北師大版數(shù)學(xué)八年級（上）復(fù)習(xí)微專題精煉2 勾股定理的逆定理

北師大版數(shù)學(xué)八年級（上）復(fù)習(xí)微專題精煉2勾股定理的逆定理一、選擇題1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．如果a2=b2?c2，那么△ABC是直角三角形且∠A=90°B．如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，那么△ABC是直角三角形C．如果a2D．如果∠A?∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形2．在下列條件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1：2：3；③AB：BC：AC=3：4A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，下列條件中不能說明△ABC是直角三角形是（）A．b2=(a+c)(a?c) C．∠C=∠A?∠B D．∠A：∠B：∠C=3：4：54．將直角三角形的三條邊長做如下變化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（）A．同加一個相同的數(shù) B．同減一個相同的數(shù)C．同乘以一個相同的正整數(shù) D．同時平方5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為A．a(chǎn)=32，b=C．∠A=2∠B=3∠C D．∠A∶∠B∶∠C=2∶5∶26．如圖，在邊長為1的正方形方格中，A，B，C，D均為格點，構(gòu)成圖中三條線段AB，BC，CD.現(xiàn)在取出這三條線段AB，BC，CD首尾相連拼三角形.下列判斷正確的是（）A．能拼成一個銳角三角形 B．能拼成一個直角三角形C．能拼成一個鈍角三角形 D．不能拼成三角形7．在△ABC中，它的三邊分別為a，b，c，條件：①∠A＝∠C﹣∠B；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：2：2；中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．如圖折疊直角三角形紙片ABC，使直角邊AC落在斜邊AB上(折痕為AD，點C落到點E處)，已知AC=6，BC=8，AB=10，則BD的長是（）A．3 B．4 C．5 D．69．如圖，在4個均由16個小正方形組成的網(wǎng)格正方形中，各有一個格點三角形，那么這4個正方形網(wǎng)格中不是直角三角形的是（）A． B．C． D．10．如圖，五根小木棒，其長度分別為5，9，12，13，15，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，其中正確的是（）A． B．C． D．二、填空題11．已知一個三角形的三邊長分別是4cm、7cm、6cm，該三角形的形狀（填“是”或“不是”）直角三角形．12．如圖，每個小正方形的邊長為1，則∠ABC的度數(shù)為度．13．下列條件：①∠C＝∠A－∠B；②∠A：∠B：∠C＝5∶2∶3；③a＝35c，b＝45c；④a∶b∶c＝1∶2：3，則能確定△ABC是直角三角形的條件有14．三角形的三邊長a，b，c滿足2ab=(a+b)2-c2，則此三角形的形狀是三角形.15．定義：在平面直角坐標系中，把從點P出發(fā)沿橫或縱方向到達點Q（至多拐一次彎）的路徑長稱為P，Q的“實際距離”.如圖，若P(?1，1)，Q(2，3)，則P，Q的“實際距離”為5，即PS+SQ=5或PT+TQ=5.環(huán)保低碳的公共自行車，逐漸成為市民出行喜歡的交通工具.設(shè)A，B，C三個小區(qū)的坐標分別為A(?3，?1)，B(?5，3)，C(1，5)，若點M表示公共自行車停放點，且滿足M到A，B，C的“實際距離”相等，則點M的坐標是.三、作圖題16．如圖是5×5的網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，分別在圖1、圖2中各畫一個以AB為斜邊的的直角三角形.（要求：所畫三角形頂點都在格點上，兩個三角形面積不同）.四、解答題17．已知△ABC的三條邊長分別為a，b，c，其中a=m?n，b=2mn，c=m+n，且m>n>018．為慶祝中華人民共和國成立73周年，喜迎黨的二十大勝利召開，學(xué)校組織了“獻禮二十大”小制作展示活動．小彬計劃制作一架飛機模型，如圖的四邊形材料是飛機垂直尾翼的雛形．小彬測量發(fā)現(xiàn)AB=25cm，BC=18cm，AD=7cm，CD=30cm．根據(jù)設(shè)計要求，還需保證AD∥BC．由于手頭工具有限，小彬只能測得BD=24cm．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請你判斷該材料是否符合設(shè)計要求，并說明理由．五、綜合題19．如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1，點A、B、C、D都在格點上．（1）線段AB的長度是，線段CD的長度是．（2）若EF的長為5，那么以AB、CD、EF三條線段為邊能否構(gòu)成直角三角形，并說明理由．20．已知△ABC的三邊a=m2?1(m>1)，b=2m（1）求證：△ABC是直角三角形.（2）利用第（1）題的結(jié)論，寫出兩個直角三角形的邊長，要求它們的邊長均為正整數(shù).21．先閱讀一段文字，再回答下列問題：已知在平面內(nèi)兩點坐標P1(x例如：點(3，2)和(4，0)的距離為(3?4)2+(2?0)2=（1）已知A、B在平行于y軸的直線上，點A的縱坐標為5，點B的縱坐標為2，則A，B兩點的距離為；（2）已知A(3，5)，B(?4，4)，試求A，B兩點的距離；（3）已知△ABC三個頂點坐標為A(3，4)，B(0，5)，C(?1，2)，請判斷此三角形的形狀，并說明理由．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A、如果a2=b2-c2，即b2=a2+c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，符合題意；B、如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC是直角三角形，不符合題意；C、如果a2：b2：c2=9：16：25，滿足a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，不符合題意；D、如果∠A-∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC是直角三角形，不符合題意；故答案為：A．【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和逐項判斷即可。2．【答案】C【解析】【解答】解：對于①：∵∠A+∠B=∠C，∴∠A+∠B+∠C=2∠C=180∴∠C=90°，故對于②：∠A：∠B：∠C=1：2：3，設(shè)∠A=x∴∠A+∠B+∠C=6x∴x=30∴∠C=3x°=9對于③：AB：BC：∵AB∴△ABC是直角三角形，故③滿足題意；對于④：∵∠A=∠B=∠C，∴∠A+∠B+∠C=3∠A=3∠B=3∠C=180∴∠A=∠B=∠C=60∴△ABC是等邊三角形，故④不滿足題意；所以能判斷△ABC是直角三角形的有：①②③，故答案為：C．【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和逐項判斷即可。3．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵b2=(a+c)(a?c)，∴b2=aB、設(shè)a=k，b=3k，c=2k，∵a2+bC、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A?∠B，∴∠A=90°，能判斷△ABC是直角三角形，不符合題意；D、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=180°×53+4+5=75°，∴故答案為：D．

【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和逐項判斷即可。4．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)直角三角形的三邊長分別為：a，b，c（斜邊），∴a2若三邊都加上（或減去）同一個m，則三邊分別為a±m(xù)，b±m(xù)，c±m(xù)，此時(a±m(xù))2∴A，B不符合題意；若三邊都乘以n（n為正整數(shù)），則三邊分別為an，bn，cn，∴(an)2∴此時三角形還是直角三角形，故C符合題意；若三邊都平方，則三邊分別為：a2，b2，∴(c故D不符合題意；故答案為：C.【分析】設(shè)直角三角形的三邊長分別為：a，b，c（斜邊），則a2+b2=c2，若三邊都加上（或減去）同一個m，則三邊分別為a±m(xù)，b±m(xù)，c±m(xù)，此時(a±m(xù))2+(b±m(xù))2≠(c±m(xù))2，據(jù)此判斷A、B；同理可判斷CD.5．【答案】B【解析】【解答】解：A、∵a2+b2=(32)B、∵a2?b2=c2，∴aC、∵∠A=2∠B=3∠C，設(shè)∠C=x，則∠A=3x，∠B=32x，∴3x+32x+x=180°，解得x=(36011)°，D、∵∠A∶∠B∶∠C=2∶5∶2，設(shè)∠A=2x，∠B=5x，∠C=2x，∴2x+5x+2x=180°，解得x=20°，∴∴∠A=40°，∠B=100°，∠C=40°，∴△ABC不是直角三角形，故此選項不符合題意；故答案為：B.【分析】A、由題意分別計算a2+b2，c2的值，觀察是否滿足a2+b2=c2，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷求解；

B、由已知的等式變形可得a2+c2=b2，根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷求解；

C、設(shè)∠C=x，結(jié)合已知可將∠A和∠B用含x的代數(shù)式表示出來，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°可得關(guān)于x的方程，解之求出x的值，再計算∠A、∠B的度數(shù)即可判斷求解；

D、由題意可設(shè)∠A=2x，∠B=5x，∠C=2x，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°可得關(guān)于x的方程，解之求出x的值，再計算∠A、∠B、∠C的度數(shù)即可判斷求解.6．【答案】B【解析】【解答】解：由題意得：AB∴AB∴三條線段AB，BC，CD首尾相連拼三角形是直角三角形.故答案為：B.【分析】根據(jù)勾股定理分別求出AB2、BC2、CD2，然后利用勾股定理逆定理進行判斷.7．【答案】A【解析】【解答】解：①∵∠A＝∠C﹣∠B，∴∠A+∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴能確定△ABC是直角三角形；②∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，∴∠C＝36°，∴∠A＝∠B＝72°，∴不能確定△ABC是直角三角形；③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×53+4+5∴不能確定△ABC是直角三角形；④∵a：b：c＝1：2：2，∴設(shè)a＝k，b＝2k，c＝2k，∴a2+b2＝k2+（2k）2＝3k2，c2＝（2k）2＝2k2，∴a2+b2≠c2，∴不能確定△ABC是直角三角形；所以，能確定△ABC是直角三角形的條件有1個.故答案為：A.【分析】根據(jù)①②③的條件結(jié)合內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，據(jù)此判斷；根據(jù)④中的條件可設(shè)設(shè)a＝k，b＝2k，c＝2k，則a2+b2≠c2，結(jié)合勾股定理逆定理進行判斷即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：∵AC=6，BC=8，AB=10，∴由勾股定理逆定理得：∠ACB=90°．由折疊的性質(zhì)知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．∴BE=AB?AE=10?6=4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，D即CD解得：CD=3．∴BD=5.故答案為：C.【分析】由勾股定理逆定理得∠ACB=90°，由折疊的性質(zhì)知AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°，則BE=AB-AE=4，在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理可得CD的值，進而可得BD.9．【答案】C【解析】【解答】解：由觀察可知，A選項中的三角形是直角三角形；B選項中的三角形三邊長分別為22，2因此B選項中的三角形是直角三角形；C選項中的三角形三邊長分別為5，因此C選項中的三角形不是直角三角形；D選項中的三角形三邊長分別為5，25，5因此D選項中的三角形是直角三角形；故答案為：C．【分析】根據(jù)直角三角形的判定方法對每個選項一一判斷即可。10．【答案】C【解析】【解答】A、對于△ABD，由于52B、對于△ABC，由于52C、對于△ABC，由于52D、對于△ABC，由于52故答案為：C【分析】利用直角三角形的判定方法判斷即可。11．【答案】不是【解析】【解答】解：∵42+62≠72，

∴該三角形的形狀不是直角三角形.

故答案為：不是

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，如果三角形較小的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，則該三角形是直角三角形，否則就不是.12．【答案】45【解析】【解答】解：連接AC，由勾股定理得：AC2=22+12=5，BC2=22+12=5，AB2=12+32=10，∴AC2+BC2=5+5=10=BA2，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，故答案為：45．

【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC2+BC2=5+5=10=BA2，再利用勾股定理的逆定理可得△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，從而得解。13．【答案】4【解析】【解答】解：①∵∠C=∠A-∠B，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；

②∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；

③∵a=35c，b=45c，∴a2+b2=c2，∴∠c=90°，故△ABC是直角三角形；

④∵a：b：c＝1：2：3，∴a2＋c2＝b2，∴∠B=90°，故△ABC是直角三角形.

故答案為：4.

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合已知找出最大內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)最大內(nèi)角是90°，即可判斷該三角形是直角三角形，據(jù)此判斷①與②；根據(jù)勾股定理的逆定理，如果一個三角形的三邊滿足較小兩邊兩邊的平方和等于最大邊長的平方，該三角形就是直角三角形，據(jù)此判斷14．【答案】直角【解析】【解答】解：∵（a+b）2-c2=2ab，∴a2+b2=c2，∴三角形是直角三角形.

故答案為：直角.【分析】將已知等式利用完全平方公式展開并整理可得a2+b2=c2，進而根據(jù)勾股定理的逆定理可得三角形的形狀.15．【答案】(?1，2)【解析】【解答】解：設(shè)M（x，y），∵M到A，B，C的“實際距離”相等，A(?3，?1)，B(?5，3)，C(1，5)，∴AC實際距離為|1+3|+|5+1|=4+6=10，BC實際距離為|1+5|+|3-1|=6+2=8，AB實際距離為|-5+3|+|3+1|=2+4=6，∵62+82=102，∴△ABC三邊的實際距離構(gòu)成直角三角形，∴M（x，y）為AC中點，∴x=1?32=?1，y=∴CM=|1+1|+|5-2|=2+3=5，BK=|-1+5|+|3-2|=4+1=5，MA=|-1+3|+|2+1|=2+3=5，∴M（-1，2）.故答案為：（-1，2）.【分析】設(shè)M（x，y），則AC=10，BC=8，AB=6，根據(jù)勾股定理逆定理可知△ABC為直角三角形，利用中點坐標公式可得點M的坐標，然后求出CM、BK、MA.16．【答案】解：如圖所示理由：以第一個圖為例，根據(jù)勾股定理可得AB2=【解析】【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可得兩條直角邊的平方和為20，據(jù)此作圖.17．【答案】解：∵△ABC的三條邊長分別為a，b，c，a2+b2=∴a∴△ABC是直角三角形.【解析】【分析】根據(jù)已知條件可得a2+b2=(m-n)2+4mn=(m+n)2，c2=(m+n)2，然后結(jié)合勾股定理逆定理進行解答.18．【答案】解：該材料符合設(shè)計要求，理由如下：在△ABD中，AB=25cm，AD=7cm，BD=24cm，∴AD∴∠ADB=90°，在△CBD中，BC=18cm，CD=30cm，BD=24cm，∴BC∴∠CBD=90°，∴∠CBD=∠ADB，∴AD∥BC，∴該材料符合設(shè)計要求．【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理證明∠ADB=90°，∠CBD=90°，可得∠CBD=∠ADB，即可得到AD∥