初中數(shù)學(xué)最值問題經(jīng)典100題（學(xué)生版）

.如圖3.1所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PB+PD的最小值為（）A.B.A.A.2.如圖3.2所示，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P到AB兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值為.3.如圖3.3所示，在矩形ABCD中，AD=3，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，AE=1，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為.4.已知，則y的最小值為.5.已知，則y的最大值為.6．如圖3.4所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，點(diǎn)D是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，以AD為直徑的圓交CD于點(diǎn)E，則線段BE長(zhǎng)度的最小值為．7．如圖3.5所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，過點(diǎn)B作BG⊥CE于點(diǎn)G，點(diǎn)P時(shí)邊AB上另一動(dòng)點(diǎn)，則PD＋PG的最小值為．8．如圖3.6所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC上的點(diǎn)，且EF＝2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PG的最小值為．9．在平面直角坐標(biāo)系中，A(3，0)，B(a，2)，C(0，m)，D(n，0)，且m2＋n2＝4，若點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，則AB＋BE的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．2510．如圖3.7所示，AB＝3，AC＝2，以BC為邊向上構(gòu)造等邊三角形BCD，則AD的取值范圍為．11.如圖3.8所示，AB=3，AC=2，以BC為腰（點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)）向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD，則AD的取值范圍為；12.如圖3.9所示，AB=4，AC=2，以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD，則AD的取值范圍為，13.如圖3.10所示，AB=4，AC=2，以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD，連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)P，使AD=PD，則PB的取值范圍為，14.如圖3.11所示，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，兩頂點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，則頂點(diǎn)D到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的最大值和最小值的乘積為；15.如圖3.12所示，AB=4，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，△PBC是以PB為直角邊的等腰直角三角形（點(diǎn)P、B、C按逆時(shí)針方向排列），則AC的取值范圍為；16.如圖3.13所示，⊙O的半徑為3，Rt△ABC的頂點(diǎn)A、B在⊙O上，∠B＝90°，點(diǎn)C在⊙O內(nèi)，且tanA＝.當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OC的最小值為()A.B.C.D.17.如圖3.14所示，在平面直角坐標(biāo)系中，Q(3，4)，點(diǎn)P是以Q為圓心、2為半徑的⊙Q上一動(dòng)點(diǎn)，A(1，0)，B(－1，0)，連接PA、PB，則PA2＋PB2的最小值是___________.18.如圖3.15所示，兩塊三角尺的直角頂點(diǎn)靠在一起，BC＝3，EF＝2，G為DE上一動(dòng)點(diǎn).將三角尺DEF繞直角頂點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)一周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，B、G兩點(diǎn)的最小距離為___________.19.如圖3.16所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC與△ABC關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)E、F分別是邊DC、BC上的任意一點(diǎn)，且DE＝CF，BE、DF相交于點(diǎn)P，則CP的最小值為()A.1B.C.D.220.如圖3.17所示，sinO＝，長(zhǎng)度為2的線段DE在射線OA上滑動(dòng)，點(diǎn)C在射線OB上，且OC＝5，則△CDE周長(zhǎng)的最小值為___________.21、如圖3.18所示，在矩形ABCD中，AB=6，MN在邊AB上運(yùn)動(dòng)，MN=3，AP=2，BQ=5，則PM+MN+NQ的最小值是______________。22、如圖3.19所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=900，AB=6，D為AB的中點(diǎn)，E為CD上的點(diǎn)，且CE=2DE，PQ為AB上的動(dòng)線段，PQ=1，F(xiàn)為AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接EQ、FP，則EQ+FP的最小值為__________。23、如圖3.20所示，在正方形ABCD中，AB=4，E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，MN和PQ分別是邊BC、CD上的線段，MN=PQ=1，依次連接EM、NP、QF、EF，則六邊形EMNPQF周長(zhǎng)的最小值為____________。24、如圖3.21所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E、F分別為AD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且EF⊥AC，連接AF、CE，則AF+CE的最小值為_____________。25、如圖3.22所示，在?ABCD中，AD=7，AB=，∠B=600，E是邊BC上任意一點(diǎn)，沿AE剪開，將△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四邊形AEFD，則四邊形AEFD周長(zhǎng)的最小值為____________。26.如圖1所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、F在BC邊上（均不與端點(diǎn)重合），DG∥EF.將△BDG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，將△CEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，拼成四邊形MGFN，則四邊形MGFN周長(zhǎng)l的取值范圍是________.圖127.如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB.若CD＝3，則S△ABC的最小值為_______.圖128.如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)且點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作⊙O的切線與x軸相交于點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)A，則線段AB的最小值是________.圖129.如圖1所示，在矩形ABCD中，BC＝8，AB＝6，經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)D的兩個(gè)動(dòng)圓均與AC相切，且與AB、BC、AD、DC分別交于點(diǎn)G、H、E、F，則EF＋GH的最小值是______.圖130.如圖1所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.點(diǎn)D、E分別為AC、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且DE＝3，以DE為直徑作⊙O，交AB于M、N，則MN的最大值為_______.圖131.如圖3.28所示，在△中，，，，為的中點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，連接，則線段的最小值為 。32.如圖3.29所示，已知，為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，四邊形為正方形，為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接。若，則的最小值為 。33.已知梯形中，，，，，。若為線段上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，再以、為邊作□，如圖3.30所示，則對(duì)角線的最小值為 。34.如圖3.31所示，在△中，，，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。則長(zhǎng)度的最小值是。35.如圖3.32所示，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別為、上的動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為 。36.在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)O到直線y=kx-2k+4的最大距離為（）A.2B.3C.3+D.37.如圖3.33所示，在直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（7，0），B（5，2），C（0，2），一條動(dòng)直線l分別與BC、OA交于點(diǎn)E、F，且將四邊形OABC分為面積相等的兩部分，則點(diǎn)C到動(dòng)直線l的距離的最大值為__________.38.如圖3.34所示，E是正方形ABCD中邊BC上的一點(diǎn)，以BE為邊在正方形ABCD外作正方形BEFG（A、B、G三點(diǎn)在同一直線上），連接AF，M為AF的中點(diǎn)，AB=4，則EM的最小值為________.39.如圖3.35所示，在菱形ABCD中，tan∠DAB=，E為BC上一點(diǎn)，以BE為邊向外作菱形BEFG（A、B、G三點(diǎn)在同一直線上），取AF得中點(diǎn)M，連接EM，AB=5，則EM的最小值為________.40.如圖3.36所示，在△ABC中，∠A=60°（∠B＜∠C），E、F分別是AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，以EF為邊向下作等邊三角形DEF，△DEF的中心為點(diǎn)P，連接CO.已知AC=4，則CO的最小值41.如圖3.37所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E是線段BO上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是射線DC上一動(dòng)點(diǎn).若∠AEF＝120°，則線段EF的整數(shù)值有個(gè).42.如圖3.38所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，點(diǎn)O為BC上的點(diǎn)，⊙O的半徑OC＝1，點(diǎn)D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的一條切線DE(點(diǎn)E為切點(diǎn))，則線段DE的最小值為().A.3－1 B.－1 C. D.443.如圖3.39所示，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，以點(diǎn)C為圓心、1為半徑作圓，P為AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙C的切線，切點(diǎn)分別為Q、Q′，⊙C的另－條切線分別交PQ、PQ′于點(diǎn)M、N，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為.44.如圖3.40所示，四邊形的兩條對(duì)角線AC、BD所成的銳角為45°，當(dāng)AC＋BD＝18時(shí)，四邊形ABCD的面積最大值是.45.如圖3.41所示，有兩個(gè)同心圓，半徑分別是2和4，矩形ABCD的邊AB、CD分別為兩圓的弦，當(dāng)矩形ABCD的面積取最大值時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)是.46．如圖3．42所示，在扇形AOB中，OA＝12，∠O＝90°，C、D分別為OA、OB上的點(diǎn)，其中OC＝6，OD＝2BD，M為弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接CM、DM，則四邊形OCMD的面積最大值為．47．如圖3．43所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P是三角形內(nèi)(包括邊)的一點(diǎn)，點(diǎn)P到AB、BC、AC邊的距離分別為d1、d2、d3，則d1＋d2＋d3的最大值和最小值分別為和，并說明分別取得最值時(shí)點(diǎn)P的位置．圖3．4348．如圖3．44所示，把邊長(zhǎng)是3的正方形等分成9個(gè)小正方形，在有陰影的小正方形內(nèi)(包括邊界)分別取點(diǎn)B、C，與已知格點(diǎn)A(每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn))構(gòu)成三角形，則△ABC的最大面積是，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出面積最大時(shí)的△ABC的圖形．圖3．44備用圖49．如圖3．45所示，∠AOB＝90°，GM為∠AOB內(nèi)(含兩邊)的兩點(diǎn)，且GM＝2，OM＝4，GM/∥OA．若r為△OMG的內(nèi)切圓半徑，則r的最大值為．圖3．4550．在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形AOBC的位置如圖3．46所示，∠OAC＝90°，AC//OB，OA＝4，AC＝5，OB＝6．M、N分別在線段AC、BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△MON的面積達(dá)到最大時(shí)，△MON周長(zhǎng)最小，則此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為．圖3．4651.如圖3.47所示，直線l與半徑為4的⊙O相切于點(diǎn)A，P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)P作PB⊥1，垂足為B，連接PA.設(shè)PA=x，PB=y，則x-y的最大值是_________________.圖3.4752.如圖3.48所示，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點(diǎn)D，連接PA、PB，設(shè)PC的長(zhǎng)為x（2＜x＜4），則當(dāng)x=____________時(shí)，的值最大，最大值是_______________.圖3.4853.如圖3.49所示，在面積為7的梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=4，P為邊AD上不與點(diǎn)A、D重合的一動(dòng)點(diǎn)，Q是邊BC上的任意一點(diǎn)，連接AQ、DQ，過點(diǎn)P作PE/DQ交AQ于點(diǎn)E，作PF∥AQ交DQ于點(diǎn)F.則△PEF面積的最大值是________________.圖3.4954.如圖3.50所示，已知邊長(zhǎng)為4的正方形CDEF截去一角成為五邊形ABCDE，其中AF=2，BF=1.在AB上的一點(diǎn)P，使得矩形PNDM有最大面積，則矩形PNDM面積的最大值是()A.8B.12C.D.14圖3.5055.如圖3.51所示，AB為半圓的直徑，點(diǎn)O為圓心，AB=8.若P為AB反向延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)P作半圓的切線，切點(diǎn)為C，過點(diǎn)B作BD⊥PC交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則AC+BD的最大值為________________.圖3.5156.如圖3.52所示，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AB=20，點(diǎn)D、F從點(diǎn)A出發(fā)，分別沿AC、AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D的速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)F的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，過點(diǎn)D作DE//AB，交CB于點(diǎn)E，M為DE的中點(diǎn)，連接MF，則當(dāng)t為_______時(shí)，MF取得最小值，最小值為_______.57.如圖3.53所示，已知在菱形ABCD中，∠C=60°，AB=4，E為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF//BD交BC于點(diǎn)F，連接AE，AE的中點(diǎn)為G，連接FG，則FG的最小值為_________.58.如圖3.54所示，已知AB=8，P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在AB的同側(cè)作菱形APCD和菱形PBFE，點(diǎn)P、C、E在一條直線上，∠DAP=60°.M、N分別是對(duì)角線AC、BE的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M、N之間的距離最短為_______（結(jié)果保留根號(hào)）.59.如圖3.55所示，已知AB=6，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，分別以PA、PB為邊在AB同側(cè)作Rt△APC和Rt△BPD（P、C、D三點(diǎn)共線），且使得AP：PC=BP：PD=3：4，分別為△APC、△BPD的內(nèi)心，則的最小值為_________.60.如圖3.56所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為8的正方形，M（8，m），N（n，8）分別是線段AB、BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且ON⊥MN，當(dāng)OM最小時(shí)，m+n=_______.61.如圖3.57所示,在矩形ABCD中,AB=4,

BC=,E為AD上的動(dòng)點(diǎn),連接BE,F為BE.上的動(dòng)點(diǎn),且滿足∠BAF=∠AEB,M為BC的中點(diǎn)，以MF為邊構(gòu)造等邊△MNF(M、N、F三點(diǎn)逆時(shí)針),則CN的最小值為____________.62.如圖3.58所示,在矩形ABCD中，AB=,BC=6,E、F分別是AD、BC上的動(dòng)點(diǎn),CF=2AE

,連接EF,以EF為邊向右構(gòu)造等邊△EFG

,則DG的最小值為____________.63.如圖3.59所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,D是邊AB上一點(diǎn),AD=8,E是邊AC上一點(diǎn),AE=BD,F為邊BC上一點(diǎn),且∠DFA=90°,則線段EF的最小值為___________.64.如圖3.60所示,在矩形ABCD中,AB=m，BC=6.若AD_上存在點(diǎn)P,使∠BPC=60°,則m的取值范圍為___________.∴

.思路點(diǎn)撥65.如圖3.61所示,在等腰△ABC的兩腰AB、AC.上分別取點(diǎn)D和E,且AD=CE.已知BC=2,則DE的最小值為___________.66．如圖3．62如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E、F分別是AC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，連接BE、BF，則BE＋BF的最小值為．圖3．6267．如圖3．63所示，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ABC＝60°，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿射線CD運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），連接BF、DE，則動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為時(shí)，BF＋2DE取得最小值，最小值為．圖3．6368．如圖3．64所示，BC＝a，M為BC的中點(diǎn)，∠EMF＝120°，∠EMF繞點(diǎn)M進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，并始終保持∠EMF在BC的上方，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)A、D分別在射線ME、MF上運(yùn)動(dòng)，連接AB、CD，若始終滿足AB＋CD＝b，則在該過程中，線段AD有最值（填“大”或“小”）．圖3．6469．如圖3．65所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P為矩形ABCD內(nèi)部的任意一點(diǎn)，則PA＋PB＋PC的最小值為．圖3．6570．如圖3．66如圖所示，在矩形ABCD的邊AD上有一動(dòng)點(diǎn)F，在矩形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)E，其中AB＝6，BC＝10，則EF＋EB＋EC的最小值為．圖3．6671.如圖3.67所示，在正方形ABCD中，AB=4，E、F分別是正方形內(nèi)的兩點(diǎn)，∠AEB=∠CFD=120°，則AE＋BE＋EF＋CF＋DF的最小值為________________________.72.如圖3.68所示，⊙A的半徑為2，l是⊙A的切線向下平移1個(gè)單位后所得的直線，點(diǎn)P是l上一動(dòng)點(diǎn)，PC切⊙A于點(diǎn)C，以PC為邊作△PBC，∠PCB=90°，∠PBC=30°，線段PB的最小值為___________.73.如圖3.69所示，點(diǎn)D是△ABC中BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)E和點(diǎn)F，∠B=45°，∠C=75°，AB=8，則EF的最小值是____________________.74.如圖3.70所示，∠BAC=60°，半徑為1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心、PA長(zhǎng)為半徑的⊙P與射線AB、AC分別交于D、E兩點(diǎn)，連接DE，則線段DE的最大值為（）A.3B.6C.D.75.如圖3.71所示，AD是△ABC的高，AD=BD=4，DC=2，E是AC上的動(dòng)點(diǎn)，EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥BC于點(diǎn)G，則FG的最小值是______________________.76．如圖3.72所示，點(diǎn)C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，弦AB＝6，∠ACB＝120°．△ABC內(nèi)切圓半徑r的最大值為．77．如圖3.73所示，在扇形AOB中，△AOB為等腰直角三角形，OA＝4，C是AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD∥OB交圓弧于點(diǎn)D，則CD的最大值為．圖3.7378．如圖3.74所示，在扇形AOB中，OA＝5，tan∠ABO＝，C是AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD∥OB交圓弧于點(diǎn)D，則CD的最大值為．圖3.7479．如圖3.75所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為邊BC上的任意一點(diǎn)(可與點(diǎn)B、C重合)，分別過點(diǎn)B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別為B'、C'、D'，則BB'＋CC'＋DD'的取值范圍是．圖3.7580．如圖3.76所示，AB＝2，以AB為直徑作半圓O，半圓O上有一動(dòng)點(diǎn)P，則AP＋BP的最大值為．圖3.7681.如圖3.77所示，已知∠XOY＝60°，點(diǎn)A在邊OX上，OA＝2，過點(diǎn)A作AC⊥OY于點(diǎn)C，以AC為一邊在∠XOY內(nèi)作等邊△ABC，點(diǎn)P是△ABC圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD∥OY交OX于點(diǎn)D，作PE∥OX交OY于點(diǎn)E.設(shè)OD＝a,OE＝b，則a＋2b的取值范圍是______________.82.如圖3.78所示，∠ACB＝60°，圓O內(nèi)切于∠ACB，半徑為2.P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM、PN分別垂直于∠ACB的兩邊，垂足為M、N，則PM＋2PN的取值范圍為____.83.如圖3.79所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，E為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF,M為ED的中點(diǎn)，連接MF，則MF的最小值為___________.84.如圖3.80所示，正方形ABCD中，E為BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE將AE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至EF，連接BF.若AB＝4，M為BF的中點(diǎn)，則CM的最小值為_________.85.如圖3.81所示，在平面直角坐標(biāo)系中，A（－2,0），B（4,0），C（0，m），其中m＞0.連接BC，以BC為斜邊作直角三角形BCP，且tan∠PBC＝，則AP的最小值為______,此時(shí)m的值為__________.86．如圖3.82所示，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，5），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（7，0），⊙C的半徑為，點(diǎn)B是在⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，OB+AB的最小值為．87．如圖3.83所示，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，5），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（7，0），點(diǎn)B為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，那么CB+AB的最小值為．88．如圖3.84所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-1，0），B（0，），C是線段OB上的動(dòng)點(diǎn)，則3AC+BC的最小值為，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為．89．如圖3.85所示，在正方形ABCD中，AB=2，E是BC的中點(diǎn)，CD上有一動(dòng)點(diǎn)M，連接