大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工程一矩陣運(yùn)算與方程組求解實(shí)驗(yàn)1行列式與矩陣實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆站仃嚨妮斎敕椒?掌握利用Mathematica(4.0以上版本)對矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)置、加、減、數(shù)乘、相乘、乘方等運(yùn)算,并能求矩陣的逆矩陣和計(jì)算方陣的行列式.根本命令在Mathematica中,向量和矩陣是以表的形式給出的.1.表在形式上是用花括號括起來的假設(shè)干表達(dá)式,表達(dá)式之間用逗號隔開.如輸入{2,4,8,16}{x,x+1,y,Sqrt[2]}那么輸入了兩個向量.2.表的生成函數(shù)最簡單的數(shù)值表生成函數(shù)Range,其命令格式如下:Range[正整數(shù)n]—生成表{1,2,3,4,…,n};Range[m,n]—生成表{m,…,n};Range[m,n,dx]—生成表{m,…,n},步長為dx.(2)通用表的生成函數(shù)Table.例如,輸入命令Table[n^3,{n,1,20,2}]那么輸出{1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}輸入Table[x*y,{x,3},{y,3}]那么輸出{{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}3.表作為向量和矩陣一層表在線性代數(shù)中表示向量,二層表表示矩陣.例如,矩陣可以用數(shù)表{{2,3},{4,5}}表示.輸入A={{2,3},{4,5}}那么輸出{{2,3},{4,5}}命令MatrixForm[A]把矩陣A顯示成通常的矩陣形式.例如,輸入命令:MatrixForm[A]那么輸出但要注意,一般地,MatrixForm[A]代表的矩陣A不能參與運(yùn)算.輸入B={1,3,5,7}輸出為{1,3,5,7}輸入MatrixForm[B]輸出為雖然從這個形式看向量的矩陣形式是列向量,但實(shí)質(zhì)上Mathematica不區(qū)分行向量與列向量.或者說在運(yùn)算時按照需要,Mathematica自動地把向量當(dāng)作行向量或列向量.下面是一個生成抽象矩陣的例子.輸入Table[a[i,j],{i,4},{j,3}]MatrixForm[%]那么輸出注:這個矩陣也可以用命令A(yù)rray生成,如輸入Array[a,{4,3}]//MatrixForm那么輸出與上一命令相同.4.命令I(lǐng)dentityMatrix[n]生成n階單位矩陣.例如,輸入IdentityMatrix[5]那么輸出一個5階單位矩陣(輸出略).5.命令DiagonalMatrix[…]生成n階對角矩陣.例如,輸入DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]那么輸出{{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}它是一個以b[1],b[2],b[3]為主對角線元素的3階對角矩陣.6.矩陣的線性運(yùn)算:A+B表示矩陣A與B的加法;k*A表示數(shù)k與矩陣A的乘法;A.B或Dot[A,B]表示矩陣A與矩陣B的乘法.7.求矩陣A的轉(zhuǎn)置的命令:Transpose[A].8.求方陣A的n次冪的命令:MatrixPower[A,n].9.求方陣A的逆的命令:Inverse[A].10.求向量a與b的內(nèi)積的命令:Dot[a,b].實(shí)驗(yàn)舉例矩陣A的轉(zhuǎn)置函數(shù)Transpose[A]例1.1求矩陣的轉(zhuǎn)置.輸入ma={{1,3,5,1},{7,4,6,1},{2,2,3,4}};Transpose[ma]//MatrixForm輸出為如果輸入Transpose[{1,2,3}]輸出中提示命令有錯誤.由此可見,向量不區(qū)分行向量或列向量.矩陣線性運(yùn)算例1.2設(shè)求輸入A={{3,4,5},{4,2,6}};B={{4,2,7},{1,9,2}};A+B//MatrixForm4B-2A//MatrixForm輸出為如果矩陣A的行數(shù)等于矩陣B的列數(shù),那么可進(jìn)行求AB的運(yùn)算.系統(tǒng)中乘法運(yùn)算符為“.〞,即用A.B求A與B的乘積,也可以用命令Dot[A,B]實(shí)現(xiàn).對方陣A,可用MatrixPower[A,n]求其n次冪.例1.3設(shè)求矩陣ma與mb的乘積.輸入Clear[ma,mb];ma={{3,4,5,2},{4,2,6,3}};mb={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5},{8,4,1}};ma.mb//MatrixForm輸出為矩陣的乘法運(yùn)算例1.4設(shè)求AB與并求輸入Clear[A,B];A={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5}};B={1,0,1};A.B輸出為{11,3,5}這是列向量B右乘矩陣A的結(jié)果.如果輸入B.A輸出為{4,5,12}這是行向量B左乘矩陣A的結(jié)果這里不需要先求B的轉(zhuǎn)置.求方陣A的三次方,輸入MatrixPower[A,3]//MatrixForm輸出為例1.5設(shè)求及輸入A={{1,1,1},{1,1,1},{1,2,3}}MatrixForm[A]B={{3,2,1},{0,4,1},{1,2,4}}MatrixForm[B]3A.B2A//MatrixFormTranspose[A].B//MatrixForm那么輸出及的運(yùn)算結(jié)果分別為求方陣的逆例1.6設(shè)求輸入Clear[ma]ma={{2,1,3,2},{5,2,3,3},{0,1,4,6},{3,2,1,5}};Inverse[ma]//MatrixForm那么輸出注:如果輸入Inverse[ma//MatrixForm]那么得不到所要的結(jié)果,即求矩陣的逆時必須輸入矩陣的數(shù)表形式例1.7求矩陣的逆矩陣.解A={{7,12,8,24},{5,34,6,-8},{32,4,30,24},{-26,9,27,0}}MatrixForm[A]Inverse[A]//MatrixForm例1.8設(shè)求輸入Clear[A,B];A={{3,0,4,4},{2,1,3,3},{1,5,3,4},{1,2,1,5}};B={{0,3,2},{7,1,3},{1,3,3},{1,2,2}};Inverse[ma].B//MatrixForm輸出為對于線性方程組如果A是可逆矩陣,X,b是列向量,那么其解向量為例1.9解方程組輸入Clear[A,b];A={{3,2,1},{1,-1,3},{2,4,-4}};b={7,6,-2};Inverse[A].b輸出為{1,1,2}求方陣的行列式例1.10求行列式輸入Clear[A];A={{3,1,-1,2},{-5,1,3,-4},{2,0,1,-1},{1,-5,3,-3}};Det[A]輸出為40例1.11求輸入Clear[A,a,b,c,d];A={{a^2+1/a^2,a,1/a,1},{b^2+1/b^2,b,1/b,1},{c^2+1/c^2,c,1/c,1},{d^2+1/d^2,d,1/d,1}};Det[A]//Simplify那么輸出例1.12計(jì)算范德蒙行列式輸入Clear[x];Van=Table[x[j]^k,{k,0,4},{j,1,5}]//MatrixForm輸出為再輸入Det[van]那么輸出結(jié)果比擬復(fù)雜(項(xiàng)很多)假設(shè)改為輸入Det[van]//Simplify或Factor[Det[van]]那么有輸出(x[1]-x[2])(x[1]-x[3])(x[2]-x[3])(x[1]-x[4])(x[2]-x[4])(x[3]-x[4])(x[1]-x[5])(x[2]-x[5])(x[3]-x[5])(x[4]-x[5])例1.13設(shè)矩陣求輸入A={{3,7,2,6,4},{7,9,4,2,0},{11,5,6,9,3},{2,7,8,3,7},{5,7,9,0,6}}MatrixForm[A]Det[A]Tr[A]MatrixPower[A,3]//MatrixForm那么輸出分別為115923向量的內(nèi)積向量內(nèi)積的運(yùn)算仍用“.〞表示,也可以用命令Dot實(shí)現(xiàn)例1.14求向量與的內(nèi)積.輸入u={1,2,3};v={1,-1,0};u.v輸出為-1或者輸入Dot[u,v]所得結(jié)果相同.實(shí)驗(yàn)習(xí)題1.設(shè)求及2.設(shè)求一般地(k是正整數(shù)).3.求的逆.4.設(shè)且求5.利用逆矩陣解線性方程組實(shí)驗(yàn)2矩陣的秩與向量組的極大無關(guān)組實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)習(xí)利用Mathematica求矩陣的秩,作矩陣的初等行變換;求向量組的秩與極大無關(guān)組.根本命令1.求矩陣M的所有可能的k階子式組成的矩陣的命令:Minors[M,k].2.把矩陣A化作行最簡形的命令:RowReduce[A].3.把數(shù)表1,數(shù)表2,…,合并成一個數(shù)表的命令:Join[list1,list2,…].例如輸入Join[{{1,0,1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}]那么輸出{{1,0,1},{3,2,1},{1,5},{4,6}}實(shí)驗(yàn)舉例求矩陣的秩例2.1設(shè)求矩陣M的秩.輸入Clear[M];M={{3,2,1,3,2},{2,1,3,1,3},{7,0,5,1,8}};Minors[M,2]那么輸出{{7,11,9,5,5,1,8,8,9,11},{14,22,18,10,10,2,16,16,18,22},{7,11,9,5,5,1,8,8,9,11}}可見矩陣M有不為0的二階子式.再輸入Minors[M,3]那么輸出{{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}}可見矩陣M的三階子式都為0.所以例2.2矩陣的秩等于2,求常數(shù)t的值.左上角的二階子式不等于0.三階子式應(yīng)該都等于0.輸入Clear[M];M={{3,2,-1,-3},{2,-1,3,1},{7,0,t,-1}};Minors[M,3]輸出為{{35-7t,45-9t,-5+t}}當(dāng)時,所有的三階子式都等于0.此時矩陣的秩等于2.例2.3求矩陣的行最簡形及其秩.輸入A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,9,0},{1,3,16,1},{2,4,22,3}}MatrixForm[A]RowReduce[A]//MatrixForm那么輸出矩陣A的行最簡形根據(jù)矩陣的行最簡形,便得矩陣的秩為3.矩陣的初等行變換命令RowfReduce[A]把矩陣A化作行最簡形.用初等行變換可以求矩陣的秩與矩陣的逆.例2.4設(shè)求矩陣A的秩.輸入Clear[A];A={{2,-3,8,2},{2,12,-2,12},{1,3,1,4}};RowReduce[A]//MatrixForm輸出為因此A的秩為2.例2.5用初等變換法求矩陣的逆矩陣.輸入A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}}MatrixForm[A]Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]//MatrixFormRowReduce[%]//MatrixFormInverse[A]//MatrixForm那么輸出矩陣A的逆矩陣為向量組的秩矩陣的秩與它的行向量組,以及列向量組的秩相等,因此可以用命令RowReduce求向量組的秩.例2.6求向量組的秩.將向量寫作矩陣的行,輸入Clear[A];A={{1,2,-1,1},{0,-4,5,-2},{2,0,3,0}};RowReduce[A]//MatrixForm那么輸出這里有兩個非零行,矩陣的秩等于2.因此,它的行向量組的秩也等于2.例2.7向量組是否線性相關(guān)?輸入Clear[A];A={{1,1,2,3},{1,1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}};RowReduce[A]//MatrixForm那么輸出向量組包含四個向量,而它的秩等于3,因此,這個向量組線性相關(guān).例2.8向量組是否線性相關(guān)?輸入Clear[A];A={{2,2,7},{3,-1,2},{1,1,3}};RowReduce[A]//MatrixForm那么輸出向量組包含三個向量,而它的秩等于3,因此,這個向量組線性無關(guān).向量組的極大無關(guān)組例2.9求向量組的極大無關(guān)組,并將其它向量用極大無關(guān)組線性表示.輸入Clear[A,B];A={{1,1,2,4},{0,3,1,2},{3,0,7,14},{1,1,2,0},{2,1,5,0}};B=Transpose[A];RowReduce[B]//MatrixForm那么輸出在行最簡形中有三個非零行,因此向量組的秩等于3.非零行的首元素位于第一、二、四列,因此是向量組的一個極大無關(guān)組.第三列的前兩個元素分別是3,1,于是第五列的前三個元素分別是于是向量組的等價可以證明:兩個向量組等價的充分必要條件是:以它們?yōu)樾邢蛄繕?gòu)成的矩陣的行最簡形具有相同的非零行,因此,還可以用命令RowReduce證明兩個向量組等價.例2.10設(shè)向量求證:向量組與等價.將向量分別寫作矩陣A,B的行向量,輸入Clear[A,B];A={{2,1,-1,3},{3,-2,1,-2}};B={{-5,8,-5,12},{4,-5,3,-7}};RowReduce[A]//MatrixFormRowReduce[B]//MatrixForm那么輸出與兩個行最簡形相同,因此兩個向量組等價.實(shí)驗(yàn)習(xí)題1.求矩陣的秩.2.求t,使得矩陣的秩等于2.3.求向量組的秩.4.當(dāng)t取何值時,向量組的秩最小?5.向量組是否線性相關(guān)?6.求向量組的最大線性無關(guān)組.并用極大無關(guān)組線性表示其它向量.7.設(shè)向量求證:向量組與等價.實(shí)驗(yàn)3線性方程組實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖煜で蠼饩€性方程組的常用命令,能利用Mathematica命令各類求線性方程組的解.理解計(jì)算機(jī)求解的實(shí)用意義.根本命令1.命令NullSpace,給出齊次方程組的解空間的一個基.2.命令LinearSolve,給出非齊次線性方程組的一個特解.3.解一般方程或方程組的命令Solve見Mathematica入門.實(shí)驗(yàn)舉例求齊次線性方程組的解空間設(shè)為矩陣,為維列向量,那么齊次線性方程組必定有解.假設(shè)矩陣的秩等于,那么只有零解;假設(shè)矩陣的秩小于,那么有非零解,且所有解構(gòu)成一向量空間.命令NullSpace給出齊次線性方程組的解空間的一個基.例3.1求解線性方程組輸入Clear[A];A={{1,1,2,1},{3,2,1,2},{0,5,7,3},{2,3,5,1}};NullSpace[A]那么輸出{{2,1,2,3}}說明該齊次線性方程組的解空間是一維向量空間,且向量(2,1,2,3)是解空間的基.注:如果輸出為空集{},那么說明解空間的基是一個空集,該方程組只有零解.例3.2求解線性方程組輸入Clear[A];A={{1,1,2,-1},{3,-2,-3,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}};Nullspace[A]輸出為{}因此解空間的基是一個空集,說明該線性方程組只有零解.例3.3向量組是否線性相關(guān)?根據(jù)定義,如果向量組線性相關(guān),那么齊次線性方程組有非零解.輸入Clear[A,B];A={{1,1,2,3},{1,1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}};B=Transpose[A];NullSpace[B]輸出為{{2,1,0,1}}說明向量組線性相關(guān),且非齊次線性方程組的特解例3.4求線性方程組的特解.輸入Clear[A,b];A={{1,1,2,1},{3,2,1,2},{0,5,7,3},{2,3,5,1}};b={4,2,2,4}LinearSolve[A,b]輸出為{1,1,1,0}注:命令LinearSolve只給出線性方程組的一個特解.例3.5求線性方程組的特解.輸入Clear[A,b];A={{1,1,2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}};b={4,2,2,4}Linearsolve[A,b]輸出為Linearsolve::nosol:Linearequationencounteredwhichhasnosolution.說明該方程組無解.例3.6向量是否可以由向量，，線性表示?根據(jù)定義,如果向量可以由向量組線性相關(guān),那么非齊次線性方程組有解.輸入Clear[A,B,b];A={{1,2,-3,1},{5,-5,12,11},{0,5,7,3},{1,-3,6,3}};B=Transpose[A];b={2,-1,3,4};Linearsolve[B,b]輸出為{,,0}說明可以由線性表示,且例3.7求出通過平面上三點(diǎn)(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多項(xiàng)式并畫出其圖形.根據(jù)題設(shè)條件有輸入Clear[x];A={{0,0,1},{1,1,1},{4,2,1}}y={7,6,9}p=LinearSolve[A,y]Clear[a,b,c,r,s,t];{a,b,c}.{r,s,t}f[x_]=p.{x^2,x,1};Plot[f[x],{x,0,2},GridLines>Automatic,PlotRange>All];那么輸出的值為{2,3,7}并畫出二次多項(xiàng)式的圖形(略).非齊次線性方程組的通解用命令Solve求非齊次線性方程組的通解.例3.8求出通過平面上三點(diǎn)(0,0),(1,1),(-1,3)以及滿足的4次多項(xiàng)式解設(shè)那么有輸入Clear[a,b,c,d,e];q[x_]=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e;eqs=[q[0]==0,q[1]==1,q[-1]==3,q’[-1]==20,q’[1]==9];{A,y}=LinearEquationsToMatrices[eqs,{a,b,c,d}];p=LinearSolve[A,y];f[x_]=p.{x^4,x^3,x^2,x,1};Plot[f[x],{x,-1,1},GridLines->Automatic,PlotRange->All];那么輸出所求多項(xiàng)式非齊次線性方程組的通解用命令solve求非齊次線性方程組的通解.例3.9解方程組輸入solve[{x-y+2z+w==1,2x-y+z+2w==3,x-z+w==2,3x-y+3w==5},{x,y,z,w}]輸出為{{x2-w+z,y1+3z}}即,.于是,非齊次線性方程組的特解為(2,1,0,0).對應(yīng)的齊次線性方程組的根底解系為(1,3,1,0)與(-1,0,0,1).例3.10解方程組解法1用命令solve輸入solve[{x-2y+3z-4w==4,y-z+w==-3,x+3y+w==1,-7y+3z+3w==-3},{x,y,z,w}]輸出為{{x-8,y3,z6,w0}}即有唯一解,，，.解法2這個線性方程組中方程的個數(shù)等于未知數(shù)的個數(shù),而且有唯一解,此解可以表示為.其中是線性方程組的系數(shù)矩陣,而是右邊常數(shù)向量.于是,可以用逆陣計(jì)算唯一解.輸入Clear[A,b,x];A={{1,-2,3,-4},{0,1,-1,1},{1,3,0,1},{0,-7,3,1}};b={4,-3,1,-3};x=Inverse[A].b輸出為{-8,3,6,0}解法3還可以用克拉默法計(jì)算這個線性方程組的唯一解.為計(jì)算各行列式,輸入未知數(shù)的系數(shù)向量,即系數(shù)矩陣的列向量.輸入Clear[a,b,c,d,e];a={1,0,1,0};b={-2,1,3,-7};c={3,-1,0,3};d={-4,1,1,1};e={4,-3,1,-3};Det[{e,b,c,d}]/Det[{a,b,c,d}]Det[{a,e,c,d}]/Det[{a,b,c,d}]Det[{a,b,e,d}]/Det[{a,b,c,d}]Det[{a,b,c,e}]/Det[{a,b,c,d}]輸出為-8360例3.10當(dāng)為何值時,方程組無解、有唯一解、有無窮多解?當(dāng)方程組有解時,求通解.先計(jì)算系數(shù)行列式,并求,使行列式等于0.輸入Clear[a];Det[{{a,1,1},{1,a,1},{1,1,a}}];Solve[%0,a]那么輸出{{a2},{a1},{a1}}當(dāng),時,方程組有唯一解.輸入Solve[{a*xyz1,xa*yz1,xya*z1},{x,y,z}]那么輸出{{xyz}}當(dāng)2時,輸入Solve[{2x+y+z==1,x2y+z==1,x+y2z==1},{x,y,z}]那么輸出{}說明方程組無解.當(dāng)=1時,輸入Solve[{x+y+z==1,x+y+z==1,x+y+z==1},{x,y,z}]那么輸出{{x1yz}}}說明有無窮多個解.非齊次線性方程組的特解為(1,0,0),對應(yīng)的齊次線性方程組的根底解系為為(1,1,0)與(1,0,1).例3.11求非齊次線性方程組的通解.解法1輸入A={{2,1,1,1},{3,2,1,3},{1,4,3,5}};b={1,4,2};particular=LinearSolve[A,b]nullspacebasis=NullSpace[A]generalsolution=t*nullspacebasis[[1]]+k*nullspacebasis[[2]]+Flatten[particular]generalsolution//MatrixForm解法2輸入B={{2,1,1,1,1},{3,2,1,3,4},{1,4,3,5,2}}RowReduce[B]//MatrixForm根據(jù)增廣矩陣的行最簡形,易知方程組有無窮多解.其通解為(k,t為任意常數(shù))實(shí)驗(yàn)習(xí)題1.解方程組2.解方程組3.解方程組4.解方程組5.用三種方法求方程組的唯一解.6.當(dāng)為何值時,方程組有唯一解、無解、有無窮多解?對后者求通解.實(shí)驗(yàn)4交通流模型(綜合實(shí)驗(yàn))實(shí)驗(yàn)?zāi)康睦镁€性代數(shù)中向量和矩陣的運(yùn)算,線性方程組的求解等知識,建立交通流模型.掌握線性代數(shù)在交通規(guī)劃方面的應(yīng)用.應(yīng)用舉例假設(shè)某城市局部單行街