3.1.3函數(shù)的奇偶性第1課時課件-高一上學期數(shù)學人教B版

第三章函數(shù)

3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)

3.1.3函數(shù)的奇偶性第1課時

函數(shù)的奇偶性基礎知識初中時我們學習過有關軸對稱和中心對稱的知識，而且已經(jīng)知道，在平面直角坐標系中，點(x，y)關于y軸的對稱點為(-x，y)，關于原點的對稱點為(-x，-y)。例如，(-2，3)關于y軸的對稱點為_____________，關于原點的對稱點為____________.(2，3)(2，-3)不難發(fā)現(xiàn)，上述兩個函數(shù)，當自變量取互為相反數(shù)的兩個值x和-x時，對應的函數(shù)值相等，即f(-x)=(-x)2=x2=f(x),

一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有-x∈D，且f(-x)=f(x),則稱y=f(x)為偶函數(shù)如果y=f(x)是偶函數(shù)，其圖象具有什么特征呢?我們知道，點P(x，f(x))與Q(-x，f(-x))都是函數(shù)y=f(x)圖象上的點，按照偶函數(shù)的定義，點Q又可以寫成Q(-x，f(x))，因此點P和點Q關于y軸對稱，所以偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；反之，結論也成立，即圖象關于y軸對稱的函數(shù)一定是偶函數(shù)，如圖所示是嘗試與發(fā)現(xiàn)中兩個函數(shù)的圖象。嘗試與發(fā)現(xiàn)按照類似的方式得到奇函數(shù)的定義，以及奇函數(shù)圖象的特征:一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有__________，且_____________則稱y=f(x)為奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關于__________對稱.-x∈Df(-x)=-

f(x)原點

如果一個函數(shù)是偶函數(shù)或是奇函數(shù)，則稱這個函數(shù)具有奇偶性。可以看出，當n

是正整數(shù)時，函數(shù)f(x)=x2n是偶函數(shù)，函數(shù)g(x)=

x2n-1

是奇函數(shù)。前提函數(shù)f(x)定義域D內(nèi)的________________________，條件且_______________且_________________結論則稱y＝f(x)為偶函數(shù)則y＝f(x)為奇函數(shù)任意一個x，都有－x∈D

f(－x)＝f(x)

f(－x)＝－f(x)

思考：函數(shù)奇偶性的注意點是什么？提示：(1)從奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義可知，當x是定義域中的一個數(shù)值時，則－x也必是定義域中的一個數(shù)值，因此函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)的一個必不可少的條件是定義域關于原點對稱．換言之，若所給函數(shù)的定義域不關于原點對稱，則這個函數(shù)不具有奇偶性．例如，函數(shù)y＝x2在區(qū)間(－∞，＋∞)上是偶函數(shù)，但在區(qū)間[－3,5]上卻不具有奇偶性。(2)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則根據(jù)定義可得，f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.(3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，這樣的函數(shù)有且只有一類，即f(x)＝0，x∈D，D是關于原點對稱的非空數(shù)集。奇、偶函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)奇、偶函數(shù)的圖像特征，我們不難得出以下結論。(1)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．上述結論可簡記為“___________”．(2)________________________________________________，取最值時的自變量互為相反數(shù)；___________________________________________________，取最值時的自變量也互為相反數(shù)。奇同偶異偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)典例精析判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性:(1)f(x)=x+x3+x5；(2)f(x)=x2+1;(3)f(x)=x+1;

(4)f(x)=x2，x∈[-1，3].解：(1)因為函數(shù)的定義域為R，所以x∈R時，-x∈R。又因為f(-x)=(-x)+(-x)3+(-x)5=-(x+x3+x5)=-f(x)，所以函數(shù)f(x)=x+x3+x5是_________函數(shù)。(2)因為函數(shù)的定義域為R，所以x∈R時，-x∈R.又因為f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),所以函數(shù)f(x)=x2+1是_________函數(shù)。奇偶(3)因為函數(shù)的定義域為R，所以x∈R時，-x∈R.又因為f(-1)=0，f(1)=2，所以f(-1)≠-f(1)且f(-1)≠f(1)，因此函數(shù)f(x)=

x+1既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(也可說成f(x)是非奇非偶函數(shù))。(4)因為函數(shù)的定義域為[-1，3]，而3∈[-1，3]，但-3?[-1，3]，所以函數(shù)f(x)=x2，x∈[-1，3]是非奇非偶函數(shù)。上題(4)說明，設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在x0∈D，但-x0?D，即函數(shù)f(x)

的定義域不關于原點對稱，則f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。已知奇函數(shù)f(x)的定義域為D，且0∈D，求證：f(0)=0.證明：因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(-0)=-f(0)，即f(0)=-f(0)，所以2f(0)=0，因此f(0)=0.基礎自測D

2．對于定義域是R的任意奇函數(shù)f(x)，都有(

)A．f(x)－f(－x)>0

B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)≤0

D．f(x)·f(－x)>0解析：∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)·f(－x)＝f(x)·[－f(x)]＝－[f(x)]2≤0.C

3．若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1為偶函數(shù)，則a＝____.解析：解法一：∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，x2＋ax＋1＝x2－ax＋1，即2ax＝0(x∈R)恒成立，∴a＝0.解法二：∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－1)＝f(1)，即1＋a＋1＝1－a＋1，∴a＝0.0

4．下列圖像表示的函數(shù)是奇函數(shù)的是_______，是偶函數(shù)的是_______(填序號)。解析：①③關于y軸對稱是偶函數(shù)，②④關于原點對稱是奇函數(shù)。②④

①③

5．已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x2－2x，則f(x)在R上的解析式為_______________________.典例剖析判斷函數(shù)的奇偶性判斷下列函數(shù)的奇偶性：思路探究：先求定義域，驗證定義域是否關于原點對稱，再看f(－x)與f(x)的關系，進而做出判斷。歸納提升：如何判斷函數(shù)的奇偶性1．判斷函數(shù)的奇偶性一般不用其定義，而是利用定義的等價形式，即考察f(－x)與f(x)的關系，具體步驟如下：(1)求f(x)的定義域。(2)若定義域不關于原點對稱，則函數(shù)f(x)不具有奇偶性，若定義域關于原點對稱，可再利用定義驗證f(－x)與f(x)的關系。2．關于一些較復雜的函數(shù)，也可以用如下性質(zhì)判斷函數(shù)的奇偶性：(1)偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)。(2)奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)。(3)奇(偶)數(shù)個奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)。(4)一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù)。對點訓練典例剖析奇偶函數(shù)圖像的應用(1)如圖1，給出了奇函數(shù)f(x)的局部圖像，那么f(1)等于(

)A．－4

B．－2

C．2

D．4B

(2)設偶函數(shù)f(x)的定義域為[－5,5]，且f(3)＝0，當x∈[0,5]時，f(x)的圖像如圖2所示，則不等式xf(x)＜0的解集是________________________.思路探究：根據(jù)函數(shù)的奇偶性可作出函數(shù)在y軸另一側的圖像，再根據(jù)圖像來解題。[－5，－3)∪(0，3)

圖2

歸納提升：巧用奇偶性作函數(shù)圖像的步驟(1)確定函數(shù)的奇偶性。(2)作出函數(shù)在[0，＋∞)(或(－∞，0])上對應的圖像。(3)根據(jù)奇(偶)函數(shù)關于原點(y軸)對稱得出在(－∞，0]或[0，＋∞)上對應的函數(shù)圖像。對點訓練已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≤0時，f(x)＝x2＋2x，現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側的圖像，如圖所示。(1)請補出完整函數(shù)y＝f(x)的圖像；(2)根據(jù)圖像寫出函數(shù)y＝f(x)的增區(qū)間、值域．解析：(1)由題意作出函數(shù)圖像如圖：(2)據(jù)圖可知，單調(diào)增區(qū)間為(－1,0)，(1，＋∞)，值域為[－1，＋∞)。典例剖析分段函數(shù)奇偶性的判定思路探究：判斷分段函數(shù)的奇偶性，要注意x與－x是在不同的“段”中，則f(－x)與f(x)是不同的關系式。歸納提升：1.判斷分段函數(shù)的奇偶性，必須分段考慮。2．若分段函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，常用含絕對值符號的函數(shù)表達式來表示。對點訓練解析：函數(shù)f(x)的定義域為R，關于原點對稱，當x>0時，－x<0，f(－x)＝－(－x)2－2＝－x2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)，當x<0時，－x>0，f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)。當x＝0時，f(0)＝0，即x＝0時，f(－x)＝－f(x)。綜上所述，x∈R，有f(－x)＝－f(x)，故該函數(shù)為奇函數(shù)。典例剖析已知f(x)是奇函數(shù)，且當x＞0時，f(x)＝x|x－2|，求當x＜0時，f(x)的表達式。思路探究：已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，可利用對稱性求對稱區(qū)間上的解析式。由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式解析：令x＜0，則－x＞0.∴f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|.∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝x|x＋2|.故當x＜0時，f(x)的表達式為f(x)＝x|x＋2|.歸納提升：由函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的解題策略1．函數(shù)具有奇偶性，若只給出了部分區(qū)間上的解析式，則可以利用函數(shù)的奇偶性求出對稱區(qū)間上的解析式，其解題理論為函數(shù)奇偶性的定義。正用定義可以判斷函數(shù)的奇偶性，逆用可以求出函數(shù)在對稱區(qū)間上的解析式。2．結論：(1)若f(x)是奇函數(shù)，且已知x＞0時的解析式，則x＜0時的解析式只需將原函數(shù)式y(tǒng)＝f(x)中的x，y分別替換為－x，－y，然后解出y即可。(2)若f(x)是偶函數(shù)，且已知x＞0時的解析式，則x＜0時的解析式只需將原函數(shù)式y(tǒng)＝f(x)中的x替換為－x，y不變，即得x＜0時的解析式。對點訓練若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，f(x)＝x(1－x)，求：當x≥0時，函數(shù)f(x)的解析式。解析：當x>0時，－x<0，∵當x<0時，f(x)＝x(1－x)，∴f(－x)＝－x(1＋x)，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x(1＋x)，∴f(x)＝x(1＋x)，又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，∴當x≥0時，f(x)＝x(1＋x)．典例剖析抽象函數(shù)的奇偶性已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)，若對于任意實數(shù)a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求證：f(x)為奇函數(shù)。思路探究：因為對于任意實數(shù)a、b都有