高考復(fù)習(xí)2數(shù)學(xué)課件

第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

如果兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線為異面直線.此說(shuō)法正確嗎？提示:不正確.如果兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行或異面.1.下列命題正確的個(gè)數(shù)為（）①經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面②梯形可以確定一個(gè)平面③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合.（A）0（B）1（C）2（D）3【解析】選C.經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，∴①不正確；兩條平行線可以確定一個(gè)平面，∴②正確；兩兩相交的三條直線可以確定一個(gè)或三個(gè)平面，∴③正確；命題④中沒(méi)有說(shuō)清三個(gè)點(diǎn)是否共線，∴④不正確.2.三條兩兩平行的直線可以確定平面的個(gè)數(shù)為（）（A）0（B）1（C）0或1（D）1或3【解析】選D.三條兩兩平行的直線可以在同一平面內(nèi)，若不在同一平面內(nèi)就可以確定三個(gè)平面.3.若a與b是異面直線，b與c是異面直線，則a與c是（）（A）異面直線（B）平行直線（C）相交直線（D）以上三種情況都有可能【解析】選D.把直線放在正方體內(nèi)可知a與c可以異面、平行或相交.4.兩個(gè)不重合的平面可以把空間分成______部分.【解析】當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，把空間分成三部分，當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，把空間分成四部分.答案:3或45.已知空間四邊形ABCD中，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，則下列判斷：①M(fèi)N≥(AC+BD)；②MN>(AC+BD)；③MN=(AC+BD)；④MN<(AC+BD).其中正確的是_____.【解析】如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接MO、NO，則OM=AC，ON=BD，在△MON中，MN<OM+ON=(AC+BD).∴④正確.答案:④1.關(guān)于3個(gè)公理的作用（1）公理1的作用：①檢驗(yàn)平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi).（2）公理2的作用：確定平面的依據(jù)，它提供了把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的條件.（3）公理3的作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線；③證明多點(diǎn)共線.2.平面內(nèi)的結(jié)論推廣到空間后的幾種情況（1）平面內(nèi)的一些結(jié)論推廣到空間后不成立，如：在平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，推廣到空間不成立，在空間垂直于同一條直線的兩條直線可能平行，也可能相交或異面.（2）平面內(nèi)的一些結(jié)論推廣到空間后還成立，如：在平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線互相平行，推廣到空間依然成立.3.點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的符號(hào)表示（1）點(diǎn)A在直線l上，也在平面α內(nèi)：A∈l,A∈α.（2）點(diǎn)A不在α內(nèi)：A

α.（3）直線l在平面α內(nèi)：l

α.（4）直線l不在平面α內(nèi)：l

α.（5）直線l與平面α交于點(diǎn)A：l∩α=A.（6）平面α與β交于直線l：α∩β=l.?

?

?

4.關(guān)于公理2的幾個(gè)推論（1）經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.（2）經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.（3）經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.【例1】（2011·臺(tái)州模擬）以下四個(gè)命題中①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則點(diǎn)A、B、C、D、E共面；③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面.正確命題的個(gè)數(shù)是（）（A）0（B）1（C）2（D）31平面的基本性質(zhì)【審題指導(dǎo)】根據(jù)確定平面的公理及推論進(jìn)行判斷.【自主解答】選B.①假設(shè)其中有三點(diǎn)共線，則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面.這與四點(diǎn)不共面矛盾，故其中任意三點(diǎn)不共線，所以①正確.②從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A、B、C，但是若A、B、C共線，則結(jié)論不正確；③不正確；④不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面上，如空間四邊形.【規(guī)律方法】判斷由所給元素(點(diǎn)或直線)確定平面時(shí)，關(guān)鍵是分析所給元素是否具有確定惟一平面的條件，如不具備，則一定不能確定一個(gè)平面.【變式訓(xùn)練】(2011·合肥模擬)平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為（）（A）3（B）4（C）5（D）6【解析】選C.根據(jù)兩條平行直線、兩條相交直線確定一個(gè)平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合條件.故選C.【例2】（2011·銀川模擬）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）求A1C1與B1C所成角的大?。唬?）若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小.【審題指導(dǎo)】充分利用正方體中的平行關(guān)系，轉(zhuǎn)化成兩相交直線所成的角.異面直線所成的角2【自主解答】(1)如圖，連接AC、AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，知AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1，從而B(niǎo)1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角.由AB1=AC=B1C可知∠B1CA=60°,即A1C1與B1C所成角為60°.（2）如圖，連接AC、BD，由AA1∥CC1，且AA1=CC1可知A1ACC1是平行四邊形，∴AC∥A1C1.∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角.∵EF是△ABD的中位線，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD,∴EF⊥AC,即所求角為90°.【規(guī)律方法】求異面直線所成角是?？碱}型.求解時(shí)需將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的銳角或直角，這一過(guò)程一般是通過(guò)平行轉(zhuǎn)移或補(bǔ)形來(lái)實(shí)現(xiàn)的，并且盡量以平移為主，有些問(wèn)題表面上看來(lái)雖然是成角問(wèn)題，但實(shí)質(zhì)上是垂直問(wèn)題.異面直線所成角的范圍是也應(yīng)引起我們的注意.【互動(dòng)探究】求本例圖中A1C1與AB、BC與C1D1所成角的大小.【解析】∵AB∥A1B1，∴∠C1A1B1是A1C1與AB所成的角.又∵∠C1A1B1=45°，∴A1C1與AB所成的角為45°.∵D1C1∥DC,∴∠BCD是BC與C1D1所成的角.又∵∠BCD=90°,∴BC與C1D1所成的角為90°.【變式訓(xùn)練】如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為（）（A）（B）（C）（D）【解析】選D.設(shè)AB=1，則AA1=2.連接D1C，則A1B∥D1C，連接AC,∴∠AD1C就是異面直線A1B與AD1所成的角.在△D1AC中，D1A=，D1C=，AC=，∴cos∠AD1C===.【例3】如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別在BC、CD上，且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.（1）求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；（2）設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P.求證：P、A、C三點(diǎn)共線.三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面問(wèn)題3【審題指導(dǎo)】利用題目中的中點(diǎn)及比例關(guān)系推出平行，利用兩平行線確定一個(gè)平面證明四點(diǎn)共面；證明三點(diǎn)共線就是證明三點(diǎn)同時(shí)在兩個(gè)平面內(nèi).【自主解答】(1)∵E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD.在△BCD中，==,∴GH∥BD.∴EF∥GH.∴E、F、G、H四點(diǎn)共面.(2)∵EG∩FH=P,P∈EG,EG

平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn).又平面ABC∩平面ADC=AC，∴P∈AC,∴P、A、C三點(diǎn)共線.【規(guī)律方法】1.證明四點(diǎn)共面的基本思路有：一是直接證明，即利用公理或推論來(lái)直接證明；二是先由其中不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證第四個(gè)點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)即可.2.要證明點(diǎn)共線或線共點(diǎn)的問(wèn)題,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上,也就是利用公理3，即證點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上.或者選擇其中兩點(diǎn)確定一直線,然后證明另一點(diǎn)也在直線上.【變式訓(xùn)練】已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為D1C1、C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求證：（1）D、B、F、E四點(diǎn)共面；（2）若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P、Q、R三點(diǎn)共線.【證明】(1)如圖所示，因?yàn)镋F是△D1B1C1的中位線，所以EF∥B1D1.在正方體AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD確定一個(gè)平面，即D、B、F、E四點(diǎn)共面.（2）在正方體AC1中，設(shè)平面A1ACC1確定的平面為α，又設(shè)平面BDEF為β.因?yàn)镼∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.則Q是α與β的公共點(diǎn)，同理，P點(diǎn)也是α與β的公共點(diǎn)，所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R，所以R∈A1C,R∈α且R∈β，則R∈PQ，故P、Q、R三點(diǎn)共線.【例】如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，CG∶GD=3∶1，過(guò)E、F、G的平面交AD于點(diǎn)H.（1）求AH∶HD；（2）求證：EH、FG、BD三線共點(diǎn).三線共點(diǎn)問(wèn)題【審題指導(dǎo)】（1）利用比例關(guān)系得平行，利用平行線分線段成比例定理得結(jié)論；（2）只需證明直線EH與FG的交點(diǎn)在直線BD上即可.【規(guī)范解答】（1）∵==2,∴EF∥AC,∴EF∥平面ACD，而EF平面EFGH，平面EFGH∩平面ACD=GH，∴EF∥GH，∴AC∥GH.∴==3.∴AH∶HD=3∶1.(2)∵EF∥GH，且=，=，∴EF≠GH,∴EFGH為梯形.令EH∩FG=P,則P∈EH,而EH

平面ABD,又P∈FG,FG

平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三線共點(diǎn).【規(guī)律方法】證明三線交于一點(diǎn)常用的方法：（1）證明其中兩線的交點(diǎn)在第三條直線上.將直線歸為兩平面的交線，交點(diǎn)歸為兩平面的公共點(diǎn)，由公理3證明點(diǎn)在直線上.（2）證明直線a與b的交點(diǎn)和b與c的交點(diǎn)重合.【變式備選】在空間四邊形ABCD中，E、G分別是BC、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3，求證：EF、GH、BD交于一點(diǎn).【證明】如圖，連接EG、HF.∵E、G分別是BC、AB的中點(diǎn)，∴GE∥AC.又∵DF∶FC=2∶3,DH∶HA=2∶3,∴HF∥AC,∴GE∥HF.故G、E、F、H四點(diǎn)共面.又∵EF與GH不平行，∴設(shè)EF∩GH=O,由O∈平面ABD，O∈平面BCD，∴O在平面ABD與平面BCD的交線BD上，∴EF、GH、BD交于一點(diǎn)O.【典例】(2010·江西高考）過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作（）(A)1條(B)2條(C)3條(D)4條忽視正方體中的隱含條件【審題指導(dǎo)】充分利用正方體棱的平行關(guān)系和正方體的體對(duì)角線與同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成的角相等.【規(guī)范解答】選D.如圖，連接體對(duì)角線AC1，顯然AC1與棱AB、AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都為.聯(lián)想正方體的其他體對(duì)角線，如連接BD1，則BD1與棱BC、BA、BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴體對(duì)角線BD1與棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，體對(duì)角線A1C、DB1也與棱AB、AD、AA1所成的角都相等，過(guò)A點(diǎn)分別作BD1、A1C、DB1的平行線都滿足題意，故這樣的直線l可以作4條.【誤區(qū)警示】解答本題易誤選答案A.失誤的原因主要是：忽視正方體棱的平行關(guān)系.此外，求空間直線所成的角時(shí)，常犯以下錯(cuò)誤：1.不能挖掘題中的平行關(guān)系，找不到其所成的角；2.線多、圖形復(fù)雜、空間想象力不夠，感覺(jué)無(wú)從下手；3.忽視異面直線所成角的范圍.【變式訓(xùn)練】設(shè)正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，E是SA的中點(diǎn)，則異面直線BE與SC所成的角是（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°【解析】1.(2010·上海春招）若空間三條直線a、b、c滿足a⊥b,b⊥c,則直線a與c（）（A）一定平行（B）一定相交（C）一定是異面直線（D）平行、相交、是異面直線都有可能【解析】選D.三條直線共面時(shí)，直線a與c一定平行；當(dāng)直線a與c共面且直線b不在直線a與c所在平面內(nèi)時(shí)，直線a與c平行或相交；當(dāng)a⊥b，b⊥c時(shí)，還有可能直線a與c異面.故選D.2.（2011·鄭州模擬）在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，如果EF與HG交于點(diǎn)M,那么（）（A）M一定在直線AC上（B）M一定在直線BD上（C）M可能在直線AC上，也可能在直線BD上（D）M既不在直線AC上，也不在直線BD上【解析】選A.平面ABC∩平面ACD=AC，M∈平面ABC，M∈平面ACD，從而M∈AC.3.(2011·濟(jì)南模擬)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線.其中正確的結(jié)論為_(kāi)_____(注：把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上).【解析】直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯(cuò)誤；直線BN與MB1是異面直線，直線AM與DD1也是異面直線，故③④正確.答案:③④4.（2011·天津模擬）如圖，正四面體S-ABC中，D為SC的中點(diǎn)，則BD與SA所成角的余弦值是____.【解析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，如圖，設(shè)AC的中點(diǎn)為E，連接DE、BE，則DE∥SA.∴∠BDE是直線BD與SA所成的角或其補(bǔ)角.在△DEB中，DE=1，BE=，BD=，∴cos∠BDE==.答案:

一、選擇題（每小題4分，共20分）1.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）①若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α.②若l不平行于平面α,且l

α，則α內(nèi)不存在與l平行的直線.③若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行.④若兩條直線分別在兩個(gè)不同的平面內(nèi)，則兩條直線異面.（A）0（B）1（C）2（D）3【解析】選B.對(duì)于①，l也可能與α相交；對(duì)于②，由題意，l與α相交，∴α內(nèi)不可能存在直線與l平行，∴②正確；對(duì)于③，這兩條直線也可能相交或異面；對(duì)于④，如果這兩個(gè)平面相交，則這兩條直線可能相交，也可能平行，若這兩個(gè)平面平行，則這兩條直線也可能平行；故只有②正確.2.在正方體AC1中，M為DD1的中點(diǎn)，O為正方形ABCD的中心，P為棱A1B1上的任意一點(diǎn)，則OP與AM所成的角為（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°【解析】選D.取AD中點(diǎn)Q，在正方形ADD1A1中，A1Q⊥AM，從而易證AM⊥平面A1B1OQ，又OP

平面A1B1OQ，∴AM⊥OP，故OP與AM所成的角為90°.3.（2011·臺(tái)州模擬）對(duì)于空間中的兩條直線，“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”的（）(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分又不必要條件【解析】選A.若這兩條直線為異面直線，則這兩條直線一定沒(méi)有公共點(diǎn)，反之，若這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線不一定異面，它們還可能平行.4.（2010·全國(guó)Ⅰ高考）直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,則異面直線BA1與AC1所成的角等于（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°【解題提示】將直三棱柱補(bǔ)成四棱柱后易于找角.【解析】選C.如圖，可補(bǔ)成一個(gè)正方體，則AC1∥BD1.∴∠A1BD1是異面直線BA1與AC1所成的角.在正方體中，△A1BD1為正三角形.∴∠A1BD1=60°.5.一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示，在原正方體紙盒中有下列結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM成60°角；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD，其中正確的是（）（A）①②（B）③④（C）②③（D）①③【解題提示】把展開(kāi)圖還原為正方體，在正方體中研究相應(yīng)的結(jié)論.【解析】選D.將展開(kāi)圖還原為正方體，由于EF∥ND，而ND⊥AB，∴EF⊥AB；顯然AB與CM平行；EF與MN是異面直線，MN與CD也是異面直線，故①③正確，②④錯(cuò)誤.二、填空題（每小題4分，共12分）6.如果兩條異面直線稱為一對(duì)，那么在長(zhǎng)方體的十二條棱中，異面直線共有______對(duì).【解析】先確定一條棱,和其異面的棱共有4條，逐一去數(shù)，每一對(duì)被數(shù)了兩遍，故共有=24(對(duì)).答案:247.（2011·泉州模擬）空間四邊形ABCD中，各邊長(zhǎng)均為1，若BD=1,則AC的取值范圍是______.【解析】如圖所示，△ABD與△BCD均為邊長(zhǎng)為1的正三角形，當(dāng)△ABD與△CBD重合時(shí)，AC=0，將△ABD以BD為軸轉(zhuǎn)動(dòng),到A，B，C，D四點(diǎn)再共面時(shí)，AC=，故AC的取值范圍是0＜AC＜.答案:(0,)8.在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點(diǎn)，將△ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為_(kāi)___.【解析】折成空間圖形的直觀圖如圖.設(shè)EF的中點(diǎn)為K，連結(jié)IK，JK，由題意，GH∥DF∥JK，∴∠IJK是GH與IJ所成的角.由題意，△IJK是正三角形.∴∠IJK=60°.答案:60°三、解答題（每小題9分，共18分）9.如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，PQ、CB的延長(zhǎng)線交于M，RQ、DB的延長(zhǎng)線交于N，RP、DC的延長(zhǎng)線交于K.求證：M、N、K三點(diǎn)共線.【證明】

M、N、K在平面BCD與平面PQR的交線上，即M、N、K三點(diǎn)共線.10.（2011·龍巖模擬）已知正三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱長(zhǎng)都為2，E是A1B的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱CC1上.(1)當(dāng)C1F=CF時(shí)，求多面體ABCFA1的體積;(2)當(dāng)點(diǎn)F使得A1F+BF為最小時(shí)，求異面直線AE與A1F所成的角.【解析】(2)將側(cè)面BCC1B1展開(kāi)到側(cè)面A1ACC1得到矩形ABB1A1，連接A1B，交C1C于點(diǎn)F，此時(shí)點(diǎn)F使得A1F+BF為最小.此時(shí)FC平行且等