2024版高考復(fù)習(xí)A版數(shù)學(xué)考點(diǎn)考法講解：三角恒等變換

高考

數(shù)學(xué)三角函數(shù)與解三角形三角恒等變換基礎(chǔ)篇考點(diǎn)三角恒等變換1.兩角和與差的三角函數(shù)公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;

(Sα+β)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;

(Sα-β)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;

(Cα+β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;

(Cα-β)tan(α+β)=

;

(Tα+β)tan(α-β)=

.

(Tα-β)2.二倍角公式sin2α=2sinαcosα;

(S2α)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;

(C2α)tan2α=

.

(T2α)3.公式的變形與應(yīng)用1)兩角和與差的正切公式的變形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ);tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ).2)升冪公式1+cosα=2cos2

;1-cosα=2sin2

.3)降冪公式sin2α=

;cos2α=

.4)其他常用變形sin2α=

=

;cos2α=

=

;1±sinα=

;tan

=

=

.4.輔助角公式asinα+bcosα=

sin(α+φ),其中cosφ=

,sinφ=

,tanφ=

.5.角的拆分與組合1)用已知角表示未知角例,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,α=

-

=

+

.2)互余與互補(bǔ)關(guān)系例,

+

=π,

+

=

.3)非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角例,15°=45°-30°,75°=45°+30°.綜合篇考法三角函數(shù)式的求值和化簡(jiǎn)1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)原則

2.三角函數(shù)式求值的基本類型及解法1)給角求值:①化為特殊角的三角函數(shù)值;②化為正負(fù)相消的項(xiàng),消去求值;③化分子、分母,使其出現(xiàn)公約數(shù),然后約分求值.2)給值求值:解題的關(guān)鍵在于“變角”,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,把

待求三角函數(shù)值的角用含已知角的式子表示出來(lái),求解時(shí)要注意角的范

圍的討論.3)給值求角:實(shí)質(zhì)上可轉(zhuǎn)化為“給值求值”問(wèn)題,先求所求角的某一三角

函數(shù)值,再利用該三角函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍求得角.例1

(2022石家莊一模,14)已知角α∈

,tan

=

,則α=

.解析∵tan

=

,∴

=

,∴sin

=cos

,∴sin

cosα+sin

cos

=cos

sinα-cos

sin

,∴2sin

cos

=cos

sinα-sin

cosα,∴sin

=sin

.∵α∈

,∴α-

∈

,∴

=α-

,∴α=

+

=

.答案

例2

(2022重慶涪陵實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中,15)若sin2α=

,sin(β-α)=

,且α∈

,β∈

,則α+β的值是

.解析因?yàn)棣痢?/p>

,所以2α∈

,因?yàn)閟in2α=

,所以2α∈

,即α∈

,所以cos2α=-

=-

=-

.因?yàn)棣痢?/p>

,β∈

,所以β-α∈

,因?yàn)閟in(β-α)=

,所以cos(β-α)=-

=-

=-

.所以cos(β+α)=cos(β-α+2α)=cos(β-α)·cos2α-sin(β-α