五年級(jí)奧數(shù)-等量代換（剖析版）

第25講等量代換教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)學(xué)會(huì)分析題意并且熟練的找出題目中存在的量之間的關(guān)系；掌握置換問(wèn)題的解題思路與方法。知識(shí)梳理知識(shí)梳理置換問(wèn)題主要是研究把有數(shù)量關(guān)系的兩種數(shù)量轉(zhuǎn)換成一種數(shù)量，從而幫助我們找到解題方法的一類典型的應(yīng)用題?！半u兔同籠”問(wèn)題就是一種比較典型的置換問(wèn)題。解答置換問(wèn)題一般用轉(zhuǎn)換和假設(shè)這兩種數(shù)學(xué)思維方法。解答置換問(wèn)題應(yīng)注意下面兩點(diǎn)：1，根據(jù)數(shù)量關(guān)系把兩種數(shù)量轉(zhuǎn)換成一種數(shù)量，從而找出解題方法；2，把兩種數(shù)量假設(shè)為一種數(shù)量，從而找出解題方法。典例分析典例分析例1、20千克蘋(píng)果與30千克梨共計(jì)132元，2千克蘋(píng)果的價(jià)錢與2.5千克梨的價(jià)錢相等，求蘋(píng)果和梨的單價(jià)。【解析】2千克蘋(píng)果的價(jià)錢與2.5千克梨的價(jià)錢相等，則20千克蘋(píng)果相當(dāng)于25千克梨，這樣就把兩種數(shù)量轉(zhuǎn)化為一種數(shù)量了，先計(jì)算梨的單價(jià)是：132÷（25＋30）＝2.4（元）蘋(píng)果的單價(jià)：（132-2.4×30）÷20=3（元）例2、只小花貓的重量等于只狗的重量，1只小花貓等于3只鴨的重量，1只狗重千克，只貓與只鴨各重多少千克？【解析】抓住突破口，利用倒推逐步推理．只貓等于只狗的重量，只狗重千克，只貓也就重千克，（千克），所以只貓就等于千克．只貓等于只鴨的重量，只貓重千克，只鴨也就重千克．（千克），所以只鴨等于千克．例3、一只小猴重4千克，一只小猴的重量等于兩只小兔的重量，兩只小兔的重量等于4只小貓的重量．一只小兔和一只小貓的重量共多少千克？【解析】一只小猴的重量等于兩只兔子的重量，這樣可以求出一只兔子的重量．而兩只兔子的重量等于4只小貓的重量，可以求出一只小貓的重量．最后一只小兔和一只小貓的總重量就求出來(lái)了．一只兔子的重量：(千克），一只小貓的重量：(千克)，一只小兔和一只小貓的總重量：(千克)例4、某菜站運(yùn)來(lái)西紅柿和黃瓜共重1660千克，已知運(yùn)來(lái)的西紅柿的重量比黃瓜重量的3倍少60千克，菜站運(yùn)來(lái)的西紅柿和黃瓜各多少千克？【解析】由題意可知：西紅柿的重量=3×黃瓜的重量-60kg西紅柿的重量+黃瓜的重量=1660kg3×黃瓜的重量+黃瓜的重量=1660kg+60kg因此：黃瓜的重量=1720÷4=430kg；西紅柿的重量=1660-430=1230kg。例5、一件工作，甲做5小時(shí)以后由乙來(lái)做，3小時(shí)可以完成；乙做9小時(shí)以后由甲來(lái)做，也是3小時(shí)可以完成。那么甲做1小時(shí)以后由乙來(lái)做幾小時(shí)可以完成？【解析】甲5小時(shí)+乙3小時(shí)=甲3小時(shí)+乙9小時(shí)可得出甲2小時(shí)=乙6小時(shí)即甲1小時(shí)=乙3小時(shí)所以甲做1小時(shí)后,乙需要時(shí)間：2×3+9=15小時(shí)例6、小明去買同一種筆和同一種橡皮，所帶的錢能買8支筆和4塊橡皮，或買6支筆和12塊橡皮。結(jié)果他用這些錢全部買了筆，請(qǐng)問(wèn)他能買幾支？【解析】根據(jù)等量代換少買了2支筆多買了8塊橡皮,一支筆的錢可以買四塊橡皮,故有：8支筆+4塊橡皮=6支筆+12塊橡皮因此：2支筆=8塊橡皮，所以：全部買筆：8+4÷8×2=9（支）例7、5輛玩具汽車與3架飛機(jī)玩具的價(jià)錢相等，每架飛機(jī)玩具比汽車玩具貴8元。這兩種玩具的單價(jià)各是多少元？【解析】一架飛機(jī)玩具比一輛玩具汽車貴8元，所以5架飛機(jī)玩具比5輛玩具汽車貴8×5=40（元）5輛玩具汽車與3架飛機(jī)玩具價(jià)錢一樣所以2架飛機(jī)玩具的價(jià)錢是40元，1架飛機(jī)玩具的價(jià)錢是40÷2=20（元）玩具汽車的價(jià)錢是20-8=12（元）例8、小華要稱粒米的重量，天平自帶的砝碼只有克，克，克，克，克，克，克各一個(gè)．⑴粒米遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有克，小華該怎么辦?⑵小華要稱克的米，天平應(yīng)放哪幾個(gè)砝碼?【解析】⑴小華可以用克的砝碼去稱克米，天平平衡的時(shí)候，再去數(shù)一數(shù)有幾粒米，就可以說(shuō)多少粒米是克．如果數(shù)出有粒米．這粒米就是克的米，也就是克，一粒米就是克．⑵使用大的砝碼克，再考慮加哪幾個(gè)?，應(yīng)放克，克，克的砝碼．例9、一段上好的綢布可做24件同樣的上衣和12條同樣的裙子，或者做18件同樣的上衣和20條同樣的裙子。那么全做上衣能做多少件？【解析】由題意可知：24件上衣+12條裙子=18件上衣+20條裙子因此：6件上衣=8條裙子故全做上衣：24+12÷8×6=33（件）實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練課堂狙擊1、一個(gè)蘋(píng)果和一個(gè)犁共重250克，一個(gè)蘋(píng)果和一個(gè)桔子共重180克，一個(gè)梨和一個(gè)桔子共重230克，算一算，一個(gè)蘋(píng)果，一個(gè)梨，一個(gè)桔子各重多少克？【解析】梨和桔子重230g+一個(gè)蘋(píng)果和一個(gè)梨共重250g=2梨和1蘋(píng)果1桔子=480g因?yàn)樘O(píng)果和桔子共重180g所以梨=（480-180）÷2=150g因?yàn)橐粋€(gè)蘋(píng)果和一個(gè)梨共重250g所以蘋(píng)果=250-150=100g因?yàn)樘O(píng)果和桔子共重180g所以桔子=180-100=80g因此：梨150g,蘋(píng)果100g,桔子80g.2、6只雞和8只羊共重78千克，已知5只雞的重量和2只羊的重量相等。求每只雞和每只羊的重量?！窘馕觥坑深}意知：6只雞+8只羊=78kg5只雞=2只羊所以：8只羊=20只雞，因此：每只雞=3kg，每只羊=7.5kg3、一輛卡車最多能載40袋大米和40袋面粉，或者載10袋大米和100袋面粉。現(xiàn)在卡車上已載有20袋大米，最多還能載多少袋面粉？【解析】由題意可知：40袋大米+40袋面粉=10袋大米+100袋面粉所以：30袋大米=60袋面粉即：1袋大米=2袋面粉一輛卡車最多能載10×2+100=120面粉現(xiàn)在卡車上已載有20袋大米,最多還能載：120-20×2=80袋面粉4、李老師第一次買回5個(gè)籃球和3個(gè)排球，用去318元．第二次又買回7個(gè)籃球和6個(gè)排球，用去510元．問(wèn)：一個(gè)籃球和一個(gè)排球的價(jià)格各是多少元？【解析】可引導(dǎo)學(xué)生讀題、審題，找出此題與例7的不同之處,并轉(zhuǎn)化成例7的模型．此題有籃球單價(jià)與排球單價(jià)兩個(gè)未知數(shù)量，而從題里所給條件分析，兩次購(gòu)買籃球與排球的數(shù)量各不相同，不能直接用消去法消去哪一個(gè)未知數(shù)，所以解題關(guān)鍵是使籃球或排球中的某一對(duì)未知數(shù)變換得相同，則可消去其中一個(gè)．通過(guò)比較，第一次購(gòu)買的排球?yàn)?個(gè)；第二次購(gòu)買的排球?yàn)?個(gè)，恰為第一次的2倍．若將第一次購(gòu)買的排球、籃球各擴(kuò)大2倍，付的錢也擴(kuò)大2倍，則能使購(gòu)買的排球個(gè)數(shù)與第二次購(gòu)買的排球個(gè)數(shù)相同，從而設(shè)法消去排球這個(gè)未知數(shù)量，先求出每個(gè)籃球的價(jià)格，再求每一個(gè)排球的價(jià)格．列式：(元)……籃球的單價(jià)．(元)……排球的單價(jià)．5、2支鋼筆的價(jià)錢和3支圓珠筆的價(jià)錢相等，一支圓珠筆比一支鋼筆便宜6元錢，兩種筆的單價(jià)各是多少元？【解析】由題意可知：2支鋼筆=3支圓珠筆1支圓珠筆比1支鋼筆便宜6元，故：2支圓珠筆比2支鋼筆便宜12元，所以：1圓珠筆=12元，1支鋼筆=18元。6、加工10件同樣的上衣和4條同樣的褲子需用布19.4米，加工6件同樣的上衣和5條同樣的褲子需用布14.5米，加工一件上衣和一條褲子各需用布多少米？【解析】由題意可知：10件上衣+4條褲子=19.4（米）6件上衣+5條褲子=14.5（米）所以：30件上衣+12條褲子=58.2（米）30件上衣+25條褲子=72.5（米）上下兩式子相減得到：13條褲子=14.3（米）由此得出：1條褲子=1.1（米）因此：1件上衣=（14.5-1.1×5）÷6=1.5（米）課后反擊1、一壺水可以灌滿2個(gè)熱水瓶，一個(gè)熱水瓶的水可以沖4杯茶，一杯茶重250克，算一算，一壺水重多少克？合多少千克？【解析】由題意可知：一只熱水瓶可以倒?jié)M4杯茶：4×250=1000g一壺水=兩熱水瓶=1000×2=2000g2、第一只茶壺能裝大杯水，第二只茶壺可以裝小杯水．已知大杯水與小杯水同樣多，哪個(gè)茶壺大？【解析】讀題，抓住大杯數(shù)目，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行擴(kuò)倍來(lái)解決題目．因?yàn)榇蟊c小杯水同樣多，那么大杯水就等于小杯的水，而現(xiàn)在只有小杯的水，大杯水和小杯水比較，大杯水要多一些，所以第3、汽車從甲地開(kāi)往乙地，行完全程用了3小時(shí)，返回時(shí)用了4小時(shí)，已知這輛汽車去時(shí)比返回時(shí)每小時(shí)快12千米。甲乙兩地相距多少千米？【解析】由題意可知：3×去的速度=4×返回速度去的速度比返回的速度快12千米所以：3×去的速度比3×返回的速度快36千米因此：返回速度=36千米，甲乙兩地的距離=4×36=144千米。4、2份點(diǎn)心和1杯飲料共26元；1份點(diǎn)心和3杯飲料共18元。1份點(diǎn)心和1杯飲料各多少元？【解析】由題意可知：1份點(diǎn)心和3杯飲料共18元2份點(diǎn)心和1杯飲料共26元那么：2份點(diǎn)心和6杯飲料共18×2=36元飲料：（36-26）÷（6-1）=2元點(diǎn)心:（26-2）÷2=12元5、甲乙兩人加工某種零件，甲做15小時(shí)，乙做8小時(shí)，共加工1600個(gè)，甲做10小時(shí)，乙做7小時(shí)共加工1100個(gè)。甲乙兩人每小時(shí)各加工多少個(gè)零件？【解析】由題意可知：15小時(shí)甲+8小時(shí)乙=1600個(gè)10小時(shí)甲+7小時(shí)乙=1100個(gè)因此：5小時(shí)甲+1小時(shí)乙=500個(gè)，得出：35小時(shí)甲+7小時(shí)乙=3500個(gè)所以：25小時(shí)甲=2400個(gè)，1小時(shí)甲=96個(gè)，1小時(shí)乙=500-96×5=20個(gè)6、甲、乙兩人共儲(chǔ)蓄32元，乙、丙兩人共儲(chǔ)蓄30元，甲、丙兩人共儲(chǔ)蓄22元．三人各儲(chǔ)蓄多少元？【解析】可先讓學(xué)生自己去思考，教師巡視指正．此題要求三個(gè)未知數(shù)，甲儲(chǔ)蓄多少元？乙儲(chǔ)蓄多少元？丙儲(chǔ)蓄多少元？關(guān)系較為復(fù)雜，為了化繁為簡(jiǎn)，采用消去法來(lái)解．首先用加減消去法消去乙和丙，只剩下甲，然后求出甲儲(chǔ)蓄多少元，再求乙、丙各儲(chǔ)蓄多少元．解法1：由2倍甲儲(chǔ)蓄為24元，可求出甲儲(chǔ)蓄多少元．列表：(元)……甲儲(chǔ)蓄款．(元)……乙儲(chǔ)蓄款，(元)……丙儲(chǔ)蓄款．此題也可用另一種方法求解．解法2：甲乙乙丙+甲丙(元)，即2倍的(甲乙丙)等于84元．