關(guān)于兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)問(wèn)題

關(guān)于兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)問(wèn)題數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且還是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好題材。學(xué)習(xí)數(shù)列，要經(jīng)常觀察、分析、歸納、猜想，還要綜合運(yùn)用前面的知識(shí)解決數(shù)列中的一些問(wèn)題，這些都有助于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。本章題型多，但有規(guī)律，所以平常學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)多注意總結(jié)。下面就人教A版全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（必修）數(shù)學(xué)第一冊(cè)（上）第115頁(yè)習(xí)題3.2第8題及第135頁(yè)第2題第4小題加以引申。此類問(wèn)題是關(guān)于兩數(shù)列的公共項(xiàng)的問(wèn)題，比較抽象，難以理解，現(xiàn)對(duì)這個(gè)問(wèn)題通過(guò)幾個(gè)例題做如下分析。一、關(guān)于序號(hào)與數(shù)值均相同的公共項(xiàng)問(wèn)題例題：一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列的首項(xiàng)是93，公差是-7；另一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列的首項(xiàng)是17，公差是12，這兩個(gè)數(shù)列中存在著序號(hào)及數(shù)值均相等的項(xiàng)嗎？解：這兩個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為an=93-7×(n-1),bn=17+12×(n-1)由an=bn，即93-7×(n-1)=17+12×(n-1)得n=5，由此可知這兩個(gè)數(shù)列中存在著序號(hào)及數(shù)值均相等的項(xiàng)，即第五項(xiàng)。小結(jié)：此類問(wèn)題比較容易，只要由an=bn，如解出n為正整數(shù)就有相同項(xiàng)，解出n不是正整數(shù)就沒(méi)有相同項(xiàng)?！眷柟叹毩?xí)】：已知數(shù)列、的通項(xiàng)公式分別為：an=an+2,bn=bn+1（a,b是常數(shù)），且a＞b，那么兩個(gè)數(shù)列中序號(hào)與數(shù)值均相同的個(gè)數(shù)是（）（A）0個(gè)（B）1個(gè)（C）2個(gè)（D）無(wú)窮多個(gè) 答案A分析：這兩個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為：an=an+2,bn=bn+1由an=bn，即an+2=bn+1得（a-b）n=-1，因?yàn)閍＞b，所以由（a-b）n=-1解出的n不是正整數(shù)，由此可知這兩個(gè)數(shù)列中沒(méi)有序號(hào)及數(shù)值均相等的項(xiàng)。二、關(guān)于數(shù)值相同但序號(hào)不一定相同的公共項(xiàng)問(wèn)題1、關(guān)于兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)問(wèn)題例題：等差數(shù)列5，8，11，14，17，20，23，…與等差數(shù)列3，7，11，15，19，23，27，…前100項(xiàng)中有多少相同項(xiàng)？并求相同項(xiàng)的和。【分析1】為了發(fā)現(xiàn)相同項(xiàng)的規(guī)律，不妨將兩個(gè)數(shù)列分別多寫(xiě)出一些項(xiàng)：5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，…，302．3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47，51，…，399．顯然相同項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是11，23，35，47，…，an,只要找到an，問(wèn)題得到解決。解：由以上分析可知相同項(xiàng)構(gòu)成以a1=11為首項(xiàng),d=12為公差的等差數(shù)列．∵an=11+12×(n-1)≤302,n≤25.25,則n=25．∴a25=11+12×(25-1)=299.S25==3875.【分析2】等差數(shù)列5，8，11，…的通項(xiàng)為an=5+(n-1)?3=3n+2(1≤n≤100);等差數(shù)列3，7，11，…的通項(xiàng)為bn=3+(n-1)?4=4n-1(1≤n≤100)，顯然數(shù)列{an}的每一項(xiàng)是被3除余2的自然數(shù)，數(shù)列{bn}的每一項(xiàng)是被4除余-1的自然數(shù)。實(shí)際上數(shù)列{an}的每一項(xiàng)也可以稱被3除余-1的自然數(shù)，這樣兩個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)余數(shù)相同，只要找到它們除數(shù)的最小公倍數(shù)即被12除余-1的自然數(shù)即為相同項(xiàng)。解：由分析知，相同項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)為Cn=12n-1,∵12n-1≤302,∴n≤25.25則n=25，可見(jiàn)該數(shù)列的首項(xiàng)a1=11，公差d=12,項(xiàng)數(shù)n=25，其和S25=1125+25（25-1）12=3875?！痉治?】由分析1可以看出兩數(shù)列相同項(xiàng)除第一項(xiàng)均出現(xiàn)在第三項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都是最先出現(xiàn)在公差較大的數(shù)列中，所以我們不妨設(shè)數(shù)列5，8，11，…為{an}，數(shù)列3，7，11，…為{bn},公共項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列為{Cn},并設(shè)第一項(xiàng)為Cn=am=bq,然后從{bn}中找第二項(xiàng)Cn+1。解：設(shè)Cn=am=bq，∵Cn=3m+2=4q-1,∴4q=3bq+1=4(q+1)-1=4q+3=3m+6=3(m∴bq+1不在{an}中bq+2=4(q+2)-1=4q+7=3m+10=3(m∴bq+2不在{an}中bq+3=4(q+3)-1=4q+11=3m+14=3(m∴bq+3在{an}中∵Cn+1=bq+3=4q+11∴Cn+1-Cn=bq+3-bq=4q+11-(4q-1)=12∴{Cn}是以11為首項(xiàng)，12為公差的等差數(shù)列，Cn=12n-1,以下同分析2。小結(jié)：可以看出新數(shù)列的公差應(yīng)是原來(lái)兩數(shù)列的公差的最小公倍數(shù)?！眷柟叹毩?xí)】：在[1000，2000]內(nèi)能被3整除且被4除余1的整數(shù)共有多少個(gè)？答案83個(gè)2、關(guān)于等差數(shù)列與等比數(shù)列的公共項(xiàng)問(wèn)題例題：數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=2n,bn=3n+2,它們的公共項(xiàng)由小到大排成的數(shù)列是{Cn}.，求{Cn}的通項(xiàng)公式?！痉治?】?jī)蓴?shù)列的公共項(xiàng)從第二項(xiàng)起先出現(xiàn)在等比數(shù)列中，所以設(shè){Cn}的第一項(xiàng)為Cn=am=bp，然后到{an}中去找第二項(xiàng)。解：設(shè)Cn=am=bp，∵Cn=2m=3pam+1=2?2m=2(3p+2)=3(2∴am+1不在{bn}中又am+1=4?2m=4（3p+2）=3（4p∴am+2在{bn}中∴am+2是{Cn}中的項(xiàng)即Cn+1,∴Cn+1=4Cn故{Cn}是以C1=a3=8為首項(xiàng)，4為公比的成等比數(shù)列，∴Cn=84n-1=22n+1【分析2】設(shè)ak=2k是{bn}中的第m項(xiàng)，即2k=3m+2,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求k、m解：設(shè)ak=2k是{bn}中的第m項(xiàng)，即2k=3m+2,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求k、m由2k=3m+2可知2k而2k-2=（3-1）k-2=3[Ck03k+Ck13k-1(-1)+…+Ckk-13(-1)k-1]+[(-1)k-2],當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)右式能被3整除，又∵m為正整數(shù)∴k為大于1的奇數(shù)∵Cn=a2n+1=22n+1小結(jié)：此類問(wèn)題比較難，特別是第二種方法入手很難，且在運(yùn)用二項(xiàng)式定理時(shí)要格外小心?！眷柟叹毩?xí)】：數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式分別為a