高中數(shù)學《直線與直線垂直》教學課件

8.6空間直線、平面的垂直

與平行關系類似，垂直也是空間直線、平面之間的一種特殊位置關系，它在研究空間圖形問題中具有重要的作用.類比平行關系的研究過程，本節(jié)將研究空間直線、平面之間的垂直關系，重點研究這些垂直關系的判定和性質.8.6.1直線與直線垂直一、探究新知

空間兩條直線的位置關系有三種:平行直線、相交直線和異面直線.在初中我們已經(jīng)研究了平行直線和相交直線.本節(jié)我們主要研究異面直線，首先研究如何刻畫兩條異面直線的位置關系.

如圖8.6-1,在正方體ABCD-A'B'C'D'中，直線A'C'與直線AB，直線A'D'與直線AB都是異面直線，直線A'C'與A'D'相對于直線AB的位置相同嗎?如果不同，如何表示這種差異呢?DBCAD'C'B'A'

我們知道，平面內兩條直線相交形成4個角,其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角(或夾角)，它刻畫了一條直線相對于另一條直線傾斜的程度.類似地，我們也可以用“異面直線所成的角”來刻畫兩條異面直線的位置關系.二、異面直線所成角

研究異面直線所成的角，就是通過平移把異面直線轉化為相交直線.這是研究空間圖形的一種基本思路，即把空間圖形問題轉化為平面圖形問題.

如下圖，已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a'//a，b'//b，我們把直線a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).αaba'b'O

如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直，記作a⊥b.

當兩條直線a、b相互平行時，我們規(guī)定它們所成的角為0°.所以空間兩條直線所成角α的取值范圍是0°≤α≤90°.

直線a、b所成角的大小與點O的位置有關嗎?無關異面直線所成的角的范圍為(0,]三、典型例題例1

如右圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1.(1)哪些棱所在的直線與直線AA1垂直？

(2)求直線BA1與CC1所成角的大小.

(3)求直線BA1與AC所成角的大小.解：(1)棱AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、D1A1所在直線與直線AA1垂直.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，因為CC1∥BB1，(2)所以∠B1BA為直線BA1與CC1所成的角.而∠B1BA=45°，于是直線BA1與B1C的夾角是45°.(3)連接A1C1、BC1.則∠BA1C1為直線BA1與AC所成的角.從而直線BA1與AC所成的角等于60°.而△A1BC1是等邊三角形，DBCAD1C1B1A1在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC//A1C1，所以∠BA1C1=60°，三、典型例題例2

如右圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O1

為底面A1B1C1D1的中心,求證:AO1⊥BD.證明：DBCAD1C1B1A1O1連接B1D1.∵ABCD-A1B1C1D1是正方體，∴BB1DD1.∴四邊形BB1D1D是平行四邊形.∴B1D1//BD.∴直線AO1與B1D1所成的角即為直線AO1與BD所成的角.連接AB1、AD1，又O1為底面A1B1C1D1的中心,∴O1為B1D1的中點，∴AO1⊥BD.∴AO1⊥B1D1.易證AB1=AD1.例3

如右圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1=2.

求直線A1C與B1A所成角的余弦值.E解：連接A1B，交AB1于E.由棱柱的概念得四邊形BAA1B1是平行四邊形，所以E為BA1的中點.作BC的中點D，連接DE、DA，所以DE∥A1C.三、典型例題B1C1A1BCA則∠AED為直線A1C與B1A所成的角.由BC=CC1=2得A1C=B1A=所以ED=EA=又DA=在△AED中由余弦定理得cos∠AED=所以直線A1C與B1A所成角的余弦值為.D你能平移AB1來解此題嗎？四、課堂小結

兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a'//a，b'//b，我們把直線a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直，記作a⊥b.

當兩條直線a、b相互平行時，我們規(guī)定它們所成的角為0°.所以空間兩條直線所成角α的取值范圍是0°≤α≤90°.1.異面直線所成的角：異面直線所成的角是通過平移把異面直線轉化為相交直線.2.異面直線互相垂直：3.求兩條異面直線所成角的步驟：選點→平移→定角→計算選點常取在兩條異面直線中的一條上.平移常常利用