函數(shù)取得微小值y=0.

17.(本題滿分10分)

設(shè)平面區(qū)域Z)={(x,j)|l<x2+j2<4,x>0.j>0}.計算產(chǎn)露+yFy

【詳解】由對稱性可得

?2?

rfXsinOrJx?+y2)jsin(^A/x+J),j1rr(x+j)sin(^ApO),j

----------------axa=I----------------dxd=—I---------------------dxdy

J?x+yJ?x+y2J；x+j

1Msingjl+V)1,3

=-11--------------dxd=-I-d0\rsin^rar=——

2JJ12」。4

18.(本題滿分10分)

a27》

設(shè)函數(shù)/(")具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，z=/(e*cosy)滿意衿+(4=(4z+e*cosy]”.若

ox~dy~

/(0)=09/\0)=0,求/(〃)的表達式.

【詳解】

設(shè)〃=屋cosy,則z=f(u)=f(excosy),

dz

…y；

—=-/'(w)^xsinj,-=f''(u)e2xsin2y-f'(u)excosy；

dydy~

d~zd~zox2x

詈+f=/''(〃)e=r(ec^y)e9

ox~dy~

由條件空+空=(4z+e*cosy)/*,

dx2dy'

可知

/"(?)=4/(?)+w

這是一個二階常用系數(shù)線性非齊次方程.

對應(yīng)齊次方程的通解為：

2u

/(w)=C。"+C2e-其中C,,C2為隨意常數(shù).

對應(yīng)非齊次方程特解可求得為

2',

故非齊次方程通解為/(〃)=Ge?"+C2e--^u.

將初始條件/(0)=0,/'(0)=0代入，可得G=一」

1616

所以/(〃)的表達式為f(u)=-e2u--e-2u--u.

16164

19.(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)/(x),g(x)在區(qū)間[”.以上連續(xù)，且/(x)單調(diào)增加，0<g(x)<l,證明:

(1)0<|g[t}dt<x-a,xe\a,b\-.

(2)￡+IKU，J，f(x)dx<^f(x)g(x)dx.

【詳解】

(1)證明：因為04go)41,所以JOrfx<jg(t)dt<J\dtxe\a,b\.

即OvJg(t)dt<x—a,xG[a,b].

(2)令=]f(u)g(u)du-j'f(u)du,

則可知歹(a)=0,且F(x)=/(x)g(x)-g(x)/(a+[g?)d，，

因為04[g(f)df4x—a,且/(x)單調(diào)增加，

所以f(a+x-a)=f(x).從而

F(x)=/(x)g(x)-g(x)/(a+[g(t)d，N/(x)g(x)-g(x)/(x)=O,xe\a,b\

也是產(chǎn)(x)在[a㈤單調(diào)增加，則/(㈤N『a)=O,即得到

￡*0""'f(x)dx<￡/(x)g(x)Jx.

20.(本題滿分H分)

設(shè)函數(shù)/(x)=上,XG[0,1],定義函數(shù)列

1+X

fl(x)=f(x),/2(x)=/(/,(x)),???,f?(x)=/(/?_1(x)),---

設(shè)S“是曲線y=/.(x),直線x=l,y=0所圍圖形的面積.求極限

n-xx>

【詳解】

X

力(X)1+XX

fl(X)=

1+/(*)一]1X1+2x

1+X

利用數(shù)學(xué)歸納法可得f.(x)=----

1+/IX

1必」(]_坦?

5?=J(7?(x)jx=f；￡-jx=l￡(i-

Tnn

vQv(.ln(l+〃)]

limnSn=lim1---------=1.

n->oo>oolfiJ

21.(本題滿分11分)

已知函數(shù)/(x,y)滿意警=2(y+l),且/(y,_y)=(y+l)2—(2—y)lny,求曲線/(x,y)=O所成的

圖形繞直線j=-l旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

【詳解】

由于函數(shù)/(x,y)滿意”=2(y+l),所以/(x,y)=_/+2y+C(x),其中。(x)為待定的連續(xù)函數(shù).

由

又因為f(y,y)=(y+1)2-(2-j)lnj,從而可知C(y)=1-(2-y)lny,

得到f(x,y)=j12+2y+C(x)=j2+2_y+1-(2-x)lnx.

2

令/(x,y)=O,可得(y+1)=(2-x)Inx.且當(dāng)y=-l時，X!=1,x2=2.

曲線/(x,y)=0所成的圖形繞直線j=-l旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為

V=萬J(y+l)2dx=^^(2-x)lnxdx=(21n2--1)^

22.(本題滿分11分)

'1-23-4、

設(shè)4=01-11,E為三階單位矩陣.

J203,

(1)求方程組AX=O的一個基礎(chǔ)解系;

(2)求滿意A6=E的全部矩陣.

【詳解】(1)對系數(shù)矩陣A進行初等行變換如下:

1-23-4、'1-23-4、'1-23-4、'1001、

A=01-1101-1101-11010-2

-3

1203?4-31>、0017、001>

得到方程組AX=0同解方程組

七=一%

x2=2X4

x3=3X4

’-1、

2

得到AX=O的一個基礎(chǔ)解系5=3

再JiZ|

x當(dāng)z

（2）明顯B矩陣是一個4x3矩陣，設(shè)5=22

X3%小

*4為

對矩陣（AE）進行進行初等行變換如下:

I-23100、1-23-4100、

(AE)=0-101001100

U20300\)1°4-31-I0

I-23-4I00、100126

01-100010-2

(00I-3-1-4V1°01-11J

2—C]6-C2

—1+2cj—34-2c21+2C

B=3

—1+3cl—4+3c2l+3,3