2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納（全國通用）：21 相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型（學(xué)生版）

專題21相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型梅內(nèi)勞斯（Menelaus，公元98年左右），是希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個(gè)重要定理。梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么．這條直線叫的梅氏線，叫梅氏三角形．梅涅勞斯定理的逆定理：如圖1，若F、D、E分別是的三邊AB、BC、CA或其延長線的三點(diǎn)，如果，則F、D、E三點(diǎn)共線．圖1圖2塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利數(shù)學(xué)家兼水利工程師．他在1678年發(fā)表了一個(gè)著名的定理，后世以他的名字來命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)G，延長AG、BG、CG分別交對(duì)邊于D、E、F，如圖2，則。注意：①梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）區(qū)別是塞瓦定理的特征是三線共點(diǎn)，而梅涅勞斯定理的特征是三點(diǎn)共線；②我們用梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）解決的大部分問題，也添加輔助線后用平行線分線段成比例和相似來解決。例1.（2023.浙江九年級(jí)期中）如圖，在中，AD為中線，過點(diǎn)C任作一直線交AB于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)E，求證：．例2.（2023.重慶九年級(jí)月考）如圖，在中，，．AM為BC邊上的中線，于點(diǎn)D，CD的延長線交AB于點(diǎn)E．求．例3.（2023.湖北九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)D、E分別在的邊AC、AB上，，，BD與CE交于點(diǎn)F，．求．例4.（2023.江蘇九年級(jí)月考）已知AD是的高，點(diǎn)D在線段BC上，且，，作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接EF并延長，交BC的延長線于點(diǎn)G，求CG．例5.（2023.廣東九年級(jí)專項(xiàng)訓(xùn)練）如圖，在中，的外角平分線與邊BC的延長線交于點(diǎn)P，的平分線與邊CA交于點(diǎn)Q，的平分線與邊AB交于點(diǎn)R，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線．例6．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)校聯(lián)考期中）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖1，如果一條直線與的三邊或它們的延長線交于三點(diǎn)，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)證明該定理的部分過程：證明：如圖2，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則有，，∴，．請(qǐng)用上述定理的證明方法解決以下問題：

（1）如圖3，三邊的延長線分別交直線于三點(diǎn)，證明：．請(qǐng)用上述定理的證明方法或結(jié)論解決以下問題：（2）如圖4，等邊的邊長為3，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且與交于點(diǎn)，試求的長．（3）如圖5，的面積為4，F(xiàn)為中點(diǎn)，延長至，使，連接交于，求四邊形的面積．例7．（2023.山東九年級(jí)月考）如圖：P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB邊上的點(diǎn)．若AP，BQ，CR相交于一點(diǎn)M，求證：．例8.（2023.浙江九年級(jí)期中）如圖，在銳角△ABC中，AD是BC邊上的高線，H是線段AD內(nèi)任一點(diǎn)，BH和CH的延長線分別交AC、AB于E、F，求證：∠EDH=∠FDH。例9.（2023.北京九年級(jí)月考如圖，四邊形ABCD的對(duì)邊AB和CD，AD、BC分別相交于L、K，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)M，直線KL與BD，AC分別交于F、G，求證：.例10．（2022·山西晉中·統(tǒng)考一模）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：塞瓦定理：塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學(xué)家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn)．塞瓦是意大利偉大的水利工程師，數(shù)學(xué)家．定理內(nèi)容：如圖1，塞瓦定理是指在內(nèi)任取一點(diǎn)，延長AO，BO，CO分別交對(duì)邊于D，E，F(xiàn)，則．?dāng)?shù)學(xué)意義：使用塞瓦定理可以進(jìn)行直線形中線段長度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來進(jìn)行三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要的作用．任務(wù)解決：(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；(2)若為等邊三角形（圖3），，，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，求BF的長，并直接寫出的面積．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023.廣東九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，AE＝AB，連接EM并延長，交BC的延長線于D，則＝（）A． B．2 C． D．2.（2023.浙江九年級(jí)期中）如圖，D、E、F內(nèi)分正△ABC的三邊AB、BC、AC均為1：2兩部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面積是△ABC的面積的（）A． B． C． D．3．（廣東2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，，，垂足為D，E為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)F，則的長為．

4．（2022年山西中考一模數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，．是邊上的中線．將沿方向平移得到．與相交于點(diǎn)，連接并延長，與邊相交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，的長為．

5．（2022年山西省太原市九年級(jí)下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，的切線交的延長線于點(diǎn)D，E為的中點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)F．若，，則的長為．6．（2023年山西中考模擬百校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，，的平分線分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．則線段OE的長為．7．（2023下·浙江溫州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，等邊△ABC的邊長為5，D在BC延長線上，CD＝3，點(diǎn)E在線段AD上，且AE＝AB，連接BE交AC于F，則CF的長為．8．（2023·重慶·八年級(jí)期中）如圖，的面積為，、分別是，上的點(diǎn)，且,．連接,交于點(diǎn),連接并延長交于點(diǎn)．則四邊形的面積為．9.（2023.湖北.九年級(jí)月考）如圖所示，被通過它的三個(gè)頂點(diǎn)與三角形內(nèi)一點(diǎn)O的三條直線分為6個(gè)小三角形，其中三個(gè)小三角形的面積如圖所示，則的面積為．10．（2023上·河南洛陽·九年級(jí)期末）小明在網(wǎng)上學(xué)習(xí)了梅涅勞斯定理之后，編制了下面一個(gè)題，請(qǐng)你解答．已知△ABC，延長BC到D，使CD=BC．取AB的中點(diǎn)F，連結(jié)FD交AC于點(diǎn)E．(1)求的值；(2)若AB＝a，F(xiàn)B＝AE，求AC的長．11．（2023·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，三邊，，的延長線分別交直線于，，三點(diǎn)，證明：．（即證明梅涅勞斯定理的其中一種形式）12．（2023上·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）梅涅勞斯定理梅涅勞斯（）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一條直線與的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點(diǎn)，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)證明該定理的部分過程：證明：如圖（2），過點(diǎn)A作，交DF的延長線于點(diǎn)G，則有．任務(wù)：（1）請(qǐng)你將上述材料中的剩余的證明過程補(bǔ)充完整；（2）如圖（3），在中，，，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且，CF與AD交于點(diǎn)E，則________．13．（2021·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家，塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》一書，塞瓦定理是指如圖1，在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長AO，BO，CO分別交對(duì)邊于D，F(xiàn)，E，則．下面是該定理的部分證明過程：如圖2，過點(diǎn)A作BC的平行線分別交BE，CF的延長線于點(diǎn)M，N．則∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．∴△NAF∽△CBF．∴①．同理可得△NOA∽△COD．∴②．任務(wù)一：(1)請(qǐng)分別寫出與△MOA，△MEA相似的三角形；(2)寫出由（1）得到的比例線段；任務(wù)二：結(jié)合①②和（2），完成該定理的證明；任務(wù)三：如圖3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，連接AE并延長，交BC于點(diǎn)F，連接BE并延長，交AC于點(diǎn)G．小明同學(xué)自學(xué)了上面定理之后解決了如圖3所示的問題，并且他用所學(xué)知識(shí)已經(jīng)求出了BF與FC的比是25：16，請(qǐng)你直接寫出△ECG與△EAG面積的比．14．（重慶2022-2023學(xué)年八年級(jí)月考）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，延長