習(xí)題課-與球有關(guān)的切、托問題

與球有關(guān)的內(nèi)切、外接問題是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)(切、接問題的解題思路類似)．研究多面體的外接球問題，既要運(yùn)用多面體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的知識(shí)，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，解決此類題的關(guān)鍵是確定球心．類型一外接球問題方法(一)定義找心由球的定義確定球心，在空間中，如果一個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)簡單多面體的所有頂點(diǎn)的距離都相等，那么這個(gè)定點(diǎn)就是該簡單多面體的外接球的球心．

[方法技巧]由幾何體外接球的定義可知，幾何體的各頂點(diǎn)到球心的距離相等．常見的兩種情況是：(1)若四面體的兩個(gè)面是公共斜邊的直角三角形，則球心是斜邊的中點(diǎn)；(2)直三棱柱的外接球的球心在該直三棱柱的上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)處．2．若半徑為1的球的內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面為正方形，則該正三棱柱的體積為________，表面積為________．方法(二)補(bǔ)形找心長方體或正方體的外接球的球心是在其體對(duì)角線的中點(diǎn)處．部分空間幾何體可以通過補(bǔ)形補(bǔ)成正方體、長方體或棱柱等途徑確定球心．

[方法技巧]補(bǔ)形求心的常用模型(1)有兩個(gè)面是共直角邊的三棱錐，可補(bǔ)成棱柱；(2)正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐都分別可構(gòu)造正方體；(3)同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對(duì)的棱相等的三棱錐都分別可構(gòu)造長方體和正方體；(4)若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系，

則可將棱錐補(bǔ)成長方體或正方體．

[針對(duì)訓(xùn)練]1．《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為

(

)A．12π B．20πC．24π D．32π方法(三)截面找心找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個(gè)軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑．本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法．

[典例]

(1)(2021·全國甲卷)已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，則三棱錐O-ABC的體積為

(

)[方法技巧]這類題的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的一個(gè)軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究．[針對(duì)訓(xùn)練]1．已知長方體ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，高為4，E是DD1的中點(diǎn)，則三棱錐B1-C1EC的外接球的表面積為

(

)A．12π B．20πC．24π D．32π類型二內(nèi)切球問題(1)內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等．(2)正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合．(3)正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合．[方法技巧]簡單多面體內(nèi)切球問題(1)利用內(nèi)切球的定義直接找球心和半徑的關(guān)系；(2)利用等體積直接來求半徑(球內(nèi)切于多面體，則球心