《高等流體力學(xué)》習(xí)題集與基本知識

PAGE73-《高等流體力學(xué)》復(fù)習(xí)題基本概念什么是理想流體？正壓流體，不可壓縮流體？[答]：教材P57當(dāng)流體物質(zhì)的粘度較小，同時其內(nèi)部運動的相對速度也不大，所產(chǎn)生的粘性應(yīng)力比起其它類型的力來說可以忽略不計時，可把流體近似地看為是無粘性的，這樣無粘性的流體稱為理想流體。內(nèi)部任一點的壓力只是密度的函數(shù)的流體，稱為正壓流體。流體的體積或密度的相對變化量很小時，一般可以看成是不可壓縮的，這種流體就被稱為不可壓縮流體。什么是定常場；均勻場；并用數(shù)學(xué)形式表達(dá)。[答]：如果一個場不隨時間的變化而變化，則這個場就被稱為定常場。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：如果一個場不隨空間的變化而變化，即場中不顯含空間坐標(biāo)變量，則這個場就被稱為均勻場。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：理想流體運動時有無切應(yīng)力？粘性流體靜止時有無切應(yīng)力？靜止時無切應(yīng)力是否無粘性？為什么？[答]：理想流體運動時無切應(yīng)力。粘性流體靜止時無切應(yīng)力。但是，靜止時無切應(yīng)力，而有粘性。因為，粘性是流體的固有特性。流體有勢運動指的是什么？什么是速度勢函數(shù)？無旋運動與有勢運動有何關(guān)系？[答]：教材P119-123如果流體運動是無旋的，則稱此流體運動為有勢運動。對于無旋流動來說，其速度場總可以由某個速度標(biāo)量函數(shù)（場）的速度梯度來表示，即，則這個標(biāo)量函數(shù)（場）稱為速度場的速度勢函數(shù)。無旋運動與有勢運動的關(guān)系：勢流運動與無旋運動是等價的，即有勢運動是無旋的，無旋運動的速度場等同于某個勢函數(shù)的梯度場。什么是流函數(shù)？存在流函數(shù)的流體具有什么特性？（什么樣的流體具有流函數(shù)？）[答]：平面流動中用復(fù)變位勢描述的流體具有哪些條件（性質(zhì)）？[答]：教材P126-127理想不可壓縮流體的平面無旋運動，可用復(fù)變位勢描述。什么是第一粘性系數(shù)和第二粘性系數(shù)？在什么條件下可以不考慮第二粘性系數(shù)？Stokes假設(shè)的基本事實依據(jù)是什么？[答]：教材P89第一粘性系數(shù)μ：反映了剪切變形對應(yīng)力張量的貢獻(xiàn)，因此稱為剪切變形粘性系數(shù)；第二粘性系數(shù)μ’：反映了體變形對應(yīng)力張量的貢獻(xiàn)，因而稱為體變形粘性系數(shù)。對于不可壓縮流體，可不考慮第二粘性系數(shù)。Stokes假設(shè)的基本事實依據(jù)：平均法向正應(yīng)力就是壓力函數(shù)的負(fù)值，即體變形粘性系數(shù)。從運動學(xué)觀點看流體與固體比較有什么不同？[答]：教材P55若物質(zhì)分子的平均動能遠(yuǎn)小于其結(jié)合能，即，這時物質(zhì)分子間所形成的對偶結(jié)構(gòu)十分穩(wěn)定，分子間的運動被嚴(yán)格地限定在很小的范圍內(nèi)，物質(zhì)的分子只能在自己的平衡位置周圍振動。這時物質(zhì)表現(xiàn)為固態(tài)。若物質(zhì)分子的平均動能與其結(jié)合能大致相等，即，其分子間的對偶結(jié)構(gòu)不斷地遭到破壞，又不斷地形成新的對偶結(jié)構(gòu)。這時，物質(zhì)分子間不能形成固定的穩(wěn)定對偶結(jié)構(gòu)，而表現(xiàn)出沒有固定明確形狀的液態(tài)。若物質(zhì)分子的平均動能遠(yuǎn)大于其結(jié)合能，即，物質(zhì)幾乎不能形成任何對偶結(jié)構(gòu)。這時，物質(zhì)表現(xiàn)為氣態(tài)。試述流體運動的Helmholts速度分解定律。[答]：教材P65可變形流體微團(tuán)的速度分解：流體微團(tuán)一點的速度可分解為平動速度分量與轉(zhuǎn)動運動分量和變形運動分量之和，這稱為流體微團(tuán)的Helmholts速度分解定理流體微團(tuán)有哪些運動形式？它們的數(shù)學(xué)表達(dá)式是什么？[答]：1）平動運動：2）轉(zhuǎn)動運動：3）變形運動：描述流體運動的基本方法有哪兩種？分別寫出其描述流體運動的速度、加速度的表達(dá)式。[答]：教材P58-60描述流體運動的基本方法：拉格朗日方法：對流體介質(zhì)的每一質(zhì)點進(jìn)行跟蹤，著眼于流體介質(zhì)中的每個質(zhì)點，需要對流體介質(zhì)中的每個質(zhì)點進(jìn)行區(qū)別。各質(zhì)點速度表達(dá)式：各質(zhì)點加速度表達(dá)式：歐拉方法：定點觀察描述流場的運動，著眼于空間的定點，而不是流體質(zhì)點。速度表達(dá)式：加速度表達(dá)式：什么是隨體導(dǎo)數(shù)（加速度）、局部導(dǎo)數(shù)（加速度）及位變導(dǎo)數(shù)（加速度）？分別說明，及的物理意義？[答]：教材P60隨體導(dǎo)數(shù)：流體質(zhì)點在其運動過程中的加速度所對應(yīng)的微商，叫做隨體導(dǎo)數(shù)；局部導(dǎo)數(shù)：流體位置不變時的加速度所對應(yīng)的微商，叫做局部導(dǎo)數(shù)；位變導(dǎo)數(shù)：質(zhì)點位移所造成的加速度所對應(yīng)的微商，叫做位變導(dǎo)數(shù)。物理意義：：隨體導(dǎo)數(shù)為0，流體質(zhì)點在其運動過程中的加速度為0；：局部導(dǎo)數(shù)為0，流體位置不變時的加速度為0，流體是定常流動；：位變導(dǎo)數(shù)為0，流體質(zhì)點位移所造成的加速度為0，流體速度分布均勻。什么是流體的速度梯度張量？試述其對稱和反對稱張量的物理意義。[答]：教材P65-67對流體微團(tuán)，其中處的速度為，那么處的速度可以表示為，或者，即。這里，為二階張量，是速度的梯度，因此稱之為速度梯度張量。速度梯度張量分解為對稱和反對稱部分：反對稱張量的物理意義：反對稱張量表征了流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)運動，所對應(yīng)的矢量為流體微團(tuán)的角速度矢量。XXOYZ反對稱部分反對稱部分對稱張量的物理意義：對稱張量表征了流體微團(tuán)的變形運動。其中，對角線上的元素表示了流體單元微團(tuán)在3個坐標(biāo)軸上的體變形分量，而三角元素表示了流體單元微團(tuán)在3個坐標(biāo)平面上的角變形分量的一半。反對稱部分XY反對稱部分XYZOXYOZ流體應(yīng)力張量的物理意義是什么？它有什么性質(zhì)？[答]：教材P71流體應(yīng)力張量的物理意義：應(yīng)力張量表示了坐標(biāo)面的三個面力密度矢量的九個分量組成的一二階張量，即為面力密度張量。應(yīng)力張量的性質(zhì)：應(yīng)力張量是對稱張量，具有對稱性應(yīng)力張量具有二階對稱張量的性質(zhì)(1)應(yīng)力張量的幾何表示為應(yīng)力橢球面，即二次型(2)應(yīng)力張量有三個互相垂直的主軸方向，即是應(yīng)力橢球的三個對稱的直徑的方向。在主軸坐標(biāo)系下，應(yīng)力張量具有標(biāo)準(zhǔn)形式：(3)應(yīng)力張量的三個不變量為：某平面上的應(yīng)力與應(yīng)力張量有什么關(guān)系？的物理含義是什么？[答]：教材P71應(yīng)力與應(yīng)力張量的關(guān)系：，即：空間某點處任意平面上的應(yīng)力等于這點處的應(yīng)力張量與該平面法向單位矢量的左向內(nèi)積。的物理意義：應(yīng)力張量的對稱性，使得在以為法線的平面上的應(yīng)力在方向上的投影等于（=）在以為法線的平面上的應(yīng)力在方向上的投影。流體微團(tuán)上受力形式有哪兩種？它們各自用什么形式的物理量來表達(dá)？[答]：教材P68-71（1）質(zhì)量力，也稱體力，這種力作用在物質(zhì)中每個質(zhì)點上，其大小與每個質(zhì)點的質(zhì)量成正比。作用于某物質(zhì)體上質(zhì)量力的合力將通過該物質(zhì)體的質(zhì)心。，為質(zhì)量力密度，與位置有關(guān)。（2）面力，作用于流體微團(tuán)表面S上的力。，為面力分布密度，什么是廣義的牛頓流體和非牛頓流體？[答]：教材P86-87牛頓內(nèi)摩擦定律：流體微團(tuán)的運動變形的的大小與其上所受的應(yīng)力存在線性關(guān)系。遵從或近似遵從牛頓內(nèi)摩擦定律的一類流體稱為牛頓流體。不遵從牛頓內(nèi)摩擦定律的流體稱為非牛頓流體。廣義牛頓內(nèi)摩擦定律：偏應(yīng)力張量的各分量與速度梯度張量的各分量間存在線性關(guān)系。遵從或近似遵從廣義牛頓內(nèi)摩擦定律的一類流體稱為廣義牛頓流體。試述廣義牛頓內(nèi)摩擦定律的物理意義及相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式？[答]：教材P87廣義牛頓內(nèi)摩擦定律的物理意義：偏應(yīng)力張量的各分量與速度梯度張量的各分量間存在線性關(guān)系。數(shù)學(xué)表達(dá)式：，其中，二階張量和市速度梯度張量的對稱和反對稱部分，而四階張量稱為動力粘性系數(shù)張量。什么是層流運動、紊流（湍流）運動和臨界雷諾數(shù)？圓管中層流和紊流運動的速度分布規(guī)律是什么？[答]：層流流動是平穩(wěn)有規(guī)律的流動狀態(tài)，流體介質(zhì)各部分之間分層流動，互不摻混，流體內(nèi)部的微團(tuán)具有連續(xù)而平滑的跡線，流場中各種有關(guān)物理量（參數(shù)）的變化較為緩慢，表現(xiàn)出明顯的連續(xù)性和平穩(wěn)性。湍流流動是極不規(guī)則的流動形態(tài)，流體介質(zhì)各部分之間，各層之間有著劇烈的摻混，其流體內(nèi)部微團(tuán)的運動跡線很不規(guī)則，雜亂無章，表征流體運動狀態(tài)的各種物理量也表現(xiàn)出不同程度的躍變和隨機(jī)性。雷諾數(shù)：流體運動中，慣性力與粘性力的無量綱比值下臨界雷諾數(shù)：從湍流狀態(tài)到層流狀態(tài)的轉(zhuǎn)折點；上臨界雷諾數(shù)：從層流狀態(tài)到湍流狀態(tài)的轉(zhuǎn)折點。圓管中層流和紊流運動的速度分布規(guī)律：層流：（1）定常流動的速度沿徑向的分布規(guī)律，由式（1）可以看出，流動截面上的速度分布是一拋物回轉(zhuǎn)面。湍流：光滑圓管中的速度分布：粗糙圓管中的速度分布與光滑圓管中的速度分布相同，只是改變方程的常數(shù)。流體的阻力可分為哪幾種？管路中的阻力通常分為哪幾種？[答]：粘性時產(chǎn)生阻力的根本原因，依據(jù)阻力產(chǎn)生的不同機(jī)理，可分為：摩擦阻力和壓差阻力。管路中的阻力通常分為：沿程阻力（即摩擦阻力）和局部阻力。試說明粘性流體流動的三個基本性質(zhì)。[答]：教材P170-174（1）粘性運動的有旋性粘性流體運動時，有旋是絕對的，粘性流體的無旋運動是不存在的。（2）運動過程中有能量的損耗性在粘性流動中永遠(yuǎn)伴隨著機(jī)械能的損耗。這部分能量轉(zhuǎn)換成熱能形式傳遞給流體介質(zhì)及相鄰的固壁，使其溫度升高而耗散。（3）粘性渦旋運動的擴(kuò)散性在粘性流體中，渦旋強(qiáng)的地方要向渦旋弱的地方傳送渦量，直至渦量相等為止。使流體渦量產(chǎn)生變化的因素有哪些？其中哪些是流體運動的內(nèi)在因素，哪些是外在因素？[答]：流體渦量產(chǎn)生變化的因素有：（1）質(zhì)量力無勢；（2）流體不正壓；（3）粘性剪切應(yīng)力；（4）流體微團(tuán)的體積變化；（5）流體渦線微元的變形（渦線的拉伸、壓縮、扭曲）。其中，流體運動的外在因素為：（1）質(zhì)量力無勢；（2）流體不正壓；（3）粘性剪切應(yīng)力。內(nèi)在因素為：（4）流體微團(tuán)的體積變化；（5）流體渦線微元的變形（渦線的拉伸、壓縮、扭曲）。試說明層流邊界層和湍流邊界層的速度分布特征。[答]：層流邊界層：層流邊界層內(nèi)的速度分布呈線性分布規(guī)律；湍流邊界層：分為層流底層和湍流核心區(qū)。層流底層內(nèi)的速度分布呈線性分布，湍流核心區(qū)速度分布呈對數(shù)分布規(guī)律。試述雷諾應(yīng)力的物理意義及其與分子粘性應(yīng)力的異同。[答]：教材P230雷諾應(yīng)力的物理意義：在湍流運動中，由脈動速度引起的應(yīng)力，稱之為雷諾應(yīng)力。雷諾應(yīng)力與分子粘性應(yīng)力的異同：相同：都是由于分子動量傳遞產(chǎn)生的應(yīng)力，都是剪切應(yīng)力。不同：（1）引起動量傳遞的原因不同（雷諾應(yīng)力：分子脈動；分子粘性應(yīng)力：分子熱運動）；（2）分子粘性應(yīng)力與粘性這一物質(zhì)固有屬性有關(guān)，而雷諾應(yīng)力取決于流體的流動特性，與流場性質(zhì)有關(guān)，與所處位置和時均速度有關(guān)。試述平板湍流邊界層的結(jié)構(gòu)及其速度分布特征。[答]：教材P241-242結(jié)構(gòu)：沿壁面法向，在板面附近有層流子層流區(qū)，其速度呈線性分布（），而后為很小的過渡區(qū)，接著為湍流核心區(qū)。結(jié)構(gòu)：層流子層流區(qū)過渡區(qū)湍流核心區(qū)；內(nèi)層：粘性底層過渡區(qū)湍流核心區(qū)；外層：粘性頂層及邊界層其余部分。速度分布特征：層流子層流區(qū)（）：，速度呈線性分布；過渡區(qū)：湍流核心區(qū)（）：，速度呈對數(shù)分布。推導(dǎo)及證明根據(jù)質(zhì)量守恒定律推導(dǎo)連續(xù)性方程。[證明]：教材P78-79根據(jù)物理學(xué)中的質(zhì)量守恒定律，由某封閉的物質(zhì)面所圍成的體積中的物質(zhì)在運動過程中不消滅也不創(chuàng)生，即使說，在運動過程中由物質(zhì)面所圍成的體積中的流體介質(zhì)的質(zhì)量保持不變，是守恒的。在體元素中，若流體介質(zhì)的密度為，那么其質(zhì)量就為，于是有限體積中的質(zhì)量為（1）根據(jù)質(zhì)量守恒定律的物理含義：體積中的質(zhì)量在其運動過程中保持不變，這意味著，質(zhì)量的隨體導(dǎo)數(shù)為零，即（2）由物質(zhì)體元素的隨體導(dǎo)數(shù)表達(dá)式知（3）于是由式（2）有（3）即（4）考慮到奧-高公式（）有（5）式（3）到式（5）都可稱之為積分形式的連續(xù)方程。由式（3）和式（4）的被積函數(shù)為零可直接得到微分形式的連續(xù)方程：（6）（7）根據(jù)動量定律推導(dǎo)出微分形式的運動方程。[證明]：教材P80-81封閉曲面S所圍成的體積中流體物質(zhì)體的動量為體積分：，其變化率就是體積分的隨體導(dǎo)數(shù)：，而該物質(zhì)體上所受外力為其上的質(zhì)量力：和面力：，由動量定理得：，因為由連續(xù)性方程知，，所以，又得到由奧-高公式所以，于是得到微分形式的動量方程根據(jù)能量守恒定律推導(dǎo)出微分形式的能量方程。[證明]：教材P83-85試推導(dǎo)出運動方程的Bernoulli積分和lagrange積分。[證明]：教材P108-109在不可壓縮流體中，若流線是和兩曲面的交線。試證明：，其中F是和所決定的函數(shù)。[證明]：設(shè)構(gòu)成曲線坐標(biāo)系，于是滿足：由題設(shè)：流線是兩曲面的交線，那么速度場的方向?qū)⑼瑫r垂直于的梯度方向。因此：于是速度場可以表示為：即要證明F不顯含f3:而又所以，也就是說F中不顯含f3。于是，有：。此題得證。證明不可壓縮理想流體作二維定常流動時，忽略質(zhì)量力，其流函數(shù)和渦旋滿足，若為常數(shù)，則壓力方程為常數(shù)。[證明]：由：理想、定常、忽略質(zhì)量力兩邊取旋度不可壓蝸旋場無源二維流動由：（1）由于，Ω為常數(shù)：代入（1），得：兩端積分，得：進(jìn)行圓管中流體摩擦試驗時，發(fā)現(xiàn)圓管中沿軸向的壓降是流速、密度、粘性系數(shù)、管長、管內(nèi)徑及管壁粗糙度的函數(shù)，而且與成正比。試用因次分析方法證明，其中為無因次系數(shù)。[證明]：由題意可假設(shè)存在關(guān)系（1）相應(yīng)各量的量綱（因次）為：式（1）對應(yīng)量綱的協(xié)調(diào)條件為：于是，對于M量綱，有：T量綱，有：L量綱，有：將：帶入（1）式，得：此題得證。試從運動方程：和本構(gòu)關(guān)系推導(dǎo)出：粘性不可壓縮流體的運動方程為：如果體力有勢即則有：[證明]：（1）將本構(gòu)關(guān)系帶入運動方程：考慮到不可壓縮流體上式為：（2）考慮到體力有勢：兩邊取旋度：旋度無源：，不可壓所以，由于所以，可得：證畢。證明對粘性不可壓縮流體定常運動，若外力有勢，則有：其中s為沿流線的弧元素，為渦量，為運動粘性系數(shù)，為流體速度，為壓力函數(shù)，為密度。[證明]：（1）在(1)兩邊同以流線切線方向的單位向量作左向內(nèi)積：（2）(1)兩邊同求散度：（3）（3）—（2），得:證明：不可壓縮流體的二維運動，外力有勢時流函數(shù)滿足：其中，二維運動[證明]：粘性不可壓縮流體渦旋運動方程：（見教材6.2-4式）二維運動考慮流函數(shù)旋度計算式兩邊取負(fù)號計算題在柱坐標(biāo)系下，，，，求流線族。[解]：柱坐標(biāo)系下的流線方程為：所以，即，，因此，有：即：所以，有：即，所以，流線族為：在直角坐標(biāo)系下，，，，求流線族和跡線族。[解]：直角坐標(biāo)系下，流線為：所以，即，亦即，所以，流線族為：求跡線族：所以，跡線族為：在球坐標(biāo)系下，，，，試證明：是流面。[解]：設(shè)有一定常流動為：求：速度梯度張量，變形速度張量，應(yīng)力張量，偏應(yīng)力張量以及作用在球面上的合力。（設(shè)流體介質(zhì)的動力粘性系數(shù)為，壓力函數(shù)為）[解]：速度梯度張量應(yīng)力張量偏應(yīng)力張量變形速度張量xθxθorzyφXXYO如圖，水平放置的兩塊平行無窮平板間有厚度為、，粘性系數(shù)分別為、的不相混的不可壓縮流體作平行于平板的定常的層流運動。試求：速度沿厚度方向的分布以及兩層流體在界面上的切應(yīng)力（設(shè)沿流動方向上的壓力梯度為常數(shù)，即）。[解]：定常、層流、水平流動控制方程：a層流動b層流動邊界條件：試分析復(fù)位勢的基本流動；[解]：當(dāng)m為正實數(shù)時，復(fù)位勢描述的流動由兩個強(qiáng)度均為m，位置分別在（-1，0）和（1，0）的點源及一個強(qiáng)度為m，位置在（0，0）的點匯組成。已知流體通過漏斗時旋轉(zhuǎn)的速度分布可用柱坐標(biāo)表示為：（a為漏斗半徑）求：渦量，說明在什么區(qū)域是有旋的，什么區(qū)域是無旋的？（是常數(shù)）[解]：計算渦量柱坐標(biāo)帶有自由面的粘性不可壓縮流體在傾斜平板上由于重力的作用而發(fā)生運動。設(shè)：平板無限，與水平面的傾角為α，流體的深度為h，作定常直線運動。求：速度分布、流量、平均流速、最大流速及作用在平板上的摩擦力。[解]：不可壓縮，定常一無限平板的上半空間充滿粘性不可壓縮流體，平板初始由靜止開始于某時刻起沿自身平行方向作周期性的振動，若運動規(guī)律為，運動中壓力不變。求：平板運動所引起流體的運動狀態(tài)。[解]：不考慮質(zhì)量力、壓力，并uy=0由邊界條件，速度分布具有：（0,h）（0,-h）ΓΓO（0,h）（0,-h）ΓΓOV∞[解]：點渦(0,h)和(0,-h)相互感生的速度場使得相應(yīng)點渦位置的速度為-V∞，確定Γ強(qiáng)度，再作疊加。線渦感生的速度場教材p165（5-5-15）（1）由題意：同理，線渦感生的速度場（2）分別將和帶入(1)、(2)式，得到位于(0,h)和(0,-h)兩點的渦線感生的速度場及無窮遠(yuǎn)來流的速度場：于是，總的速度場為：流線方程習(xí)題一場論和張量代數(shù)(習(xí)題一中黑體符號代表矢量)1．(一)用哈密頓符號法證明：因為為單位向量，1，故，于是.注意：將寫成是不正確的。右端表示矢量.直接寫盡管也能給出證明，但由第二步(反用混合積公式)到第三步卻是錯誤的，一定要引入輔助矢量才能進(jìn)行正確的推導(dǎo)。(二)張量表示法證明：2．(一)哈密頓符號法：；.于是(二)張量表示法：其中(進(jìn)行指標(biāo)互換)，證畢。3．(一)哈密頓符號法：注意到哈密頓算子對它右端所有的矢量都起作用，有根據(jù)矢量混合積的公式，上式右邊第一項上式右邊第二項兩項相加即證。(二)張量表示法：左端可用張量記號表示和整理同理，右端可用張量記號表示和整理====4．證明：根據(jù)張量運算規(guī)則，，定義為。，另外，顯然以上兩等式右端相等，得證。附：5．必要性：設(shè)是反對稱張量，則因此。充分性：由可知，對任意矢量，現(xiàn)在，令，代入上式得到；同理，令和，又可得到，。再分別令、、并利用已得到的又可推出，，。綜合這些結(jié)果就有，這說明是反對稱張量。習(xí)題二（流體運動描述）參考答案1．1）歐拉表述下的速度場。2）拉格拉朗日表述下，建立極坐標(biāo)系，初始時刻（）則3）流線為繞oz軸的同心圓，軌跡為繞oz軸的圓。4）歐拉變量下。2．1）加速度。2）積分得對x二次求導(dǎo)則3．不一定，，定常即，但不一定為0。4．對方程積分（t為常數(shù)），得即為流線。即為軌跡方程。加速度。拉格朗日下軌跡方程求導(dǎo)，再對方程求導(dǎo)得。5．解：流線，t為常數(shù)。積分得。又t=0時流線經(jīng)過（）。軌跡：。又過t=0時質(zhì)點經(jīng)過（）6．解：流線滿足，可見是直線。軌跡滿足可見是拋物線。7．解：流線：，軌跡：8．解：極坐標(biāo)下流線和軌跡為繞oz軸的圓。加速度：9．由坐標(biāo)變換反解之可以得到另一組表達(dá)式。10．由題得，速度的方向矢量為（1，），則速度兩分量為（，）11．，又流線經(jīng)過點（2，3），則。12．定常又由于變化均勻則，，所以起點處，終點處。13．極坐標(biāo)下，流線方程為，軌跡方程為柱坐標(biāo)下，流線方程為，軌跡方程為球坐標(biāo)下，流線方程為，軌跡方程為14．由題意，斜率為0.25。15．由題意則。習(xí)題三（質(zhì)量連續(xù)性方程）參考答案1．不可壓即，定常即所以，速度必沿等密度面方向，反之亦然。2．不可壓縮即則3．4．拉格朗日變量下，初始時刻選定流體微元的位置為,選定拉格朗日變數(shù)為，則連續(xù)方程：歐拉變量下，連續(xù)方程為：5．選取寬b(x)，水深為h(x,t).取長為的微團(tuán)為研究對象，有6．不可壓即，據(jù)上題結(jié)論可得7．選取長為的微元為研究對象，則8．選取一層薄球殼為研究對象，則單位時間內(nèi)流入的流體質(zhì)量等于因密度變化引起的質(zhì)量變化，則：。進(jìn)一步變形可得，即。若流體不可壓縮，，則，此式表示各同心球面上的流體質(zhì)量和體積通量相等。9．選取柱坐標(biāo)系，則由題意知，則。10．選取柱坐標(biāo)系，則由題意知，則又所以。11．選取柱坐標(biāo)系，則由題意知，則。12．不可壓縮流體平面運動速度大小為13．選取球坐標(biāo)系（），則則又，代入得14．選取球坐標(biāo)系則由題意知，于是。15．由連續(xù)方程又x=0時，。16．由題意，所以為可壓縮流動。當(dāng)為不可壓時，。習(xí)題四（速度分析有旋運動和無旋運動）參考答案1．膨脹速度為0，轉(zhuǎn)動角速度。2．因為運動無旋，所以只有變形張量。假設(shè)某流體質(zhì)點時刻相對于球心坐標(biāo)為（），t時刻其坐標(biāo)為（）,則，解線性方程組將其代入小球方程即得。3．勻變形運動，即變形張量是常矩陣，不隨空間位置變化，假設(shè)t時刻的某一物質(zhì)平面，以平面上某質(zhì)點M為參照點，考慮該質(zhì)點附近的流體質(zhì)點相對于它的運動。在固定于質(zhì)點M上的坐標(biāo)系中（M為原點），設(shè)某流體質(zhì)點時刻位于（），時刻其坐標(biāo)為（），則，解線性方程組將其代入平面方程即得。4．不妨以x-y坐標(biāo)面上的為例，則變形張量為，設(shè)初始時刻正方形對角線的端點坐標(biāo)為M（），則dt時間以后M點移動到，則正方形對角線的相對伸長速度為。5．選取柱坐標(biāo)系，設(shè)，則：則：自轉(zhuǎn)角速度為6．a(chǎn))，不可壓；，無旋；速度勢。b)，可壓；，無旋，速度勢。c)，不可壓；，無旋；速度勢。d)，可壓；，無旋；速度勢。7．，不可壓。，無旋。。8．a(chǎn))。b)。c)。9．a(chǎn))，則流線為。b)10．流體不可壓縮并且流動空間單連通，取體積微元，則11．假設(shè)速度勢可以取得極值，無論是極大值還是極小值點M，我們總可以在M周圍取到包圍M的體積微元是的在這個體積微元的表面上僅大于0或僅小于0，從而使得與上題中的結(jié)論相矛盾，故在內(nèi)點速度勢不可能取得極值習(xí)題五（量綱分析和相似理論）參考答案1．解：。先確定與、、的關(guān)系。設(shè)，將，，，代入上式，比較兩邊的基本量綱可得，解得。于是。。另解：按題意，共有5個物理量，由定理可知，上式可簡化為5－3＝2個無量綱量之間的函數(shù)關(guān)系。取為基本物理量，將、與這3個量組合成無量綱量。設(shè)由于，，，代入上式可得，解得，，.即，因此構(gòu)成一個無量綱量。顯然是另外一個無量綱量，于是.現(xiàn)在，本題前半部分條件與無關(guān)還沒有利用。為此，將體積流量關(guān)系改寫為，注意到由于管子無限長，不應(yīng)與有關(guān)?，F(xiàn)在已知與無關(guān)，則必有(常數(shù))，故2．解：按題意，，且與大氣壓無關(guān)（如設(shè)，則將不在問題中出現(xiàn)；只影響靜壓分布）。設(shè)，其中是重力加速度。取為基本量，由定理，無量綱流量是5－3＝2個無量綱量的函數(shù)。列出；；；；。不難知道的無量綱量是；的無量綱量是，因此其中；。上式也可改寫為下列形式(*)其中，分別是雷諾數(shù)、弗勞德數(shù)。由于，由(*)得(**)當(dāng)然，已知時，(**)也可以通過設(shè)用量綱分析法得到.具體過程此處從略.或：選為基本物理量，可以得到3．解：從Stokes方程組和邊界條件可知，繞流物體的速度場只與物體形狀、和有關(guān)，由此可知阻力。由量綱分析，總物理量個數(shù)，量綱獨立物理量(基本物理量)個數(shù)。其中為基本物理量，易知無量綱阻力為，故，其中是只與物體形狀有關(guān)的常數(shù)。因此，在很低的雷諾數(shù)下，物體所受阻力與其特征尺寸的1次方成正比。4．研究摩阻時，相似準(zhǔn)則為數(shù)：故參見吳望一：定常繞流數(shù)消失，不計重力數(shù)消失，潛艇在水下，不考慮自由表面，數(shù)消失，只剩下數(shù)。5．重力波，要求相等，故模型內(nèi)波速為模型內(nèi)波浪尺寸：考慮重力起作用的表面波（重力波）：特征量周期T，；波高H，；波速c，及無量綱化方程：Strouhal數(shù)：自然滿足；Froude數(shù)：。習(xí)題六（理想流體動力學(xué)方程組和邊界條件）參考答案邊界面上任一點運動速度滿足：，故邊界面上任一點運動的法向速度為：橢圓柱方程為+=1建立固壁上所對應(yīng)的邊界條件：流體在固壁上滿足的分離條件，i.e.或者為固壁表面方程為故有——柱面上流點所必須滿足的邊界條件.水下爆炸問題解法一：可利用Bernoulli方程求解。速度沿徑向，且只是r和t的函數(shù)，故為無旋流動，有：（略重力） （6-4-1）如果半徑為R的球形空腔（R=R（t））包含壓力為的氣體并且在周圍無界液體中開始迅速膨脹。這樣可以相當(dāng)精確的模擬水下爆炸效應(yīng)。根據(jù)質(zhì)量連續(xù)方程有： （6-4-2） （6-4-3）（6-4-2）和（6-4-3）代入（6-4-1）得：時，（略大氣壓）。當(dāng)r較大時，略項可得：解法二，可直接用Lagrangian方程將帶入得：解法一：用Lagrangian方程。開啟瞬間，管中流體速度為零，但加速度不為零（很大），有：i.e.取任意點3，高度為Z，在1和3之間重復(fù)上面計算得證。同理，在點4和2之間有：。解法二：用動量方程。對豎直段，設(shè)接頭處壓強(qiáng)為，管截面積取1個單位，在豎直方向有，（代表圖中管豎直段內(nèi)虛線邊界包圍的控制體），i.e.。同理，對水平段在水平方向有。兩式相加得：。位置3處的流體質(zhì)點滿足：位置4處的流體質(zhì)點滿足：解法三：用微分形式動量方程。任意時刻設(shè)兩邊水柱長。豎直段：；水平段：。x=0，z=0時，開啟瞬間：7．，，。流體質(zhì)點作圓周運動，向心加速度為。動量方程為：，i.e.，則有i.e.8．設(shè)t時刻液柱在處，坐標(biāo)為，液柱內(nèi)任意質(zhì)點坐標(biāo)為x，設(shè)截面積為一個單位。另取固定在液柱上的坐標(biāo)系，在此坐標(biāo)系下液柱內(nèi)任意質(zhì)點坐標(biāo)為，設(shè)F=-kx，。液柱此刻受到的合力為：XO。XO

考慮液柱內(nèi)處流體微元，由動量方程得：，其中是的函數(shù)，與無關(guān)。積分得：在處，，帶入上式得：。解法二：亦可在靜系下求p。對微元x~x+dx，有積分得：為利用邊界條件改寫上式：。9．用LagrangianEq.求解。流線長。在1與2之間建立LagrangianEq..：11．合外力=0。設(shè)X、Y為單位質(zhì)量流點受力，設(shè)z方向長為一個單位。合外力矩*附積分公式：（a<0）(a<0)動量方程：，i.e.：12．t時刻空穴半徑R（t）表面收縮速度。由質(zhì)量連續(xù)性條件知：在之間建立BernoulliEq.：,i.e.作代換，積分得：由t=0時，，得。14.考慮t時刻在x處的流點，i.e.，i.e.15．解：取一柱形微元體為歐拉控制體，其體積為。A點處速度為，密度為，質(zhì)量力為，表面力為、、.先計算系統(tǒng)的動量變化率。由于流動是定常的平面輻射流動，系統(tǒng)的動量變化率完全由流經(jīng)徑向控制面和與之相對的面元的動量遷移而產(chǎn)生。在面上，單位時間流入的動量是VVROD'C'B'A'DCBA在面元上，單位時間流出的動量是于是單位時間內(nèi)由控制體凈流出的動量，即系統(tǒng)總動量的變化率為方向總動量的變化率為(6-15-1)作用于微元控制體上的質(zhì)量力在方向的分量為(6-15-2)作用于微元控制體六個面元上的應(yīng)力分別計算如下：作用在面元上的面力為作用在與之相對的面元上的面力為因此作用在和面元上的面力合力為這里利用了關(guān)系.同理，作用在和上的面力合力為作用在和上的面力合力為于是作用在全部控制面上的表面力合力為面力合力在方向上的分量為(6-15-3)式亦可這樣得到：直接計算作用在微元體各個面上的表面力的方向分量之和。參照右下圖，除了之外，作用在方向的兩個相對面和上的分應(yīng)力和的合應(yīng)力也產(chǎn)生方向的合力，用幾何方法不難算出此合力為(計算時忽略了高階小量)，因此作用在微元上方向的總面力為(6-15-3).根據(jù)動量定理和(1)、(2)、(3)式就得到平面輻射流動方向的運動方程(6-15-4)注意到單位時間內(nèi)流入、流出面元和的流體質(zhì)量應(yīng)相等(定常流動)，可得因此(6-15-4這樣方向的運動方程的最終應(yīng)力形式為16．解：取直角坐標(biāo)系下固定不動的平行六面體作為小微元體，其六個面分別與、、軸垂直。微元控制體上能量守恒定律的形式為單位時間小微元內(nèi)流體內(nèi)能和動能的增加單位時間穿過小微元表面的凈內(nèi)能和動能作用在小微元上的體力功率作用在小微元上的面力功率穿過小微元表面的熱流IIIIIIIVV上式已考慮到了流場內(nèi)無其它熱源的條件。現(xiàn)在逐項分析:因為流動定常，I=0；根據(jù)題意，流體只有方向的速度，并且，，因此單位時間內(nèi)流入小微元的流體所攜帶的動能和內(nèi)能剛好等于流出小微元的流體所攜帶的動能和內(nèi)能，因此；(不論對于動能或是內(nèi)能，隨體導(dǎo)數(shù))作用在微元上的體力只有重力，于是；面力的功率為作用在小微元各個面上的應(yīng)力的功率之和:利用不可壓縮條件和速度場表達(dá)式，本構(gòu)關(guān)系成為代入上式，可將IV化簡為由傅立葉熱傳導(dǎo)定律，從I、II、III、IV和V各項中消去，由能量守恒關(guān)系框圖可得能量方程為。注意到如果列出方向的動量方程，可得即，這樣能量方程的最簡形式為17． u(y,t)OD'C'B'A'DCBBAUyzxu(y,t)OD'C'B'A'DCBBAUyzx解：(1)令直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)平面在平板上，軸方向沿平板的滑動方向(即的方向)，軸垂直于平板(如圖所示)(2)由于流體不可壓縮，應(yīng)力張量為.根據(jù)假設(shè)，流動速度場為，變形速度張量為，所以應(yīng)力張量為.(3)取如圖所示固定不動的微平行六面體，其六個面分別與、、軸垂直。由于流場只有方向的速度分量，我們只考慮方向的運動方程.設(shè)流體密度為，點處的速度為。對于小微元系統(tǒng)，由于不計質(zhì)量力，方向的動量平衡關(guān)系為微元系統(tǒng)微元系統(tǒng)方向動量變化率=微元系統(tǒng)所受方向的面力合力面力合力動量變化率包含兩部分，一部分為控制體內(nèi)的動量變化率，另一部分為經(jīng)控制體的表面流入、流出的動量造成的動量變化率。在本題中，只有控制體的面元和有流體流入和流出，并且單位時間內(nèi)流入和流出的凈質(zhì)量為，根據(jù)質(zhì)量守恒，，由于是均質(zhì)流體，可得。由此可知單位時間內(nèi)經(jīng)控制面流入流出小微元控制體的動量相等，因而流入流出的凈動量變化率為0(即)，這樣微元系統(tǒng)總的動量變化率為控制體內(nèi)的動量變化率，方向的動量變化率為(為常數(shù)).微元系統(tǒng)所受方向的面力可分和、和以及和三對面元來計算.各對的方向面力凈合力分別為,,，方向總面力合力為.根據(jù)(2)中得到的結(jié)果，；；，合力可化為(利用壓強(qiáng)均勻和處處為常數(shù)的條件)。將上面得到的微元控制體方向動量變化率和面力合力代入動量平衡關(guān)系就得到方向的流體運動方程為定解條件：初始條件：b.邊界條件：，，.其中習(xí)題七（理想流體動力學(xué)方程的積分）參考答案定常流動，由連續(xù)性方程有：=，因為，所以 ,即，. （7-1-1）又由BernoulliEq.對X微分得：,于是得：，代入（7-1-1）式得：再由BernoulliEq.知結(jié)論。2．在出口處內(nèi)、外建立BernoulliEq.，出口內(nèi)流體速度遠(yuǎn)小于出口外，可近似認(rèn)為是0，于是有：。注意到：，即可得到結(jié)論。3．設(shè)渠寬D，，有，微分BernoulliEq.：，可得，聯(lián)立后有結(jié)論。4．取流管上的一微元段，此段總可以看成直管，軸向沿方向，截面。此段內(nèi)流體動能：，其中，，其中（流量）。。syh（1）.（syh（1）.（2）.（1）.。其中，（代表大氣壓），（水箱截面很大），，由上式可得，。當(dāng)?shù)扔诖藭r的流體溫度對應(yīng)的飽和蒸汽壓時，s處將產(chǎn)生氣穴，導(dǎo)致虹吸管吸不出水，故此時y滿足：。6．本題不考慮重力。取一柱面包圍該物體，柱面上任一點距物體都足夠遠(yuǎn)，以至柱面上的流動仍是原來的均勻流動，即物體對柱面處流場的擾動可略。使柱體的兩底面垂直于流速方向，對于以該柱面和物體表面為邊界的控制體，應(yīng)用積分形式的動量定理。由于流動定常，控制體內(nèi)動量不變，控制體外表面動量通量總和為零（柱面兩底面上動量通量相抵消）控制體內(nèi)表面沒有流體通過，于是控制體所對應(yīng)的系統(tǒng)所受合外力為零，即系統(tǒng)不受阻力。CABOYX7．時刻，CABOYX開關(guān)開啟以后（），若假設(shè)水柱總長度，水平管很長，在所研究的時間段內(nèi)水柱始終在管內(nèi)，設(shè)時刻斜管內(nèi)水柱長，流體柱加速度大小為，故對整個水柱有：?？紤]到定解條件：并設(shè)時流體全部流出斜管，即，解得：。再利用流速和可解得。取如圖沿斜管和沿水平管的坐標(biāo)系，在斜管內(nèi)任一點和斜管內(nèi)水柱上端之間建立LagrangianEq.：。在水平管內(nèi)任一點和水平管內(nèi)水柱末端之間建立LagrangianEq.：。當(dāng)時，水平管內(nèi)壓強(qiáng)為。8．設(shè)盆中水面高度為H，則小孔出流速度為，欲使盆中水面高度保持不變，應(yīng)有：，由此可得H。9．解法一：用能量方程。氣體初始壓強(qiáng)和體積分別為：（代表水的密度，Ｓ為截面積）。等溫壓縮：。設(shè)水理想、不可壓縮。氣體經(jīng)歷等溫壓縮過程，內(nèi)能不變。設(shè)水溫亦不變，水無內(nèi)能變化，故有能量方程：，其中和分別為水的總動能和總勢能。由上式得：的形式：重心位置，。利用初始條件，CxO1CxO1.4.2.3.Z水上升達(dá)到最大高度時，滿足的方程：。解法二：利用LagrangianEq.。設(shè)連通細(xì)管長，截面積，在間建立LagrangianEq.：i.e.,帶入上式，積分得：ｔ=0時，,V=0，再令V=0。習(xí)題八（理想流體平面無旋運動）參考答案1．a(chǎn))b)2．解：3．證明：4．證明：5．偶的復(fù)勢為，取直線方向為x軸，則其相對于x軸的像為。6．像到圓中心的距離為，令則像的復(fù)勢為，其中可見偶的像的強(qiáng)度與其自身強(qiáng)度之比為。7．將復(fù)勢函數(shù)改寫為可知此流動由三個基本流動：位于處的強(qiáng)度均為的兩個點源(或匯)和位于處強(qiáng)度為的一個點匯(或源)組成。流函數(shù)為故流線為即;速度勢為單位時間通過和兩點連線的流體體積即為體積流量8．復(fù)勢為求流線方程，將復(fù)勢分解成實部和虛部之和，其中，則流線方程為=const。當(dāng)z=1時。9．a(chǎn))以平面邊界為x軸，經(jīng)過點源的x軸的垂線為y軸，設(shè)點源坐標(biāo)為（0，b），則共軛復(fù)速度在邊界上速度大小為時有。b)由伯努力定理c)。11．設(shè)一圓柱半徑為，在距圓柱中心為處放置強(qiáng)度為的偶極子，取通過圓柱中心和偶極子連線的直線為軸。由圓定理，流場復(fù)位勢為由恰普雷金公式(勃拉休斯(Blasius)公式)，圓柱所受的合力為由留數(shù)定理，代入合力公式，12．。13．14．其中15．圓流線。軸：（除原點外），；軸：（除原點外），其中。16．根據(jù)圓定理，圓內(nèi)的偏心渦可以看成圓外的某個點渦載圓邊界內(nèi)的像之一，該點渦的另一個像在圓心。此點渦與其像——偏心渦形成的流動滿足圓邊界是流線的條件，其復(fù)勢等于從圓外之渦與其兩個像點形成的流動中減去位于圓心的點渦形成的流動的復(fù)勢：流線仍通過取復(fù)勢的虛部獲得。17．解：該問題流體速度場的邊界條件是：時，；。由于是雙連通域，還應(yīng)提速度環(huán)量或流量條件。利用，的已知關(guān)系和，可得瞬時該問題的三種提法如下：(a)速度勢提法:(b)流函數(shù)提法：注意到流函數(shù)的環(huán)量是由邊界上的法向速度決定的.(c)復(fù)位勢提法：求上的解析函數(shù)，使得其中(a),(b)中的拉普拉斯算子18．解：取參照系為靜止坐標(biāo)系，且在某一取定的時刻坐標(biāo)原點在圓柱的中心。流動勢函數(shù)滿足注意到此時流動速度場相當(dāng)于固定在圓柱上的運動坐標(biāo)系中無窮遠(yuǎn)處來流為的圓柱無環(huán)量繞流在靜止坐標(biāo)系下的變換形式，于是可直接寫出上面方程的解為于是速度；流體動能表達(dá)式為或：由吳書(7.2.9)，流體動能求出流體動能表達(dá)式后，設(shè)圓柱受到的阻力為，則圓柱對流體的作用力為(均指沿軸方向的外力)。由能量關(guān)系因此或：由吳書(7.25.16)直接得到圓柱受到的阻力為圓柱方向運動微分方程為其中是單位長度圓柱的質(zhì)量，是圓柱所受的方向的外力。若圓柱繞自己的軸轉(zhuǎn)動，由于旋轉(zhuǎn)不影響勢流問題的邊界條件，因此流場相當(dāng)于靜止圓柱的繞流問題，這時它所受的慣性阻力為0。19．解：若取固定在球殼上的坐標(biāo)系，則殼內(nèi)理想流體的運動為慣性力(有勢)作用下從靜止?fàn)顟B(tài)開始的運動問題，因此是無旋流動?，F(xiàn)恒取慣性參照系(此慣性系中球殼速度為U=U0sin5t)，并且在時刻取坐標(biāo)原點與球殼中心重合，極軸與方向重合的球坐標(biāo)系。由于流動關(guān)于極軸對稱，可設(shè)速度勢函數(shù)為。列出方程和邊界條件：用分離變量法求解。設(shè)，由邊界條件可知，代入方程得。這是歐拉方程，解是。由邊界條件可知，因此勢函數(shù)。速度場是顯然，速率在球內(nèi)處處為，因此流體動能為注意到速度分布與動能都與球殼的旋轉(zhuǎn)無關(guān)。由能量關(guān)系，維持球殼平動所