第五節(jié)　二次函數與一元二次方程、不等式

第五節(jié)二次函數與一元二次方程、不等式1.會從實際情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的現實意義.2.結合二次函數的圖象，會判斷一元二次方程根的個數，以及二次函數的零點與方程根的關系.3.掌握利用二次函數的圖象解一元二次不等式.1．一元二次不等式只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式．2．三個“二次”間的關系(1)絕對值不等式|x|＞a(a＞0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|＜a(a＞0)的解集為(－a，a)．記憶口訣：大于號取兩邊，小于號取中間．(2)解不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)時不要忘記當a＝0時的情形．(3)不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的條件要結合其對應的函數圖象決定．2．(蘇教版必修第一冊P62·T5改編)已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，則A∪B＝________.答案：R4．(人教A版必修第一冊P58·T6改編)若關于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，則實數a的取值范圍為________．層級一/基礎點——自練通關(省時間)基礎點(一)一元二次不等式的解法

[題點全訓]1．已知集合A＝{x|－x2＋x＋2＞0}，B＝{x|x2＋3x－4>0}，則A∩B＝

(

)A．{x|1<x<2} B．{x|－1<x<1}C．{x|－4<x<2} D．{x|x<－4或x>－1}解析：集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|x<－4或x>1}，則A∩B＝{x|1<x<2}．答案：A

4．不等式0<x2－x－2≤4的解集為_____________________________________．[一“點”就過]解一元二次不等式的4個步驟基礎點(二)三個“二次”關系的應用

[題點全訓]1．已知關于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是{x|－1<x<2}，則不等式cx2＋bx＋a<0的解集是

(

)[一“點”就過](1)一元二次方程的根就是相應一元二次函數的零點，也是相應一元二次不等式解集的端點值．(2)給出一元二次不等式的解集，相當于知道了相應二次函數的開口方向及與x軸的交點，可以利用代入根或根與系數的關系求待定系數．層級二/重難點——逐一精研(補欠缺)因沒有掌握分類討論的標準錯解含參不等式——————————————————————————————————[典例]解關于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．對含參的不等式，應對參數進行分類討論(1)根據二次項系數為正、負及零進行分類．(2)根據判別式Δ與0的關系判斷根的個數．(3)有兩個根時，有時還需根據兩根的大小進行討論．

[針對訓練]解關于x的不等式x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0.解：∵x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0，∴(x－2a)[x－(a＋1)]>0，令f(x)＝(x－2a)[x－(a＋1)]，則f(x)的圖象開口向上，且與x軸交點橫坐標分別為2a，a＋1.①當2a＝a＋1，即a＝1時，解得x≠2；②當2a>a＋1，即a>1時，解得x<a＋1或x>2a；③當2a<a＋1，即a<1時，解得x<2a或x>a＋1.綜上，當a<1時，不等式的解集為{x|x<2a或x>a＋1}；當a＝1時，不等式的解集為{x|x<2或x>2}；當a>1時，不等式的解集為{x|x<a＋1或x>2a}．重難點(一)一元二次不等式恒成立問題

考法1在R上的恒成立問題[例1]若關于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1≥0的解集為空集，則實數m的取值范圍為

(

)[解析]因為關于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1≥0的解集為空集，所以關于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1<0的解集為R，當m＝0時，原不等式為－x－1≥0，即x≤－1，不符合題意，舍去；考法2在給定區(qū)間上的恒成立問題[例2]當1≤x≤3時，關于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，則實數a的取值范圍是

(

)考法3給定參數范圍的恒成立問題[例3]若mx2－mx－1<0對于m∈[1,2]恒成立，則實數x的取值范圍為________．(1)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數．(2)對于二次不等式恒成立問題常見的類型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區(qū)間上恒成立．對第一種情況，恒大于0就是相應的二次函數的圖象全部在x軸上方，恒小于0就是相應的二次函數的圖象全部在x軸下方；對第二種情況，要充分結合函數圖象進行分類討論(也可采用分離參數的方法)．[針對訓練]1．若不等式x2－tx＋1<0對一切x∈(1,2)恒成立，則實數t的取值范圍為

(

)2．函數f(x)＝x2＋ax＋3，若a∈[4,6]，f(x)≥0恒成立，則實數x的取值范圍是________________________________________________________________．重難點(二)一元二次不等式的實際應用

[典例]某地區(qū)上年度電價為0.8元/kW·h，年用電量為akW·h.本年度計劃將電價降到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之間，而用戶期望電價為0.4元/kW·h.經測算，下調電價后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比(比例系數為k)．該地區(qū)電力的成本價為0.3元/kW·h.(1)寫出本年度電價下調后，電力部門的收益y與實際電價x的函數關系式；(2)設k＝0.2a，當電價最低定為多少時仍可保證電力部門的收益比上年度至少增長20%?注：收益＝實際用電量×(實際電價－成本價)．求解不等式應用題的步驟(1)閱讀理解，認真審題，把握問題中的關鍵量，找準不等關系．引進數學符號，將文字信息轉化為符號語言，用不等式表示不等關系，建立相應的數學模型．(2)解不等式，得出數學結論，要注意數學模型中自變量的實際意義．回歸實際問題，將數學結論還原為實際問題的結果．

[針對訓練]某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本．據市場調查，雜志的單價每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本．要使提價后的銷售總收入不低于20萬元，則定價的最大值為________元．層級三/細微點——優(yōu)化完善(掃盲點)一、全面清查易錯易誤點1．(忽視二次項的符號)不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集為

(

)2．(忽視對含參二次項系數的討論)若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x對任意x都成立，則實數m的取值范圍是

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)A．(－2,2) B．(2，＋∞)C．(－2,2] D．[－2,2]4．(創(chuàng)新命題形式)三位同學合作學習，對問題“已知不等式xy≤ax2＋2y2對于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，求a的取值范圍”提出了各自的解題思路．甲說：“可視x為變量，y為常量來分析”．乙說：“尋找x與y的關系，再作分析”．丙說：“把字母a單獨放在一邊，再作分析”．參考上述思路，或自己的其他解法，可求出實數a的取值范圍是

(

)A．[1，＋∞) B．[－1，＋∞)C．[－1,4) D．[－1,6]7．(強化開放思維)已知集合A＝{－5，－1,2,4,5}，請寫出一個一