材料力學(xué)第6章彎曲應(yīng)力

第6章彎曲應(yīng)力第6章彎曲應(yīng)力

6.1純彎曲與橫力彎曲

前一章的研究說(shuō)明，一般情況下，梁的橫截面上既有彎矩又有剪力。彎矩M是垂直于橫截面的內(nèi)力系的合力偶矩，剪力Q是切于橫截面的內(nèi)力系的合力。也就是說(shuō)，橫截面上只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素dFN=σdA才能合成為彎矩，而與剪應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素dFS=dA才能合成為剪力。所以，在梁的橫截面上，一般是既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力。彎矩只與橫截面上的正應(yīng)力有關(guān)，剪力只與剪應(yīng)力有關(guān)。

如圖6.1(a)所示的簡(jiǎn)支梁中，外力對(duì)稱(chēng)地作用在梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)，其計(jì)算簡(jiǎn)圖、剪力圖和彎矩圖分別如圖6.1(b)、(c)和(d)所示?？梢钥闯?，在CD段內(nèi)，梁橫截面上剪力等于零，而彎矩為常量，因而只有正應(yīng)力而沒(méi)有剪應(yīng)力，這種彎曲稱(chēng)為純彎曲。圖5.2中火車(chē)輪軸兩個(gè)車(chē)輪之間的一段梁就是發(fā)生的純彎曲。在AC和BD兩段內(nèi)，梁橫截面上既有彎矩又有剪力，因而既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力，這種彎曲稱(chēng)為橫力彎曲或剪切彎曲。

圖6.1

本章主要討論等直梁在平面彎曲時(shí)彎曲正應(yīng)力和彎曲剪應(yīng)力的計(jì)算公式及相應(yīng)的強(qiáng)度計(jì)算。

6.2彎曲正應(yīng)力

純彎曲是彎曲中最根本的情況。下面首先研究純彎曲時(shí)的正應(yīng)力，再將它推廣到橫力彎曲時(shí)正應(yīng)力的計(jì)算。

純彎曲試驗(yàn)

純彎曲試驗(yàn)容易在材料試驗(yàn)機(jī)上實(shí)現(xiàn)。為了便于觀察桿件的變形，在變形前的桿件外表作縱向線aa和bb，并作與它們垂直的橫向線mm和nn(見(jiàn)圖6.2(a))，然后在桿件的縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)施加大小相等、方向相反的力偶(見(jiàn)圖6.2(b))，使其發(fā)生純彎曲變形?？梢杂^察到：變形后縱向線aa和bb變成了弧線(見(jiàn)圖6.2(b))；橫向線mm和nn仍然保持直線，它們相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度Δθ后，仍垂直于弧線aa和bb；梁發(fā)生如圖6.2(b)所示的凸向下的彎曲變形后，靠近梁頂面的縱向線縮短了，靠近梁底面的縱向線伸長(zhǎng)了。

圖6.2

根據(jù)這些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，可以對(duì)純彎曲變形作如下假設(shè)：(1)平面假設(shè)

平面假設(shè)即變形前為平面的梁的橫截面，變形后仍保持為平面，且仍然垂直于變形后的梁軸線。

(2)單向受力假設(shè)

單向受力假設(shè)即縱向纖維之間無(wú)相互擠壓，只受到軸向拉伸或壓縮。設(shè)想梁由眾多平行于軸線的縱向纖維所組成。發(fā)生如圖6.3所示凸向下的彎曲變形后，必然引起靠近梁底面的縱向纖維伸長(zhǎng)，靠近梁頂面的縱向纖維縮短。由于橫截面仍保持為平面，所以沿截面高度，應(yīng)由靠近梁底面的縱向纖維的伸長(zhǎng)連續(xù)地、逐漸地演變?yōu)榭拷喉斆娴目v向纖維的縮短，由此斷定中間必定有一層纖維的長(zhǎng)度保持不變，這一層稱(chēng)為中性層。中性層與橫截面的交線稱(chēng)為中性軸，如圖6.3所示。顯然，位于中性層上、下兩側(cè)的縱向纖維的軸向變形是相反的，一側(cè)表現(xiàn)為伸長(zhǎng)，另一側(cè)必然表現(xiàn)為縮短。

圖6.3

依據(jù)上述分析，彎曲變形可描述為橫截面繞各自中性軸的輕微轉(zhuǎn)動(dòng)。由于梁上的載荷都作用于梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)，所以梁的整體變形應(yīng)對(duì)稱(chēng)于縱向?qū)ΨQ(chēng)面，這就要求中性軸與縱向?qū)ΨQ(chēng)面垂直。

純彎曲正應(yīng)力

純彎曲時(shí)橫截面上只有正應(yīng)力，全部正應(yīng)力的合力應(yīng)該等于該橫截面上的彎矩。由于純彎曲時(shí)梁橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律未知，因此，不能直接由彎矩M來(lái)確定正應(yīng)力σ。和推導(dǎo)圓軸扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力計(jì)算公式相似，需要從研究構(gòu)件的變形入手，綜合考慮變形幾何關(guān)系、物理關(guān)系以及靜力平衡關(guān)系，才能得到純彎曲時(shí)的正應(yīng)力。

(1)變形幾何關(guān)系

彎曲變形前和變形后的梁段分別表示于圖6.4(a)和(b)。以梁橫截面的對(duì)稱(chēng)軸為y軸且向下為正(見(jiàn)圖6.4(c))。以中性軸為z軸，但中性軸的位置尚待確定。在中性軸尚未確定之前，x軸只能暫時(shí)認(rèn)為是通過(guò)原點(diǎn)的橫截面的法線。根據(jù)彎曲平面假設(shè)，變形前相距為dx的兩個(gè)橫截面，變形后各自繞中性軸相對(duì)旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度dθ，且仍然保持為平面。這就使得距中性層為y的縱向纖維bb的長(zhǎng)度變?yōu)?/p>

這里ρ為中性層的曲率半徑?？v向纖維bb的原長(zhǎng)度為dx，且bb=dx=OO。由于變形前、后中性層內(nèi)縱向纖維OO的長(zhǎng)度不變，所以

根據(jù)應(yīng)變的定義，可以求得縱向纖維bb的應(yīng)變?yōu)?/p>

可見(jiàn)，縱向纖維的應(yīng)變與它到中性層的距離成正比，沿截面高度呈線性分布。

圖6.4

(2)物理關(guān)系

根據(jù)單向受力假設(shè)，每一根縱向纖維都是單向拉伸或壓縮，縱向纖維之間無(wú)相互擠壓。當(dāng)應(yīng)力小于材料比例極限時(shí)，由胡克定律知

將式(a)代入上式，得

這說(shuō)明，橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離y成正比。也就是正應(yīng)力沿截面高度線性分布，沿截面寬度均勻分布，中性軸上正應(yīng)力為零，如圖6.4(d)所示。

(3)靜力平衡關(guān)系

由式(b)還不能確定純彎曲時(shí)正應(yīng)力的大小，因?yàn)橹行暂Sz的位置和曲率半徑ρ的大小尚未確定，須結(jié)合靜力平衡關(guān)系才能推導(dǎo)出正應(yīng)力計(jì)算公式。

橫截面上的微內(nèi)力σdA組成垂直于橫截面的空間平行力系(見(jiàn)圖6.4(c)中只畫(huà)出了該力系中的一個(gè)微內(nèi)力σdA)，這一力系只可能簡(jiǎn)化成３個(gè)內(nèi)力分量，即平行于x軸的軸力N，對(duì)y軸和z軸的力偶矩My和Mz。它們分別是

橫截面上的內(nèi)力應(yīng)與截面左側(cè)的外力平衡。在純彎曲的情況下，截面左側(cè)的外力只有對(duì)z軸的力偶Me(見(jiàn)圖6.4(c)和(d))。由于內(nèi)、外力必須滿足平衡方程

所以，

即

這樣，橫截面上內(nèi)力系最終只簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶矩Mz，它也就是彎矩M，即

根據(jù)平衡方程，彎矩M與外力偶矩Me大小相等，方向相反。

將式(b)代入式(c)，得

其中E/ρ是不等于零的常量，所以有∫AydA=Sz=0，即橫截面對(duì)z軸的靜矩必須等于零，亦即z軸(中性軸)通過(guò)截面形心。這就完全確定了z軸和x軸的位置。中性軸通過(guò)截面形心又包含在中性層內(nèi)，所以梁橫截面的形心連線(軸線)也在中性層內(nèi)，其長(zhǎng)度不變。

將式(b)代入式(d)，得

式中積分

是橫截面對(duì)y軸和z軸的慣性積。由于y軸是橫截面的對(duì)稱(chēng)軸，必然有Iyz=0(見(jiàn)附錄)。所以式(g)是自然滿足的。

將式(b)代入式(e)，得

式中積分∫Ay2dA=Iz是橫截面對(duì)z軸(中性軸)的慣性矩。于是式(h)改寫(xiě)為

式中

——梁軸線變形后的曲率。

式(6.1)說(shuō)明，EIz越大，那么曲率越小，故EIz稱(chēng)為梁的抗彎剛度。從式(6.1)和式(b)中消去，得

這就是純彎曲時(shí)正應(yīng)力的計(jì)算公式。可見(jiàn)，在中性軸上，彎曲正應(yīng)力等于零。對(duì)于圖6.4中所建立的坐標(biāo)系，在彎矩M為正的情況下，y為正時(shí)σ為拉應(yīng)力，y為負(fù)時(shí)σ為壓應(yīng)力。除此之外，一點(diǎn)的應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力也可由彎曲變形直接判定。以中性層為界，梁凸出的一側(cè)受拉，凹入的一側(cè)受壓。

導(dǎo)出公式(6.1)和公式(6.2)時(shí)，為了方便，把梁橫截面畫(huà)成矩形。但是在推導(dǎo)過(guò)程中，并沒(méi)有使用過(guò)矩形截面的幾何特性。因此，只要梁有一縱向?qū)ΨQ(chēng)面，且載荷作用在這個(gè)平面內(nèi)，公式就是適用的。

橫力彎曲正應(yīng)力

公式(6.2)是在純彎曲情況下導(dǎo)出的。但工程中更常見(jiàn)的彎曲是橫力彎曲，這時(shí)梁橫截面上不僅有正應(yīng)力還有剪應(yīng)力。剪應(yīng)力的存在使得橫截面變形后不再保持為平面而發(fā)生翹曲，同時(shí)，橫力彎曲時(shí)縱向截面上還有橫向力引起的擠壓應(yīng)力。因此，純彎曲時(shí)采用的平面假設(shè)和單向受力假設(shè)對(duì)于橫力彎曲不再適用。但進(jìn)一步的分析說(shuō)明，對(duì)于跨度與截面高度之比大于5的細(xì)長(zhǎng)梁，應(yīng)用公式(6.2)計(jì)算橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力并不會(huì)引起很大的誤差，且能夠滿足工程問(wèn)題所需要的精度。因此，將公式(6.2)推廣為

此即橫力彎曲時(shí)正應(yīng)力的計(jì)算公式。

最大彎曲正應(yīng)力

公式(6.2)和公式(6.3)均說(shuō)明，彎曲正應(yīng)力不僅與M有關(guān)，而且與y/Iz有關(guān)，亦即與截面的形狀和尺寸有關(guān)。所以，對(duì)于等截面梁，假設(shè)橫截面對(duì)稱(chēng)于中性軸(如矩形、圓形、圓環(huán)形和工字形等截面)，那么橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力相等，梁內(nèi)最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩?cái)?shù)值最大的截面且距中性軸最遠(yuǎn)的邊緣處，即

而對(duì)于變截面梁，雖然是等截面梁但中性軸不是橫截面對(duì)稱(chēng)軸的梁，在計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力時(shí)不能只注意彎矩?cái)?shù)值最大的截面，應(yīng)綜合考慮My/Iz的值(參看例6.5和例6.8)。

引用記號(hào)

那么公式(6.4)改寫(xiě)為

式中W——抗彎截面系數(shù)。

抗彎截面系數(shù)綜合反映了截面的形狀、尺寸對(duì)彎曲強(qiáng)度的影響，其量綱為長(zhǎng)度的３次方。

表6.1給出了幾種常用截面對(duì)中性軸z的慣性矩Iz及抗彎截面系數(shù)W。至于其他各類(lèi)型鋼的Iz，W，那么可從型鋼規(guī)格表中查到。表6.1幾種常用截面對(duì)中性軸z的慣性矩Iz及抗彎截面系數(shù)W

續(xù)表

假設(shè)中性軸不是橫截面的對(duì)稱(chēng)軸，例如，T形截面(見(jiàn)圖6.5)，那么橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力不相等。引用記號(hào)y1和y2分別表示截面的下邊緣、上邊緣到中性軸的距離，且W1=Iz/y1，W2=Iz/y2，那么當(dāng)彎矩為正值時(shí)，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別為

圖6.5

例6.1如圖6.6所示，矩形截面懸臂梁受集中力和集中力偶作用。試求Ⅰ—Ⅰ截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D４點(diǎn)處的正應(yīng)力。

圖6.6

解矩形截面對(duì)中性軸的慣性矩為

對(duì)于Ⅰ—Ⅰ截面，彎矩MⅠ=20kN·m，根據(jù)式(6.2)，各點(diǎn)正應(yīng)力分別為

其中，A點(diǎn)處為最大壓應(yīng)力，D點(diǎn)處為最大拉應(yīng)力，B點(diǎn)處為拉應(yīng)力。

對(duì)于Ⅱ—Ⅱ截面，彎矩MⅡ=20-15×3=-25kN·m，所以

其中，A點(diǎn)處為最大拉應(yīng)力，D點(diǎn)處為最大壓應(yīng)力，B點(diǎn)處為壓應(yīng)力。

例6.2如圖6.7(a)所示簡(jiǎn)支梁，由56a號(hào)工字鋼制成，其截面簡(jiǎn)化后的尺寸如圖6.7(b)所示。集中力F=150kN。試求梁危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力和同一截面上翼緣與腹板交界處a點(diǎn)(見(jiàn)圖6.7(b))的正應(yīng)力。

圖6.7

解(1)求支座反力

由梁的平衡方程可求得支座反力

FA=BB=75kN

(2)繪制內(nèi)力圖，判定危險(xiǎn)截面

所繪制的梁的彎矩圖如圖6.7(c)所示?？梢?jiàn)，截面C為危險(xiǎn)截面，相應(yīng)的最大彎矩值為Mmax=375kN·m。

(3)應(yīng)力計(jì)算

查型鋼表可得，56a號(hào)工字鋼截面的抗彎截面系數(shù)W=2342cm3，且Iz=65586cm4。所以，依據(jù)式(6.5)，危險(xiǎn)截面的最大正應(yīng)力為

根據(jù)式(6.2)，危險(xiǎn)截面上a點(diǎn)的正應(yīng)力為

注意直梁橫截面上的正應(yīng)力在與中性軸垂直的方向是按直線規(guī)律變化的，因此，當(dāng)已經(jīng)求得橫截面上的最大正應(yīng)力σmax時(shí)，同一橫截面上的正應(yīng)力σa也可按比例求得，即

在以上的計(jì)算中沒(méi)有考慮鋼梁的自重，因?yàn)橛勺灾匾鸬恼龖?yīng)力與由外加載荷所引起的正應(yīng)力相比極小。所以在一般情況下，梁的自重可以忽略不計(jì)。6.3彎曲剪應(yīng)力

橫力彎曲的梁橫截面上既有彎矩又有剪力，因此，橫截面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力。彎曲剪應(yīng)力分布較復(fù)雜，截面形狀不同，分布規(guī)律也不相同。下面討論幾種常用的對(duì)稱(chēng)截面梁橫截面上的彎曲剪應(yīng)力。

矩形截面梁

如圖6.8(a)所示矩形截面梁的任意截面上，剪力Q皆與截面的對(duì)稱(chēng)軸y重合(見(jiàn)圖6.8(a))。關(guān)于橫截面上剪應(yīng)力的分布規(guī)律，作以下兩個(gè)假設(shè)：①橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力的方向都平行于剪力Q；②剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。在截面高度h大于寬度b的情況下，以上述假設(shè)為根底得到的解，與精確解相比有足夠的準(zhǔn)確度。按照這兩個(gè)假設(shè)，在距中性軸為y的橫線pq上，各點(diǎn)的剪應(yīng)力都相等，且都平行于Q。再由剪應(yīng)力互等定理可知，在沿pq切出的平行于中性層的pr平面上，也必然有與相等的′，而且′沿截面寬度也是均勻分布的(見(jiàn)圖6.8(d))。

圖6.8

如以橫截面m—m和n—n從如圖6.8(a)所示梁中取出長(zhǎng)為dx的微段，設(shè)作用于微段左右截面的剪力為Q，彎矩分別為M和M+dM(見(jiàn)圖6.8(b))，再以平行于中性層且距中性層為y的pr平面從這一段梁中截出一局部prmn，那么在這一截出局部的左側(cè)面rm上，作用著因彎矩M引起的正應(yīng)力，而在右側(cè)面pn上，作用著因彎矩M+dM引起的正應(yīng)力。在頂面pr上，作用著剪應(yīng)力′。以上３種應(yīng)力(即兩側(cè)面正應(yīng)力和頂面剪應(yīng)力)都平行于x軸(見(jiàn)圖6.8(c))。在右側(cè)面pn上，由微內(nèi)力σdA組成的內(nèi)力系的合力是

式中——側(cè)面pn的面積。

正應(yīng)力σ應(yīng)按公式(6.3)計(jì)算，于是

式中

是橫截面的局部面積對(duì)中性軸的靜矩，也就是距中性軸為y的橫線pq以下的面積對(duì)中性軸的靜矩。同理，可以求得左側(cè)面rm上的內(nèi)力系合力N1為

在頂面pr上，與頂面相切的內(nèi)力系的合力是

N2，N1和dQ′的方向都平行于x軸，應(yīng)滿足平衡方程

，即

將N2，N1和dQ′的表達(dá)式代入上式，得

簡(jiǎn)化后得出

根據(jù)公式(6.2)，

，于是上式改寫(xiě)為

其中′雖是距中性層為y的pr平面上的剪應(yīng)力，但由剪應(yīng)力互等定理可知，它等于橫截面的橫線pq上的剪應(yīng)力，即

式中Q——橫截面的剪力；

b——截面寬度；

Iz——整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩；

S*z——截面上距中性軸為y的橫線以外局部面積對(duì)中性軸的靜矩。

式(6.6)是矩形截面梁彎曲剪應(yīng)力的計(jì)算公式。

對(duì)于矩形截面(見(jiàn)圖6.9)，可取dA=bdy，于是式(b)化為

圖6.9

這樣，公式(6.6)可以寫(xiě)成

從公式(6.7)看出，沿截面高度剪應(yīng)力按拋物線規(guī)律變化。在截面上、下邊緣的各點(diǎn)處y=±h2，剪應(yīng)力=0。隨著到中性軸距離y的減小，剪應(yīng)力逐漸增大。在中性軸上各點(diǎn)處(y=0)，剪應(yīng)力為最大，其值為

如將

代入上式，即可得

式中

——梁截面上的平均剪應(yīng)力。

可見(jiàn)，矩形截面梁的最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.5倍。

根據(jù)上述分析和剪切胡克定律，剪應(yīng)變沿高度也按拋物線分布。在中性層上的單元體剪應(yīng)變到達(dá)最大值，隨著與中性層距離的增加，剪應(yīng)變逐漸減小，在上、下外表處剪應(yīng)變?chǔ)?0。因此，在橫力彎曲時(shí)橫截面將不再保持為平面而發(fā)生翹曲。但是，如果相鄰橫截面間的剪力相同，那么其翹曲程度相同，相鄰橫截面間縱向線段在其變形前后長(zhǎng)度并無(wú)變化。這種翹曲變形并不影響由彎矩引起的正應(yīng)變，在純彎曲中所建立的彎曲正應(yīng)力公式仍然成立。假設(shè)梁受分布載荷作用，相鄰橫截面的剪力將不再相同，其翹曲程度也不相同，相鄰橫截面間縱向線段的長(zhǎng)度將因此而發(fā)生變化，但對(duì)細(xì)長(zhǎng)梁而言，這種變化極其微小，所以對(duì)彎曲正應(yīng)力的影響仍可忽略不計(jì)。

工字形截面梁

如圖6.10(a)所示的工字形截面由腹板和上、下翼緣組成。腹板截面是一個(gè)狹長(zhǎng)矩形，關(guān)于矩形截面上剪應(yīng)力分布的兩個(gè)假設(shè)仍然適用。用相同的方法，必然導(dǎo)出相同的應(yīng)力計(jì)算公式，即

圖6.10

假設(shè)需要計(jì)算腹板上距中性軸為y處的剪應(yīng)力，那么S*z為圖6.10中畫(huà)陰影線局部的面積對(duì)中性軸的靜矩，即

于是腹板上的剪應(yīng)力

可見(jiàn)，沿腹板高度，剪應(yīng)力也是按拋物線規(guī)律分布的(見(jiàn)圖6.10(b))。以y=0和分別代入公式(6.9)，求出腹板上的最大和最小剪應(yīng)力分別為

因?yàn)楦拱宓膶挾萣遠(yuǎn)小于翼緣的寬度B，max和min實(shí)際上相差不大，所以，可以認(rèn)為在腹板上剪應(yīng)力大致是均勻分布的。假設(shè)以圖6.10(b)中應(yīng)力分布圖的面積乘以腹板寬度b，即可得到腹板上的總剪力Q1。計(jì)算結(jié)果說(shuō)明，Q1等于(0.95~0.97)Q?？梢?jiàn)，橫截面上的剪力Q的絕大局部由腹板所承擔(dān)。既然腹板幾乎承擔(dān)了截面上的全部剪力，而且腹板上的剪應(yīng)力又接近于均勻分布，這樣，就可用腹板的截面面積除剪力Q，近似地得到腹板內(nèi)的剪應(yīng)力為

在翼緣上，也應(yīng)有平行于Q的剪應(yīng)力分量，分布情況比較復(fù)雜，但數(shù)值很小，并無(wú)實(shí)際意義，所以通常并不計(jì)算。此外，翼緣上還有平行于翼緣寬度B的剪應(yīng)力分量，它與腹板內(nèi)的剪應(yīng)力比較，一般也是次要的，所以通常也不計(jì)算。工字梁翼緣的全部面積都在離中性軸最遠(yuǎn)處，每一點(diǎn)的正應(yīng)力都比較大，所以翼緣承擔(dān)了截面上的大局部彎矩。

圓形截面梁

當(dāng)梁的橫截面為圓形時(shí)，已經(jīng)不能再假設(shè)截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力都平行于剪力Q。由于截面邊緣上各點(diǎn)的剪應(yīng)力與圓周相切，這樣，在水平弦AB的兩個(gè)端點(diǎn)上與圓周相切的剪應(yīng)力作用線相交于y軸上的某點(diǎn)p(見(jiàn)圖6.11(a))。此外，由于對(duì)稱(chēng)，AB中點(diǎn)C的剪應(yīng)力必定是垂直的，因而也通過(guò)p點(diǎn)。由此可以假設(shè)，AB弦上各點(diǎn)剪應(yīng)力的作用線都通過(guò)p點(diǎn)。如果再假設(shè)AB弦上各點(diǎn)剪應(yīng)力的垂直分量

是相等的，于是對(duì)

來(lái)說(shuō)，就與對(duì)矩形截面所作的假設(shè)完全相同，所以可用公式(6.6)來(lái)計(jì)算，即

式中b——AB弦的長(zhǎng)度；

S*z——圖6.10(b)中畫(huà)陰影線的面積對(duì)z軸的靜矩。

圖6.11

在中性軸上，剪應(yīng)力為最大值

max，且各點(diǎn)的

y就是該點(diǎn)的總剪應(yīng)力。對(duì)中性軸上的點(diǎn)

代入式(c)，并注意到

，最后得出

式中

——梁截面上的平均剪應(yīng)力。

可見(jiàn)，圓形截面梁的最大剪應(yīng)力是平均剪應(yīng)力的

倍。

最大彎曲剪應(yīng)力

不管何種截面，只要滿足矩形截面剪應(yīng)力的兩個(gè)假設(shè)，其截面上的剪應(yīng)力均可用公式(6.6)計(jì)算。對(duì)于等截面直梁，最大彎曲剪應(yīng)力發(fā)生在剪力Q最大截面的中性軸上，即

式中Qmax——最大剪力；

S*zmax——中性軸以外面積對(duì)中性軸的靜矩；

b——中性軸處截面寬度。

例6.3如圖6.12所示，矩形截面簡(jiǎn)支梁在跨度中央受集中力P作用。P=40kN，L=10m，h=200mm，b=100mm。求m—m截面上距中性軸y=50mm處的剪應(yīng)力，并比較梁內(nèi)最大的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。

圖6.12

解(1)求支座反力

由梁的平衡方程可求得支座反力

FA=FB=20kN

(2)應(yīng)力計(jì)算

m—m截面上剪力Q=20kN。截面對(duì)中性軸的慣性矩Iz及截面陰影局部面積對(duì)中性軸的靜矩S*z分別為

所以，根據(jù)式(6.6)，距中性軸y=50mm處的剪應(yīng)力為

(3)最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力比較

梁跨度中央截面，所以根據(jù)式(6.5)和式(6.8)，最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力分別為

那么

由此可見(jiàn)，最大正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力比值的數(shù)量級(jí)為梁的跨度與截面高度之比(跨高比)。而工程中梁的跨高比較大，因而彎曲正應(yīng)力是梁的主要控制因素。

6.4彎曲強(qiáng)度條件及其應(yīng)用

一般情況下，梁內(nèi)同時(shí)存在著彎曲正應(yīng)力和彎曲剪應(yīng)力。

彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件

在6.2節(jié)中已經(jīng)討論了最大彎曲正應(yīng)力的計(jì)算。一般情況下，最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在彎矩M最大截面上離中性軸最遠(yuǎn)的邊緣處，相應(yīng)的強(qiáng)度條件為

式中［σ］——材料的彎曲許用應(yīng)力。

對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的塑性材料(如低碳鋼)，只要絕對(duì)值最大的正應(yīng)力不超過(guò)許用應(yīng)力即可。對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度不等的脆性材料(如鑄鐵)，那么最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力應(yīng)分別不超過(guò)各自的許用應(yīng)力。即

σtmax≤［σt］，σcmax≤［σc］

式中σtmax，σcmax——最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力；

［σt］，［σc］——材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力。

彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

在6.3節(jié)中已經(jīng)討論了最大彎曲剪應(yīng)力的計(jì)算。一般情況下，最大彎曲剪應(yīng)力發(fā)生在剪力Q最大截面的中性軸上，相應(yīng)的強(qiáng)度條件為

式中［

］——材料的剪切許用應(yīng)力。

彎曲強(qiáng)度計(jì)算

進(jìn)行彎曲強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，從理論上講，梁應(yīng)同時(shí)滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。而事實(shí)上，在設(shè)計(jì)梁的截面時(shí)，一般先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)，再按剪應(yīng)力強(qiáng)度條件校核。對(duì)于細(xì)長(zhǎng)實(shí)心截面梁，其控制因素主要是彎曲正應(yīng)力。滿足彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件的梁，通常也能滿足剪應(yīng)力強(qiáng)度條件，所以無(wú)須再進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核。但是在下述一些情況下，那么必須進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核：

①梁的跨度較短，或在支座附近作用較大的載荷，以致梁的彎矩較小而剪力頗大。

②鉚接或焊接的工字形梁，如腹板較薄而截面高度頗大，以致厚度與高度的比值小于型鋼的相應(yīng)比值。

③經(jīng)焊接、鉚接或膠合而成的梁，對(duì)焊縫、鉚釘或膠合等，一般要進(jìn)行剪應(yīng)力計(jì)算。

④在木梁中，由于木材順紋抗剪能力較差，當(dāng)剪應(yīng)力較大時(shí)，梁很可能沿中性層破壞，所以也應(yīng)校核其剪應(yīng)力。

同時(shí)還應(yīng)該指出的是，在薄壁梁的某些點(diǎn)處，如工字形截面梁的腹板與翼緣交界處，正應(yīng)力和剪應(yīng)力數(shù)值都較大，這種在正應(yīng)力和剪應(yīng)力聯(lián)合作用下點(diǎn)的強(qiáng)度校核問(wèn)題將在后續(xù)的強(qiáng)度理論章節(jié)中討論。

例6.4外伸梁受力如圖6.13(a)所示。梁由鋼板焊接而成，截面尺寸如圖6.13(d)所示。材料的許用應(yīng)力為［σ］=120MPa，［］=60MPa。試校核梁的強(qiáng)度，并求焊縫ab處的剪應(yīng)力。

圖6.13

解(1)求支座反力

由梁的平衡方程可求得支座反力

RA=25kN,RB=105kN

(2)繪制內(nèi)力圖

梁的剪力圖和彎矩圖分別如圖6.13(b)、(c)所示?？梢?jiàn)，

，max=40kN·m，均發(fā)生在B截面處。

(3)計(jì)算截面的幾何性質(zhì)

圖6.13(d)中y為橫截面對(duì)稱(chēng)軸。選擇參考坐標(biāo)軸z1，確定形心C的位置。

通過(guò)形心C的z軸為中性軸，橫截面對(duì)中性軸的慣性矩為(4)強(qiáng)度校核

沿B截面高度的正應(yīng)力分布如圖6.13(e)所示，最大正應(yīng)力發(fā)生在截面的下邊緣處，根據(jù)強(qiáng)度條件式(6.12)可得

那么正應(yīng)力滿足強(qiáng)度要求。

沿B左截面高度的剪應(yīng)力分布如圖6.13(f)所示，最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸處，

根據(jù)強(qiáng)度條件式(6.13)可得

那么剪應(yīng)力也滿足強(qiáng)度要求，故梁平安。

可以看出，對(duì)于細(xì)長(zhǎng)實(shí)心截面梁，其控制因素主要是彎曲正應(yīng)力。滿足彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件的梁，通常也能滿足剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。

(5)求焊縫ab處的剪應(yīng)力

在焊縫ab處將截面截為兩局部，求出其中任一局部(例如左局部)對(duì)中性軸z的靜矩

所以，焊縫ab處的剪應(yīng)力

例6.5T形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸如圖6.14(a)所示。鑄鐵的抗拉許用應(yīng)力為［σt］=30MPa，抗壓許用應(yīng)力為［σc］=160MPa。截面對(duì)中性軸的慣性矩為Iz=763cm4，且y1=52mm。試校核梁的強(qiáng)度。

圖6.14

解(1)求支座反力

由梁的平衡方程可求得支座反力

RA=2.5kN,RB=10.5kN

(2)繪制彎矩圖

所繪制的梁的彎矩圖如圖6.14(b)所示?？梢?jiàn)，最大正彎矩在截面C處，MC=2.5kN·m，最大負(fù)彎矩在截面B處，MB=-4kN·m。

(3)強(qiáng)度校核

T形截面對(duì)中性軸不對(duì)稱(chēng)，同一截面上的最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力并不相等。計(jì)算最大應(yīng)力時(shí)，應(yīng)將y1和y2分別代入公式(6.4)。在截面B上，彎矩是負(fù)的，最大拉應(yīng)力發(fā)生在上邊緣各點(diǎn)(見(jiàn)圖6.14(c))，且

最大壓應(yīng)力發(fā)生在下邊緣各點(diǎn)，且

在截面C上，雖然彎矩MC的絕對(duì)值小于MB，但MC是正彎矩，最大拉應(yīng)力發(fā)生在截面的下邊緣各點(diǎn)，而這些點(diǎn)到中性軸的距離卻比較遠(yuǎn)，因而就有可能發(fā)生比截面B更大的拉應(yīng)力。

因此，最大拉應(yīng)力發(fā)生在截面C的下邊緣各點(diǎn)處。但從所得結(jié)果可看出，無(wú)論是最大拉應(yīng)力或最大壓應(yīng)力都未超過(guò)許用應(yīng)力，強(qiáng)度條件是滿足的。

例6.6一機(jī)器重50kN，安裝在兩根工字鋼外伸梁的外伸端上，如圖6.15(a)所示。假設(shè)材料的許用應(yīng)力為［σ］=60MPa，［］=40MPa。試選擇工字鋼型號(hào)。

圖6.15解先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面，然后按剪應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。

(1)繪制內(nèi)力圖

每根外伸梁在自由端受25kN載荷作用，梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖、剪力圖和彎矩圖分別如圖6.15(b)、(c)和(d)所示?？梢?jiàn)，

(2)設(shè)計(jì)截面，選擇工字鋼型號(hào)

先依據(jù)最大彎矩選擇工字鋼型號(hào)。由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件式(6.12)，有

查型鋼表，25a號(hào)工字鋼，Wz=401.88cm3。雖然它比要求的小了3.5%，但工程中一般偏差不大于5%是允許的。故初選25a號(hào)工字鋼。

再校核梁的剪應(yīng)力。由型鋼表查出25a號(hào)工字鋼，

腹板寬度b=8mm。所以，由彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件式(6.13)，有

即剪切強(qiáng)度足夠，故可選用25a號(hào)工字鋼。

例6.7如圖6.16(a)所示，起重機(jī)的鋼梁由兩根工字鋼組成，起重機(jī)自重Q=50kN，起重量P=10kN。材料的許用應(yīng)力為［σ］=160MPa，［

］=100MPa。試選擇工字鋼型號(hào)。

圖6.16解鋼梁受力如圖6.16(b)所示，其上PC，PD為起重機(jī)作用于梁上的移動(dòng)載荷。圖6.16(c)為起重機(jī)的受力圖，由平衡方程可得

PC=10kN，PD=50kN

由彎矩圖(見(jiàn)圖6.16(d))可知，梁內(nèi)最大彎矩只可能發(fā)生在C，D兩截面。設(shè)PD距梁右端為x，那么支座反力

RA=58-6x，RB=2+6x

所以，C，D截面的彎矩分別為

令

得x1=4.83m，所以D截面彎矩的最大值

MDmax=MD(x1)=58×4.83-6×4.832=140.2kN·m

同理，可得C截面彎矩的最大值MCmax=104.2kN·m。

由剪力圖(見(jiàn)圖6.16(e))可知，

由于0≤x≤8，所以，當(dāng)x=0時(shí)，

由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件式(6.12)，有

所以，

查型鋼表，選用28a號(hào)工字鋼，其抗彎截面系數(shù)W=508.15cm3，Iz/S*z=24.62cm，腹板寬度b=8.5cm。所以，依據(jù)彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件式(6.13)，有

因此，選用28a號(hào)工字鋼能同時(shí)滿足彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。

例6.8一槽形截面鑄鐵梁如圖6.17(a)所示。b=2m，Iz=5493×104mm4，鑄鐵的許用拉應(yīng)力為［σt］=30MPa，許用壓應(yīng)力為［σc］=90MPa。試求梁的許可載荷［F］。

圖6.17

解(1)求支座反力

由梁的平衡方程可求得支座反力

(2)繪制彎矩圖

所繪制的梁的彎矩圖如圖6.17(c)所示。可見(jiàn)，最大正彎矩在截面C處，MC=Fb/4，最大負(fù)彎矩在截面B處，MB=-Fb/2。

(3)求許可載荷

由橫截面尺寸可知，中性軸到上、下邊緣的距離分別為

y1=134mm，y2=86mm

經(jīng)分析可知，無(wú)論是對(duì)截面C還是對(duì)截面B而言，該梁的強(qiáng)度均由最大拉應(yīng)力控制。因此，分別計(jì)算截面C和截面B的最大拉應(yīng)力，并與材料相應(yīng)的許用應(yīng)力相比較，從而求出許可載荷［F］。

根據(jù)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，對(duì)于截面C，那么有

由此可得F≤24.6kN。

對(duì)于截面B

由此可得F≤19.2kN。

取其中較小者，即得該梁的許可載荷［F］=19.2kN。

例6.9如圖6.18所示兩個(gè)尺寸完全相同的矩形截面懸臂梁，用一螺栓聯(lián)成一體承受載荷P作用。已經(jīng)梁的許用應(yīng)力［σ］，螺栓的許用剪應(yīng)力［

］。求梁的許可載荷［P］和螺栓的最小直徑d。

圖6.18

解由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件

所以

在［P］作用下，截面中性軸處的剪應(yīng)力最大，即

根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，梁中性層上的剪應(yīng)力

′=max，故中性層上的剪力

Q′即為螺栓承受的剪力。由螺栓剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

得螺栓直徑

即螺栓的最小直徑為

6.5提高彎曲強(qiáng)度的措施

按強(qiáng)度要求設(shè)計(jì)梁時(shí)，主要是依據(jù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件

因此，要提高梁的承載能力，可以從兩個(gè)方面考慮：一方面是合理安排梁的受力情況，以降低最大彎矩Mmax的數(shù)值；另一方面那么是采用合理的截面形狀，以提高抗彎系數(shù)W的數(shù)值。現(xiàn)將工程中常采用的幾種措施分述如下。

合理安排梁的受力情況

改善梁的受力情況，盡量降低梁內(nèi)最大彎矩，相對(duì)地說(shuō)，也就是提高了梁的強(qiáng)度。

(1)合理布置梁的支座

以如圖6.19(a)所示均布載荷作用下的簡(jiǎn)支梁為例

圖6.19

假設(shè)將兩端支座各向內(nèi)移動(dòng)0.2l(見(jiàn)圖6.19(b))，那么最大彎矩減小為

只是前者的1/5。也就是說(shuō)，按圖6.19(b)布置支座，載荷還可提高４倍。設(shè)計(jì)鍋爐筒體及吊裝長(zhǎng)構(gòu)件時(shí)，其支承點(diǎn)不設(shè)在兩端(見(jiàn)圖6.20)就是利用這個(gè)原理。另外，還可以通過(guò)增加中間支座以到達(dá)降低最大彎矩Mmax的效果。增加支座后的梁成為超靜定梁(靜不定梁)，其內(nèi)力分析將在后續(xù)章節(jié)中討論。

圖6.20

(2)合理布置載荷

對(duì)如圖6.21(a)所示的梁，當(dāng)集中載荷位置不受限制時(shí)，可盡量靠近支承(見(jiàn)圖6.21(b))。

圖6.21

這樣，梁內(nèi)的最大彎矩將比載荷作用在跨度中點(diǎn)小得多。此外，在條件允許的情況下，應(yīng)盡可能把較大的集中力分散成較小的力，或者改變成分布載荷。例如，將如圖6.21(a)所示的載荷改為如圖6.22(a)、(b)所示的情況，那么最大彎矩都降低為原來(lái)的1/2。許多木結(jié)構(gòu)建筑就是利用這一原理(見(jiàn)圖6.22(c))。

圖6.22

梁的合理截面

假設(shè)把彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件改寫(xiě)為

可見(jiàn)，梁所能承受的最大彎矩Mmax與抗彎截面系數(shù)W成正比，W越大越有利。另一方面，使用材料的多少和自重的大小，那么與截面面積A成正比，面積越小越經(jīng)濟(jì)，越輕巧。因而合理的截面形狀應(yīng)該是截面面積A較小，而抗彎截面系數(shù)W較大。例如，對(duì)于截面高度h大于寬度b的矩形截面梁，抵抗垂直平面內(nèi)的彎曲變形時(shí)，假設(shè)將截面豎放(見(jiàn)圖6.23(a))，那么Wz1=bh2/6；假設(shè)將截面平放，那么Wz2=b2h/6。顯然，二者之比

所以豎放比平放有較高的抗彎強(qiáng)度，更為合理。因此，房屋和橋梁等建筑物中的矩形截面梁，一般都是豎放的。

圖6.23截面的形狀不同，其抗彎截面系數(shù)Wz也就不同。可以用比值Wz/A來(lái)衡量截面形狀的合理性和經(jīng)濟(jì)性。比值Wz/A較大，那么截面的形狀就較為經(jīng)濟(jì)合理?？梢运愠鼍匦谓孛娴谋戎礧z/A為

圓形的比值Wz/A為

幾種常用截面的Wz/A比值已列于表6.2中。從表中所列數(shù)值可以看出，工字鋼或槽鋼比矩形截面經(jīng)濟(jì)合理，矩形截面比圓形截面經(jīng)濟(jì)合理。所以橋式起重機(jī)的大梁以及其他鋼結(jié)構(gòu)中的抗彎桿件，經(jīng)常采用工字形截面、槽形截面或箱形截面等。從正應(yīng)力的分布規(guī)律來(lái)看，這也是可以理解的。因?yàn)閺澢鷷r(shí)梁截面上的點(diǎn)離中性軸越遠(yuǎn)，正應(yīng)力越大。為了充分利用材料，應(yīng)盡可能地把材料放到離中性軸較遠(yuǎn)處。圓形截面在中性軸附近聚集了較多的材料，使其未能充分發(fā)揮作用。為了將材料移置到離中性軸較遠(yuǎn)處，可將實(shí)心圓截面改成空心圓截面，至于矩形截面，如把中性軸附近的材料移置到上、下邊緣處(見(jiàn)圖6.24)，就成為了工字形截面。采用槽形截面或箱形截面也是同樣的道理。

表6.2幾種常用截面的Wz/A值

圖6.24以上是從靜載抗彎強(qiáng)度的角度討論問(wèn)題。事物是復(fù)雜的，不能只從單方面考慮。例如，把一根細(xì)長(zhǎng)的圓桿加工成空心桿，勢(shì)必因加工復(fù)雜而提高本錢(qián)。又如軸類(lèi)零件，雖然也承受彎曲，但它還承受扭轉(zhuǎn)，還須完成傳動(dòng)任務(wù)，對(duì)其還有結(jié)構(gòu)和工藝上的要求。考慮到這些方面，采用圓軸就比較切合實(shí)際了。在討論截面的合理形狀時(shí)，還應(yīng)考慮材料的特性。對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料(如碳鋼)，宜采用對(duì)中性軸對(duì)稱(chēng)的截面，如圓形、矩形、工字形等。這樣可使截面上、下邊緣處的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力數(shù)值相等，且同時(shí)接近許用應(yīng)力。對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的材料(如鑄鐵)，宜采用中性軸偏于受拉一側(cè)的截面形狀，例如，如圖6.25所示的一些截面。對(duì)這類(lèi)截面，如能使y1和y2之比接近于以下關(guān)系：

式中σtmax，σcmax——最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力；

［σt］，［σc］——許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力。

圖6.25

那么最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力便可同時(shí)接近許用應(yīng)力。對(duì)于組合材料的梁，例如，工程中大量使用的鋼筋混凝土梁(見(jiàn)圖6.26)，在它受拉的一側(cè)配置抗拉的鋼筋，可大大提高梁的抗彎能力。

圖6.26等強(qiáng)度梁的概念

前面討論的梁都是等截面的，抗彎截面系數(shù)W為常數(shù)。但是橫力彎曲時(shí)，梁在各截面上的彎矩卻隨截面的位置而變化。因此，對(duì)于等截面梁而言，只有在最大彎矩所在的截面處，最大應(yīng)力才是接近于許用應(yīng)力的，而在其他截面上，彎矩較小，應(yīng)力較低，材料并沒(méi)有充分利用。所以，可考慮根據(jù)彎矩變化規(guī)律將梁設(shè)計(jì)為變截面梁(即截面沿軸線變化)，使抗彎截面系數(shù)也隨彎矩而變化，在彎矩較大處采