概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題解答(第二版)及概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章隨機(jī)事件及其概率1.寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：（1）同時(shí)擲兩顆骰子，記錄兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和；（2）在單位圓內(nèi)任意一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)；（3）10件產(chǎn)品中有三件是次品，每次從其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出為止，記錄抽取的次數(shù)；（4）測(cè)量一汽車通過給定點(diǎn)的速度.解所求的樣本空間如下（1）S={2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}（2）S={(x,y)|x2+y2<1}（3）S={3，4，5，6，7，8，9，10}（4）S={v|v>0}2.設(shè)A、B、C為三個(gè)事件，用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：（1）A發(fā)生，B和C不發(fā)生；（2）A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生；（3）A、B、C都發(fā)生；（4）A、B、C都不發(fā)生；（5）A、B、C不都發(fā)生；（6）A、B、C至少有一個(gè)發(fā)生；（7）A、B、C不多于一個(gè)發(fā)生；（8）A、B、C至少有兩個(gè)發(fā)生.解所求的事件表示如下3．在某小學(xué)的學(xué)生中任選一名，若事件A表示被選學(xué)生是男生，事件B表示該生是三年級(jí)學(xué)生，事件C表示該學(xué)生是運(yùn)動(dòng)員，則（1）事件AB表示什么？（2）在什么條件下ABC=C成立？（3）在什么條件下關(guān)系式是正確的？（4）在什么條件下成立？解所求的事件表示如下（1）事件AB表示該生是三年級(jí)男生，但不是運(yùn)動(dòng)員.（2）當(dāng)全校運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)男生時(shí)，ABC=C成立.（3）當(dāng)全校運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)學(xué)生時(shí)，關(guān)系式是正確的.（4）當(dāng)全校女生都在三年級(jí)，并且三年級(jí)學(xué)生都是女生時(shí)，成立.4．設(shè)P(A)＝0.7，P(A－B)＝0.3，試求解由于A-B=A–AB,P(A)=0.7所以P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.3,所以P(AB)=0.4,故=1-0.4=0.6.5.對(duì)事件A、B和C，已知P(A)=P(B)＝P(C)＝，P(AB)=P(CB)=0,P(AC)=求A、B、C中至少有一個(gè)發(fā)生的概率.解由于故P(ABC)=0則P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–p(bc)–p(ac)+p(abc)6.設(shè)盒中有α只紅球和b只白球，現(xiàn)從中隨機(jī)地取出兩只球，試求下列事件的概率：A＝{兩球顏色相同}，B＝{兩球顏色不同}.解 由題意，基本事件總數(shù)為，有利于A的事件數(shù)為，有利于B的事件數(shù)為,則7.若10件產(chǎn)品中有件正品，3件次品,（1）不放回地每次從中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；（2）每次從中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率.解 （1）設(shè)A={取得三件次品}則.（2）設(shè)B={取到三個(gè)次品},則.8.某旅行社100名導(dǎo)游中有43人會(huì)講英語(yǔ)，35人會(huì)講日語(yǔ)，32人會(huì)講日語(yǔ)和英語(yǔ)，9人會(huì)講法語(yǔ)、英語(yǔ)和日語(yǔ)，且每人至少會(huì)講英、日、法三種語(yǔ)言中的一種，求：（1）此人會(huì)講英語(yǔ)和日語(yǔ)，但不會(huì)講法語(yǔ)的概率；（2）此人只會(huì)講法語(yǔ)的概率.解設(shè)A={此人會(huì)講英語(yǔ)},B={此人會(huì)講日語(yǔ)},C={此人會(huì)講法語(yǔ)}根據(jù)題意,可得(1)(2)9.罐中有12顆圍棋子，其中8顆白子4顆黑子，若從中任取3顆，求：（1） 取到的都是白子的概率；（2） 取到兩顆白子，一顆黑子的概率；（3） 取到三顆棋子中至少有一顆黑子的概率；（4） 取到三顆棋子顏色相同的概率.解(1)設(shè)A={取到的都是白子}則.(2)設(shè)B={取到兩顆白子,一顆黑子}.(3)設(shè)C={取三顆子中至少的一顆黑子}.(4)設(shè)D={取到三顆子顏色相同}.10.（1）500人中，至少有一個(gè)的生日是7月1日的概率是多少(1年按365（2）6個(gè)人中，恰好有個(gè)人的生日在同一個(gè)月的概率是多少？解(1)設(shè)A={至少有一個(gè)人生日在7月1(2)設(shè)所求的概率為P(B)11.將C，C，E，E，I，N，S7個(gè)字母隨意排成一行，試求恰好排成SCIENCE的概率p.解由于兩個(gè)C，兩個(gè)E共有種排法，而基本事件總數(shù)為，因此有從5副不同的手套中任取款4只，求這4只都不配對(duì)的概率.解要4只都不配對(duì)，我們先取出4雙，再?gòu)拿恳浑p中任取一只，共有中取法.設(shè)A={4只手套都不配對(duì)}，則有一實(shí)習(xí)生用一臺(tái)機(jī)器接連獨(dú)立地制造三只同種零件，第i只零件是不合格的概率為，i=1，2，3，若以x表示零件中合格品的個(gè)數(shù)，則P(x=2)為多少？解設(shè)Ai={第i個(gè)零件不合格}，i=1,2,3,則所以由于零件制造相互獨(dú)立，有：，假設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)在射程之內(nèi)的概率為0.7，這時(shí)射擊命中目標(biāo)的概率為0.6，試求兩次獨(dú)立射擊至少有一次命中目標(biāo)的概率p.解設(shè)A={目標(biāo)出現(xiàn)在射程內(nèi)}，B={射擊擊中目標(biāo)}，Bi={第i次擊中目標(biāo)},i=1,2.則P(A)=0.7,P(Bi|A)=0.6另外B=B1+B2，由全概率公式另外,由于兩次射擊是獨(dú)立的,故P(B1B2|A)=P(B1|A)P(B2|A)=0.36由加法公式P((B1+B2)|A)=P(B1|A)+P(B2|A)－P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84因此P(B)=P(A)P((B1+B2)|A)=0.7×0.84=0.588設(shè)某種產(chǎn)品50件為一批，如果每批產(chǎn)品中沒有次品的概率為0.35，有1，2，3，4件次品的概率分別為0.25,0.2,0.18,0.02，今從某批產(chǎn)品中抽取10件，檢查出一件次品，求該批產(chǎn)品中次品不超過兩件的概率.解設(shè)Ai={一批產(chǎn)品中有i件次品}，i=0,1,2,3,4,B={任取10件檢查出一件次品},C={產(chǎn)品中次品不超兩件},由題意 由于A0,A1,A2,A3,A4構(gòu)成了一個(gè)完備的事件組,由全概率公式由Bayes公式故由以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運(yùn)輸某種物品損壞2%，10%和90%的概率分別為0.8，0.15，0.05，現(xiàn)在從中隨機(jī)地取三件，發(fā)現(xiàn)三件全是好的，試分析這批物品的損壞率是多少（這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出一件后不影響下一件的概率）.解設(shè)B={三件都是好的}，A1={損壞2%},A2={損壞10%},A1={損壞90%}，則A1,A2,A3是兩兩互斥,且A1+A2+A3=Ω,P(A1)=0.8,P(A2)=0.15,P(A2)=0.05.因此有P(B|A1)=0.983,P(B|A2)=0.903,P(B|A3)=0.13,由全概率公式由Bayes公式,這批貨物的損壞率為2%,10%,90%的概率分別為由于P(A1|B)遠(yuǎn)大于P(A3|B),P(A2|B),因此可以認(rèn)為這批貨物的損壞率為0.2.驗(yàn)收成箱包裝的玻璃器皿，每箱24只裝，統(tǒng)計(jì)資料表明，每箱最多有兩只殘次品，且含0，1和2件殘次品的箱各占80%，15%和5%，現(xiàn)在隨意抽取一箱，隨意檢查其中4只；若未發(fā)現(xiàn)殘次品，則通過驗(yàn)收，否則要逐一檢驗(yàn)并更換殘次品，試求：（1）一次通過驗(yàn)收的概率α；（2）通過驗(yàn)收的箱中確定無殘次品的概率β.解設(shè)Hi={箱中實(shí)際有的次品數(shù)},,A={通過驗(yàn)收}則P(H0)=0.8,P(H1)=0.15,P(H2)=0.05,那么有：(1)由全概率公式(2)由Bayes公式得一建筑物內(nèi)裝有5臺(tái)同類型的空調(diào)設(shè)備，調(diào)查表明，在任一時(shí)刻，每臺(tái)設(shè)備被使用的概率為0.1，問在同一時(shí)刻（1）恰有兩臺(tái)設(shè)備被使用的概率是多少？（2）至少有三臺(tái)設(shè)備被使用的概率是多少？解設(shè)5臺(tái)設(shè)備在同一時(shí)刻是否工作是相互獨(dú)立的,因此本題可以看作是5重伯努利試驗(yàn).由題意，有p=0.1,q=1-p=0.9,故(1)(2)第二章隨機(jī)變量及其分布有10件產(chǎn)品，其中正品8件，次品兩件，現(xiàn)從中任取兩件，求取得次品數(shù)X的分律.解X的分布率如下表所示：X012p28/4516/451/45進(jìn)行某種試驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)成功的概率為，失敗的概率為，以X表示試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的次數(shù)，試寫出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率.解X的分布律為： X取偶數(shù)的概率：從5個(gè)數(shù)1，2，3，4，5中任取三個(gè)為數(shù).求：

X＝max()的分布律及P(X≤4)；

Y＝min()的分布律及P(Y>3).解基本事件總數(shù)為：，X345p0.10.30.6(1)X的分布律為：P(X≤4)=P(3)+P(4)=0.4(2)Y的分布律為Y123p0.60.30.1P(X>3)=0C應(yīng)取何值，函數(shù)f(k)=，k＝1，2，…，λ>0成為分布律？解由題意,,即解得：已知X的分布律 X －1 1 2 P 求：（1）X的分布函數(shù)；（2）；（3）.解(1)X的分布函數(shù)為 ;(2)(3)F(x)0x10.61設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投籃投中的概率為P＝F(x)0x10.61解X的分布函數(shù)對(duì)同一目標(biāo)作三次獨(dú)立射擊，設(shè)每次射擊命中的概率為p，求：

（1）三次射擊中恰好命中兩次的概率；

（2）目標(biāo)被擊中兩彈或兩彈以上被擊毀，目標(biāo)被擊毀的概率是多少？解設(shè)A={三次射擊中恰好命中兩次}，B=目標(biāo)被擊毀，則(1)P(A)=(2)P(B)=一電話交換臺(tái)每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求：

（1）每分鐘恰有6次呼喚的概率；

（2）每分鐘的呼喚次數(shù)不超過10次的概率.解(1)P(X=6)=或者

P(X=6)==0.21487–0.11067=0.1042.(2)P(X≤10)=0.99716設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布，且P(X＝1)＝P(X＝2)，求P(X＝4)解由已知可得，解得λ=2，(λ=0不合題意)=0.09商店訂購(gòu)1000瓶鮮橙汁，在運(yùn)輸途中瓶子被打碎的概率為0.003，求商店收到的玻璃瓶，（1）恰有兩只；（2）小于兩只；（3）多于兩只；（4）至少有一只的概率.解設(shè)X={1000瓶鮮橙汁中由于運(yùn)輸而被打破的瓶子數(shù)}，則X服從參數(shù)為n=1000,p=0.003的二項(xiàng)分布，即X~B(1000,0.003),由于n比較大，p比較小，np=3,因此可以用泊松分布來近似,即X~π(3).因此(1)P(X=2)(2)(3)(4)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

求：（1）系數(shù)k；（2）P(0.25<X<0.75)；（3）X的密度函數(shù)；（4）四次獨(dú)立試驗(yàn)中有三次恰好在區(qū)間(0.25，0.75)內(nèi)取值的概率.解(1)由于當(dāng)0≤x≤1時(shí)，有F(x)=P(X≤x)=P(X<0)+P(0≤X≤x)=kx2又F(1)=1,所以k×12=1因此k=1.(2)P(0.25<X<0.75)=F(0.75)-F(0.25)=0.752-0.252=0.5(3)X的密度函數(shù)為(4)由(2)知，P(0.25<X<0.75)=0.5，故P{四次獨(dú)立試驗(yàn)中有三次在(0.25,0.75)內(nèi)}=.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求：（1）系數(shù)k；（2）；（3）X的分布函數(shù).解(1)由題意，,因此(2)(3)X的分布函數(shù)某城市每天用電量不超過100萬(wàn)千瓦時(shí)，以Z表示每天的耗電率(即用電量除以100萬(wàn)千瓦時(shí))，它具有分布密度為若該城市每天的供電量?jī)H有80萬(wàn)千瓦時(shí)，求供電量不夠需要的概率是多少？如每天供電量為90萬(wàn)千瓦時(shí)又是怎樣的？解如果供電量只有80萬(wàn)千瓦，供電量不夠用的概率為： P(Z>80/100)=P(Z>0.8)=如果供電量只有80萬(wàn)千瓦，供電量不夠用的概率為：P(Z>90/100)=P(Z>0.9)=某儀器裝有三只獨(dú)立工作的同型號(hào)電子元件，其壽命(單位小時(shí))都服從同一指數(shù)分布，分布密度為試求在儀器使用的最初200小時(shí)以內(nèi)，至少有一只電子元件損壞的概率.解設(shè)X表示該型號(hào)電子元件的壽命，則X服從指數(shù)分布，設(shè)A={X≤200}，則P(A)=設(shè)Y={三只電子元件在200小時(shí)內(nèi)損壞的數(shù)量}，則所求的概率為：設(shè)X為正態(tài)隨機(jī)變量，且X～N(2，)，又P(2<X<4)=0.3，求P(X<0)解由題意知 即故設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(10，4)，求a，使P(|X－10|<a)=0.9.解由于所以查表可得，=1.65即a=3.3設(shè)某臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺栓的長(zhǎng)度X服從正態(tài)分布N(10.05，0.062)，規(guī)定X在范圍(10.05±0.12)厘米內(nèi)為合格品，求螺栓不合格的概率.解由題意，設(shè)P為合格的概率，則 則不合格的概率=1-P=0.0456設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(60，9)，求分點(diǎn)x1，x2，使X分別落在(－∞，x1)、(x1，x2)、(x2，+∞)的概率之比為3:4:5.解由題， 查表可得解得,x1=57.99查表可得解得,x2=60.63.已知測(cè)量誤差X（米）服從正態(tài)分布N(7.5,102)，必須進(jìn)行多少次測(cè)量才能使至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過10米的概率大于0.98解設(shè)一次測(cè)量的誤差不超過10米的概率為p,設(shè)Y為n次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量誤差不超過10米出現(xiàn)的次數(shù)，則于是P(Y≥1)=1-P(X=0)=1-(1-0.5586)n≥0.980.4414n≤0.02,n≥ln(0.02)/ln(0.4414)解得：n≥4.784取n=5,即，需要進(jìn)行5次測(cè)量.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為 X －2 0 2 3 P 試求：（1）2X的分布列；（2）x2的分布列.解(1)2X的分布列如下2X-4046p1/71/73/72/7(2)x2的分布列X2049p1/74/72/7設(shè)X服從N(0，1)分布，求Y＝｜X｜的密度函數(shù).解y=|x|的反函數(shù)為,從而可得Y=|X|的密度函數(shù)為：當(dāng)y>0時(shí)，當(dāng)y≤0時(shí)，0因此有若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求Y＝的分布函數(shù)和密度函數(shù).解 y=在(0,1)上嚴(yán)格單調(diào)，且反函數(shù)為h(y)=,y>1,h’(y)=因此有Y的分布函數(shù)為：設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 試求Y＝lnX的密度函數(shù).解由于嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)為,則設(shè)隨機(jī)變量X服從N(μ,)分布，求Y＝的分布密度.解由于嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)為y>0,則當(dāng)時(shí)因此假設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，證明：Y＝在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布.解 由于在(0,+∞)上單調(diào)增函數(shù)，其反函數(shù)為：并且，則當(dāng)當(dāng)y≤0或y≥1時(shí)，=0.因此Y在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布.把一枚硬幣連擲三次，以X表示在三次中正面出現(xiàn)的次數(shù)，Y表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)之差的絕對(duì)值，試求（X，Y）的聯(lián)合概率分布.解 根據(jù)題意可知,(X,Y)可能出現(xiàn)的情況有：3次正面，2次正面1次反面,1次正面2次反面,3次反面,對(duì)應(yīng)的X,Y的取值及概率分別為P(X=3,Y=3)=P(X=2,Y=1)=P(X=1,Y=1)=P(X=0,Y=3)=于是，（X，Y）的聯(lián)合分布表如下：XY0123103/83/8031/8001/8在10件產(chǎn)品中有2件一級(jí)品，7件二級(jí)品和1件次品，從10件產(chǎn)品中無放回抽取3件，用X表示其中一級(jí)品件數(shù)，Y表示其中二級(jí)品件數(shù)，求：

（1）X與Y的聯(lián)合概率分布；（2）X、Y的邊緣概率分布；（3）X與Y相互獨(dú)立嗎？解根據(jù)題意，X只能取0，1，2，Y可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得：(1)其中, ,可以計(jì)算出聯(lián)合分布表如下YX012300021/12035/12056/1201014/12042/120056/12021/1207/120008/1201/12021/12063/12035/120(2)X,Y的邊緣分布如上表(3)由于P(X=0,Y=0)=0,而P(X=0)P(Y=0)≠0,P(X=0,Y=0)≠P(X=0)P(Y=0),因此X,Y不相互獨(dú)立.袋中有9張紙牌，其中兩張“2”，三張“3”，四張“4”，任取一張，不放回，再任取一張，前后所取紙牌上的數(shù)分別為X和Y，求二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律，以及概率解(1)X,Y可取的值都為2,3,4,則(X,Y)的聯(lián)合概率分布為：YX23422/931/344/92/91/34/9(2)P(X+Y>6)=P(X=3,Y=4)+P(X=4,Y=3)+P(X=4,Y=4)=1/6+1/6+1/6=1/2.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為,求：（1）系數(shù)A、B及C；（2）(X,Y)的聯(lián)合概率密度；（3）X，Y的邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度；（4）隨機(jī)變量X與Y是否獨(dú)立？解(1)由(X,Y)的性質(zhì),F(x,-∞)=0,F(-∞,y)=0,F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1,可以得到如下方程組：解得：(2)(3)X與Y的邊緣分布函數(shù)為：X與Y的邊緣概率密度為：(4)由(2),(3)可知：,所以X，Y相互獨(dú)立.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為（1）求分布函數(shù)F(x,y)；（2）求(X，Y)落在由x＝0，y＝0，x＋y＝1所圍成的三角形區(qū)域G內(nèi)的概率.解(1)當(dāng)x>0,y>0時(shí)，否則，F(xiàn)(x,y)=0.(2)由題意，所求的概率為設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為求：（1）常數(shù)A；（2）X，Y的邊緣概率密度；（3）.解(1)由聯(lián)合概率密度的性質(zhì)，可得 解得A=12.(2)X,Y的邊緣概率密度分別為：(3)設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為求P(X＋Y≥1).解由題意，所求的概率就是(X,Y)落入由直線x=0,x=1,y=0,y=2,x+y=1圍的區(qū)域G中,則設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在圖2.20所示的區(qū)域G上服從均勻分布，試求(X,Y)的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度.解由于(X,Y)服從均勻分布，則G的面積A為： ,(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：.X,Y的邊緣概率密度為：設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在(0,0.2)上服從均勻分布，Y的概率密度是求：（1）X和Y和聯(lián)合概率密度；（2）P(Y≤X).解由于X在(0,0.2)上服從均勻分布，所以y=xy(1)由于X，Y相互獨(dú)立，因此X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)為：y=xy00.2x(2)由題意，所求的概率是由直線x=0,x=0.2,y=0,y=x所圍的區(qū)域，00.2x如右圖所示，因此設(shè)（X，Y）的聯(lián)合概率密度為求X與Y中至少有一個(gè)小于的概率.解所求的概率為設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X －1 1 3 Y －3 1 P P 求二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律.解由獨(dú)立性，計(jì)算如下表XY-113-31/81/203/401/413/83/209/403/41/21/56/20設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為 X 1 2 3Y 1 2 a b（1）求常數(shù)a，b，c應(yīng)滿足的條件；（2）設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，求常數(shù)a，b，c.解由聯(lián)合分布律的性質(zhì)，有：,即a+b+c=又，X,Y相互獨(dú)立，可得從而可以得到：設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為求邊緣分布函數(shù)與，并判斷隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立.解由題意,邊緣分布函數(shù)下面計(jì)算FY(y)可以看出，F(xiàn)(x,y)=Fx(x)FY(y),因此，X，Y相互獨(dú)立.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為求邊緣概率密度與，并判斷隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立.解先計(jì)算,當(dāng)x<1時(shí),當(dāng)x≥1時(shí),再計(jì)算,當(dāng)y<1時(shí),當(dāng)y≥1時(shí),可見,,所以隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為求邊緣概率密度與，并判斷隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立.解先計(jì)算,當(dāng)x<0或者x>1時(shí),當(dāng)1≥x≥0時(shí),再計(jì)算,當(dāng)y<0或者y>1時(shí),當(dāng)1≥y≥0時(shí),由于,所以隨機(jī)變量X,Y不獨(dú)立設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為求隨機(jī)變量Z＝X－2Y的分布密度.0zxyzxyxyyx2y=z解先求0zxyzxyxyyx2y=zDyDy 當(dāng)z<0時(shí)，積分區(qū)域?yàn)椋篋={(x,y)|x>0,y>0,x-2y≤z}y求得yx2y=zDy當(dāng)z≥0時(shí)，積分區(qū)域?yàn)椋篋={(x,y)|x>0,y>0,x-2y≤z}x2y=zDyxy0zxyzxyxy0zxyzxy由此,隨機(jī)變量Z的分布函數(shù)為因此,得Z的密度函數(shù)為：設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，X～，Y服從［－b，b］(b>0)上的均勻分布，求隨機(jī)變量Z＝X＋Y的分布密度.解解法一由題意，令則解法二設(shè)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，Y服從參數(shù)為的指數(shù)分布，且X與Y獨(dú)立，求Z＝X＋Y的密度函數(shù).解由題設(shè)，X~,Y~并且，X，Y相互獨(dú)立，則由于僅在x>0時(shí)有非零值，僅當(dāng)z-x>0，即z>x時(shí)有非零值，所以當(dāng)z<0時(shí)，=0,因此=0.當(dāng)z>0時(shí)，有0>z>x,因此設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布律為X 0 1 2 3 Y 0 0 0.05 0.08 0.12 1 0.01 0.09 0.12 0.15 2 0.02 0.11 0.13 0.12求：（1）Z＝X＋Y的分布律；（2）U＝max（X，Y）的分布律；（3）V＝min（X，Y）的分布律.解(1)X+Y的可能取值為：0，1，2，3，4，5，且有P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=0P(Z=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0.06P(Z=2)=P(X=2,Y=0)+P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.19P(Z=3)=P(X=3,Y=0)+P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=0.35P(Z=4)=P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=1)=0.28P(Z=5)=P(X=3,Y=2)=0.12Z=X+Y的分布如下Z012345p00.060.190.350.280.12同理，U=max(X,Y)的分布如下U∈{0,1,2,3}U0123p00.150.460.39V012p0.280.470.25同理，V=min(X,Y)的分布分別如下V∈{0,1,2}第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量X的分布列為 X －1 0 1 2 P 求E(X)，E(－X＋1)，E(X2)解 或者一批零件中有9件合格品與三件廢品，安裝機(jī)器時(shí)從這批零件中任取一件，如果取出的廢品不再放回，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解設(shè)取得合格品之前已經(jīng)取出的廢品數(shù)為X,X的取值為0,1,2,3,Ak表示取出廢品數(shù)為k的事件，則有：已知離散型隨機(jī)變量X的可能取值為－1、0、1，E(X)＝0.1，E(X2)＝0.9，求P(X=-1)，P(X＝0)，P(X＝1).解根據(jù)題意得：可以解得P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.5,P(X=0)=1-P(X=-1)-P(X=1)=1-0.4-0.5=0.1設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求E(X).解由題意,,設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求E(2X)，E().解 對(duì)球的直徑作近似測(cè)量，其值均勻分布在區(qū)間［a，b］上，求球的體積的數(shù)學(xué)期望.解由題意，球的直接D~U(a,b),球的體積V=因此，設(shè)隨機(jī)變量X，Y的密度函數(shù)分別為求E(X＋Y)，E(2X－3Y2).解設(shè)隨機(jī)函數(shù)X和Y相互獨(dú)立，其密度函數(shù)為求E(XY).解由于XY相互獨(dú)立,因此有設(shè)隨機(jī)函數(shù)X的密度為 求E(X),D(X).解設(shè)隨機(jī)函數(shù)X服從瑞利(Rayleigh)分布,其密度函數(shù)為其中σ>0是常數(shù)，求E(X)，D(X).解拋擲12顆骰子，求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和的數(shù)學(xué)期望與方差.解擲1顆骰子，點(diǎn)數(shù)的期望和方差分別為：E(X)=(1+2+3+4+5+6)/6=7/2E(X2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6因此D(X)=E(X2)-(E(X))2=35/12擲12顆骰子,每一顆骰子都是相互獨(dú)立的,因此有：E(X1+X2+…+X12)=12E(X)=42D(X1+X2+…+X12)=D(X1)+D(X2)+…+D(X12)=12D(X)=35將n只球（1～n號(hào)）隨機(jī)地放進(jìn)n只盒子（1～n號(hào)）中去，一只盒子裝一只球，將一只球裝入與球同號(hào)碼的盒子中，稱為一個(gè)配對(duì)，記X為配對(duì)的個(gè)數(shù)，求E(X),D(X).解（1）直接求X的分布律有些困難，我們引進(jìn)新的隨機(jī)變量Xk ,則有：，Xk服0-1分布因此： （2）服從0-1分布，則有故，E(X)=D(X)=1.我們知道，泊松分布具有期望與方差相等的性質(zhì)，可以認(rèn)定，X服從參數(shù)為1的泊松分布.在長(zhǎng)為l的線段上任意選取兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間距離的數(shù)學(xué)期望及方差.解設(shè)所取的兩點(diǎn)為X,Y,則X,Y為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為依題意有D(X-Y)=E((X-Y)2)-(E(X-Y))2=設(shè)隨機(jī)變量X服從均勻分布，其密度函數(shù)為求E(2X2)，D(2X2).解設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2.5，試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)概率的值.解由切比雪夫不等式,取,得.在每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為0.5，如果作100次獨(dú)立試驗(yàn)，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)X在40到60之間取值的概率解由題意，X~B(100，0.5),則E(X)=np=50,D(X)=npq=25根據(jù)切比雪夫不等式,有.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的一切可能值在區(qū)間［a，b］內(nèi)，其密度函數(shù)為，證明：（1）a≤E(X)≤b；（2）.解(1)由題意，a≤X≤b,那么則由于所以(2)解法(一)即,又解法(二),由于 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為 X 0 1Y 1 0.1 0.2 2 0.2 0.4 求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X,Y)，及協(xié)方差矩陣.解由題設(shè)，E(XY)=0×0×0.1+0×1×0.2+1×0×0.3+1×1×0.4=0.4cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.4-0.6×0.7=-0.02協(xié)方差矩陣為設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為X －1 0 1Y－1 0 0 1 試驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.解由于因此,即X和Y是不相關(guān)的.但由于,因此X,Y不是相互獨(dú)立的.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的密度函數(shù)為求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X,Y)，及協(xié)方差矩陣.解又同理可得,協(xié)方差矩陣為已知隨機(jī)變量(X,Y)服從正態(tài)分布，且E(X)＝E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X,Y)＝12，求(X,Y)的密度函數(shù).解由題意,則密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且E(X)＝E(Y)＝0，D(X)＝D(Y)＝1，試求E((X＋Y)2).解由于因此有設(shè)隨機(jī)變量X和Y的方差分別為25，36，相關(guān)系數(shù)為0.4，試求D(X＋Y)，D(X－Y).解由題意，D(X+Y)=2(cov(X,Y))+D(X)+D(Y)=24+25+36=85因?yàn)閏ov(X,-Y)=-cov(X,Y)=-12因此D(X-Y)=2(cov(X,-Y))+D(X)+D(-Y)=-24+25+36=37.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布N(0,s2)，令U＝aX＋bY，V＝aX-bY，試求U和V的相關(guān)系數(shù).解由于X，Y相互獨(dú)立，則都服從N(0,s2)第四章大數(shù)定律與中心極限定理設(shè)Xi，i＝1，2，…，50是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且它們都服從參數(shù)為l＝0.02的泊松分布.記X＝X1＋X2＋…+X50，試?yán)弥行南薅ɡ碛?jì)算P(X≥2).解由題意，E(Xi)=D(Xi)=l=0.02，由中心極限定理:隨機(jī)變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布所以有:某計(jì)算機(jī)系統(tǒng)有100個(gè)終端，每個(gè)終端有2％的時(shí)間在使用，若各個(gè)終端使用與否是相互獨(dú)立的，試分別用二項(xiàng)分布、泊松分布、中心極限定理，計(jì)算至少一個(gè)終端被使用的概率.解設(shè)X為被使用的終端數(shù),由題意,X~B(100,0.02)(1)用二項(xiàng)分布計(jì)算(2)用泊松分布近似計(jì)算因?yàn)閘=np=100×0.02=2,查表得0.1353=0.8647.(3)中心極限定近似計(jì)算一個(gè)部件包括10個(gè)部分，每部分的長(zhǎng)度是一個(gè)隨機(jī)變量，它們相互獨(dú)立，服從同一分布，數(shù)學(xué)期望為2mm，均方差不0.05mm，規(guī)定部件總長(zhǎng)度為20±0.1mm時(shí)為合格品，求該部件為合格產(chǎn)品的概率.解設(shè)Xi表示一部分的長(zhǎng)度,i=1,2,…,10.由于X1,X2,…,X10相互獨(dú)立,且E(Xi)=2,D(Xi)=0.052,根據(jù)獨(dú)立同分布中心極限定理，隨機(jī)變量近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.于是計(jì)算機(jī)在進(jìn)行加法時(shí)，對(duì)每個(gè)加數(shù)取整（取為最接近于它的整數(shù)），設(shè)所有的取整誤差是相互獨(dú)立的，且它們都在(-0.5,0.5)上服從均勻分布.若將1500個(gè)數(shù)相加，試求誤差總和的絕對(duì)值超過15的概率；多少個(gè)數(shù)相加可使誤差總和絕對(duì)值小于10的概率為0.05的概率.解設(shè)Xi表示一個(gè)加數(shù)的誤差，則Xi~U(-0.5,0.5),E(Xi)=0,D(Xi)=1/12(1)根據(jù)獨(dú)立同分布中心極限定理，隨機(jī)變量近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.于是因此所求的概率為：1-P(-15<X<15)=1-0.8198=0.1802(2)由題意，設(shè)有n個(gè)數(shù)相加可使誤差總和絕對(duì)值小于10的概率為0.90,X=nXi.由獨(dú)立同分布的中心極限定理，隨機(jī)變量近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.則=0.90查表得=1.645,解得：n=443即443個(gè)數(shù)相加可使誤差總和絕對(duì)值小于10的概率為0.05的概率為了確定事件A的概率，進(jìn)行了一系列試驗(yàn).在100次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生了36次，如果取頻率0.36作為事件A的概率p的近似值，求誤差小于0.05的概率.解(刪除)一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由10000個(gè)相互獨(dú)立的部件組成，在系統(tǒng)運(yùn)行期間，每個(gè)部件損壞的概率為0.1，又知為使系統(tǒng)正常運(yùn)行，至少有89％的部件工作.求系統(tǒng)的可靠度（系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率）；上述系統(tǒng)由n個(gè)相互獨(dú)立的部件組成，而且要求至少有87％的部件工作，才能使系統(tǒng)正常運(yùn)行，問n至少為多在時(shí)，才能保證系統(tǒng)的可靠度達(dá)到97.72％？解設(shè)X表示正常工作的部件數(shù)，X~B(10000,0.9),(1)所求的概率為,由于n比較大，可以使用中心極限定理，由于，近似地有，X~N(9000,900),則(2)根據(jù)題意,設(shè)X為正常工作的部件數(shù)，則根據(jù)中心極限定理,近似地有X~N(0.9n,0.09n)查表得,n=400,即,n至少為400時(shí),才能保證系統(tǒng)的可靠度達(dá)到97.72%.某單位有200臺(tái)電話分機(jī)，每臺(tái)分機(jī)有5％的時(shí)間要使用外線通話，假定每臺(tái)分機(jī)是否使用外線是相互獨(dú)立的，問該單位總機(jī)要安裝多少條外線才能以90％以上的概率保證分機(jī)使用外線時(shí)不等待？解設(shè)X為某時(shí)刻需要使用外線的戶數(shù)（分機(jī)數(shù)），顯然X~(200,0.05)，E(X)=np=10,D(X)=np(n-p)=9.5.設(shè)k是為要設(shè)置的外線的條數(shù)，要保證每個(gè)要使用外線的用戶能夠使用上外線，必須有k≥X.根據(jù)題意應(yīng)有： 這里n=200，較大，可使用中心極限定理，近似地有X~N(10,9.5)：經(jīng)過查表，，取k=14即至少14條外線時(shí)，才能保證要使用外線的用戶都能使用外線的概率大于95%.設(shè)μn為n重伯努利試驗(yàn)中成功的次數(shù)，p為每次成功的概率，當(dāng)n充分大時(shí)，試用棣莫弗－拉普拉斯定律證明.式中，p＋q＝1；是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).證明由題意，,,當(dāng)n很大時(shí)，近似服從正態(tài)分布，即,或者使用標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量：,因此，由棣莫弗-拉普拉斯定理，有=現(xiàn)有一大批種子，其中良種占，今在其中任選4000粒，試問在這些種子中，良種所占比例與之差小于1％的概率是多少？解設(shè)X為4000粒種子中良種粒數(shù)，則所求的概率為： 因?yàn)?，X~B(4000,0.25),由棣莫弗-拉普拉斯定理，有一批種子中良種占，從中任取6000粒，問能以0.99的概率保證其中良種的比例與相差多少？這時(shí)相應(yīng)的良種粒數(shù)落在哪個(gè)范圍？解設(shè)X為6000粒種子中良種粒數(shù)，設(shè)所求的差異為p,則所求的概率為： 因?yàn)?，X~B(6000,1/6),E(X)=np=1000,D(X)=np(1-p)=2500/3,由棣莫弗-拉普拉斯定理，有因此查表可得解得由于所以,良種的粒數(shù)大約落在區(qū)間(926,1074)之間.第五章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念在總體N(52，632)中隨機(jī)抽取一容量為36的樣本，求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率.解由題意，由定理1(1),在總體N(80，202)中隨機(jī)抽取一容量為100的樣本，求樣本均值與總體均值的絕對(duì)值大于3的概率是多少？解這里總體均值為m=80,s=20,n=100,由定理1(1)由題意得：求總體N(20，3)的容量分別為10，15的兩獨(dú)立樣本均值差的絕對(duì)值大于0.3的概率.解由定理2(1),由題意，所求的概率為設(shè)總體X的容量為10的樣本觀測(cè)值為4.5，2.0，0，1.0，1.5，3.4，4.5，6.5，5.0，0，3.5，4.0.試分別計(jì)算樣本均值與樣本方差S2的值.解樣本均值與樣本方差的簡(jiǎn)化計(jì)算如下：設(shè)樣本值x1，x2，…，xn的平均值為和樣本方差為，作變換，得到，它的平均值為，方差為，試證：，.證明,對(duì)某種混凝土的抗壓強(qiáng)度進(jìn)行研究，得到它的樣本值為 1936，1697，3030，2424，2020，2909，1815，2020，2310．采用下面簡(jiǎn)化計(jì)算法計(jì)算樣本均值和樣本方差.即先作變換，再計(jì)算與，然后利用第5題中的公式獲得和的數(shù)值.解做變換后，得到的樣本值為：-61，-303，1030，424，20，-91，-185，20，310某地抽樣調(diào)查了1995年6月30個(gè)工人月工資的數(shù)據(jù)，試畫出它們的直方圖，然后利用組中間值給出經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù). 440444 556 430380420500430420384 420404424340424412388472360476 376396428444366436364440330426解最小值,最大值,故(a,b]可取為(329,559],將(a,b]分為長(zhǎng)度為23的10個(gè)區(qū)間,列出頻數(shù)與頻率表如下：序號(hào)組(ti-1,ti),頻數(shù)頻率序號(hào)組(ti-1,ti)頻數(shù)頻率1(329,352]20.0676(444,467]002(352,375]30.17(467,490]20.0673(375,398]50.1678(490,513]10.0334(398,421]50.1679(513,536]005(421,444]110.36710(536,559]10.033 合計(jì)：301 由于第6組與第9組頻數(shù)為0，可將其與下一組合并。合并數(shù)據(jù)為8組，結(jié)果如下表： 序號(hào)組(ti-1,ti),頻數(shù)頻率序號(hào)組(ti-1,ti)頻數(shù)頻率1(329,352]20.0676(444,490]20.0672(352,375]30.17(490,513]10.0333(375,398]50.1678(513,559]10.0334(398,421]50.1675(421,444]110.367合計(jì)301 根據(jù)表上數(shù)據(jù)作出直方圖，如下圖所示：yyxOf(x)329559 再用組中值的頻率分布組中間值340.5363.5386.5409.5432.5467501.5534頻率0.0670.10.1670.1670.3670.0670.0330.033 可求出經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)F30(x).設(shè)X1，X2，…，X10為N（0，0.32）的一個(gè)樣本，求.解由于Xk是來自N(0,0.32)的樣本，則，k=1,2,…,10，所以有服從自由度n=10的c2分布.因此查表可知，=15.987故查分布表求下列各式中λ的值：（1）（2）解(1)P(c2(8)<l)=1-P(c2(8)>l)=0.99,查表得,即l=0.646(2)查表得l=30.587.查t分布表求下列各式中λ的值：（1）（2）解(1)查表得(2)查F分布表求下列各式的值：（1）（2）解(1) (2)已知X～t(n)，求證X2～F(1,n).證明因?yàn)閄～t(n),由定義,存在相互獨(dú)立的隨機(jī)變量T與Y，使得,

其中,又因T與Y相互獨(dú)立，故T2與Y相互獨(dú)立，，,則.設(shè)X1，X2，…，Xn是來自分布的樣本，求樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差.解由于,k=1,2,…,n,則或者設(shè)X1，X2，…，Xn為來自泊松分布的樣本，，S2分別為樣本均值和樣本方差，求E()，D()，E(S2).解由于,k=1,2,…,n,則 設(shè)X1，X2，X3，X4為來自總體N(0,1)的樣本，，當(dāng)a，b為何值時(shí)，，且自由度n是多少？解 由于X1，X2，X3，X4相互獨(dú)立，均服從N(0,1)正態(tài)分布，因此則,，, 即 因此，X服從分布，自由度n=2,并且.設(shè)在總體中抽取一容量為16的樣本，這里均為未知，求：（1），其中S2為樣本方差；（2）D(S2).解(1)因 查表,得,因此所以(2)設(shè)X1，X2，…，X16是來自總體X～的樣本，和S2分別是樣本均值和樣本方差，求k使得解因由定理1(4),即由于,因此，,查t分布表(n=15,a=0.05),可得，-4k=1.7531解得設(shè)X1，X2，…，Xn是來自正態(tài)總體的樣本，和S2分別是樣本均值和樣本方差，又設(shè)，且與X1，X2，…，Xn獨(dú)立，試求統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布.解因?yàn)?，所以因而又因?yàn)閁,V相互獨(dú)立,所以.PAGEPAGE88第六章參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)使用一測(cè)量?jī)x器對(duì)同一量進(jìn)行12次獨(dú)立測(cè)量，其結(jié)果為（單位：毫米）232.50 232.48 232.15 232.53 232.45 232.30232.48 232.05 232.45 232.60 232.47 232.30試用矩法估計(jì)測(cè)量值的均值和方差（設(shè)儀器無系統(tǒng)誤差）.解.設(shè)樣本值(1.30.61.72.20.31.1)來自具有密度f(wàn)(x)＝，0≤x≤β的總體，試用矩法估計(jì)總體均值、總體方差以及參數(shù)β.解我們以作為總體均值的估計(jì)量，以作為總體方差的估計(jì)量，則有樣本的一階原點(diǎn)矩由矩法估計(jì)得即另由矩法估計(jì)得隨機(jī)地取用8只活塞環(huán)，測(cè)得它們的直徑為（單位：毫米）74.001， 74.005， 74.003， 74.001，74.000， 73.998， 74.006， 74.002.試求總體均值μ及方差σ2的矩估計(jì)值，并求樣本方差S2.解我們以作為總體均值的估計(jì)量，以作為總體方差的估計(jì)量，則有：即 設(shè)樣本X1，X2，…，Xn來自指數(shù)分布求參數(shù)的矩估計(jì)量.解總體X的一階原點(diǎn)矩： 總體X的二階中心矩：由矩法，應(yīng)有解這個(gè)方程，得對(duì)容量為n的樣本，求密度函數(shù)中參數(shù)a的矩估計(jì)值.解總體X的一階原點(diǎn)矩：,由矩法，有解得設(shè)X～B(1,p)，X1，X2，…，Xn是來自X的一個(gè)樣本，試求參數(shù)p的最大似然估計(jì)量.解設(shè)X1，X2，…，Xn是取自總體X的樣本，由X~B(1，p),x1，x2，…，xn是相應(yīng)于樣本X1，X2，…，Xn的一個(gè)樣本值，似然函數(shù)為：, ,令則有解得p的最大似然估計(jì)值為因此,相應(yīng)的最大似然估計(jì)量為設(shè)總體X服從幾何分布，它的分布律為X1，X2，…，Xn為X的一個(gè)樣本，求參數(shù)p的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量.解(1)總體X的一階原點(diǎn)矩：樣本的一階原點(diǎn)矩：由矩估計(jì)，有所以，(2)設(shè)X1，X2，…，Xn是取總體X的樣本，x1，x2，…，xn是相應(yīng)于樣本X1，X2，…，Xn的一個(gè)樣本值，似然函數(shù)為： , 令,則有解得p的最大似然估計(jì)值為 因此,相應(yīng)的最大似然估計(jì)量為設(shè)總體X在上服從均勻分布，未知，x1，x2，…，xn是一個(gè)樣本值，試求的最大似然估計(jì)量.解由題，總體X的密度函數(shù)為：，似然函數(shù)為根據(jù)最大似估計(jì)的思想，L越大，樣本觀察值越可能出現(xiàn).考慮L的取值，要使L取值最大，(b-a)應(yīng)最小.因?yàn)?所以，當(dāng)時(shí)，似然函數(shù)取最大值因此設(shè)總體X服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布，概率密度為 其中，參數(shù)θ>0為未知，又設(shè)X1，X2，…，Xn是來自X樣本，試證：nZ＝n(min（X1，X2，…，Xn））是θ的無偏估計(jì)量.解因?yàn)?所以是的無偏估計(jì)量.而具有概率密度所以有,即nZ是q的無偏估計(jì)量.設(shè)從均值為m，方差為s2>0的總體中分別抽取容量為n1，n2的兩個(gè)獨(dú)立樣本，和分別是兩樣本的均值，試證：對(duì)于任意常數(shù)a，b（a＋b＝1），Y＝a＋b都是m的無偏估計(jì)，并確定常數(shù)a，b，使D(Y)達(dá)到最小.解由題意，，,相互獨(dú)立,則所以，Y是的無偏估計(jì).因?yàn)橛捎赼+b=1,所以有 =，對(duì),有極小值,此時(shí)，D(Y)有極小值，代入(a+b=1)可得即當(dāng)，，達(dá)到最小值.設(shè)分別自總體和中抽取容量為n1，n2的兩個(gè)獨(dú)立樣本，其樣本方差分別為.試證：對(duì)于任意常數(shù)a，b（a＋b＝1），Z＝a＋b都是s2的無偏估計(jì)，并確定常數(shù)a，b，使D(Z)達(dá)到最小.解由題意，相互獨(dú)立,則所以，Z是的無偏估計(jì).又 ,所以同理因此有由于a+b=1,由10題的結(jié)果，可得當(dāng)，，D(Z)有極小值，最小值為：從一大批電子管中隨機(jī)抽取100只，抽取的電子管的平均壽命為1000小時(shí).設(shè)電子管壽命服從正態(tài)分布，已知均方差s＝40小時(shí).以置信度0.95求出整批電子管平均壽命μ的置信區(qū)間.解由題意,這是方差已知的總體均值的區(qū)間估計(jì)，結(jié)果為,其中n=100,查表可得=1.96代入得：,即整批電子管平均壽命的置信區(qū)間為(992.16,1007.84)燈泡廠從某天生產(chǎn)的一批燈泡中隨機(jī)抽取10只進(jìn)行壽命試驗(yàn)，測(cè)得數(shù)據(jù)如下（單位：小時(shí)）1050， 1100， 1080， 1120， 1200，1040， 1130， 1300， 1200， 1250，設(shè)燈泡壽命服從從正態(tài)分布，試求出該天生產(chǎn)的整批燈泡壽命的置信區(qū)間（a＝0.05）.解這是未知方差，求m的置信區(qū)間.由樣本值可計(jì)算得 查表得,代入可得、 即該天生產(chǎn)的整批燈泡的壽命的置信區(qū)間為(1084.72,1029.28)從自動(dòng)機(jī)床加工的同類零件中抽取10件，測(cè)得零件長(zhǎng)度為（單位：毫米）12.15， 12.12， 12.01, 12.28， 12.09，12.03， 12.01， 12.11， 12.06， 12.14，設(shè)零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布.求：(1)方差s2的估計(jì)值；(2)方差s2的置信區(qū)間(a＝0.05).解（1）這里使用樣本方差S2作為s2的無偏估計(jì)量. 由于0.0066（2）這是未知期望，求方差s2的置信區(qū)間.由于查表可知，代入可得所以，方差s2的置信區(qū)間為(0.00314,0.02215)冷抽銅絲的折斷力服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批銅絲中任取10根，試驗(yàn)折斷力，得數(shù)為（單位：牛頓）584，578，572，570，568，572，570，572，596．求折斷力均方差s的置信區(qū)間（a＝0.02）.解這是未知期望，求均方差s的置信區(qū)間.計(jì)算可得 并且查表可知，代入可得所以，均方差s的置信區(qū)間為(5.61,18.07), 隨機(jī)地從A批導(dǎo)線中抽取4根，又從B批導(dǎo)線中抽取5根，測(cè)量電阻數(shù)據(jù)為（單位：歐姆）A批 0.143， 0.142， 0.143， 0.137B批 0.140， 0.142， 0.136， 0.138， 0.140設(shè)A批電阻服從分布，B批電阻服從.，兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，又，均未知，試求的置信度為0.95的置信區(qū)間.解這是雙正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì),其中未知.n1=4,n2=5,計(jì)算可得,,查表得,因此所以，m1-m2的置信度為0.95的置信區(qū)間為：(-0.00213,0.00623).兩臺(tái)機(jī)床加工同一種零件，現(xiàn)分別抽取6個(gè)和9個(gè)零件，測(cè)量其長(zhǎng)度，經(jīng)計(jì)算得樣本方差分別為＝0.245，＝0.357.設(shè)各機(jī)床生產(chǎn)零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，試求兩個(gè)總體方差比的置信區(qū)間（a＝0.05）解因m1,m2未知,故選擇統(tǒng)計(jì)量,這里,當(dāng)a=0.05時(shí),查表可得因此,故所求的置信區(qū)間為(0.1424,4.6392).為了研究磷肥的增產(chǎn)作用，選20塊條件基本相同的土地，10塊施磷肥，10塊不施磷肥，所得產(chǎn)量（單位：斤）如下：不施磷肥： 560，590，560，570，580，570，600，550，550，570施磷肥： 650，600，570，620，580，630，600，570，580，600設(shè)兩種情況下畝產(chǎn)量都是正態(tài)分布，且方差相同，試求m1-m2的置信度為0.95的置信區(qū)間.解這是雙正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì),其中未知.n1=10,n2=10,計(jì)算可得,,查表得,因此所以，m2-m1的置信度為0.95的置信區(qū)間為：(9.23,50.77)機(jī)器A和機(jī)器B生產(chǎn)同一種規(guī)格內(nèi)徑的鋼管，隨機(jī)抽取A生產(chǎn)的18根鋼管，測(cè)得樣本方差＝0.34（mm2），B生產(chǎn)的13根鋼管的樣本方差＝0.29（mm2）.設(shè)兩樣本相互獨(dú)立，兩總體分別服從正態(tài)分布和，,,均未知，試求兩個(gè)內(nèi)徑總體方差比的置信度為0.90的置信區(qū)間.解因未知,故選擇統(tǒng)計(jì)量,這里,當(dāng)a=1-0.9=0.1時(shí),查表可得因此,故所求的置信區(qū)間為(0.454,2.79)某電器零件的平均電阻一直保持在2.64Ω，改變加工工藝后，測(cè)得100個(gè)零件的平均電阻為2.62Ω，如改變前后電阻的均方差保持在0.06Ω，問新工藝對(duì)此零件的電阻有無顯著影響（a＝0.01）？解依題意，檢驗(yàn)假設(shè)H0：m1=m2，選擇統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0為真時(shí)，U~N(0,1),這里,則：.又由a=0.01,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得，因?yàn)閨u|=3.33>2.75,落在拒絕區(qū)域內(nèi)，因而應(yīng)拒絕假設(shè)H0.即可以說新工藝對(duì)零件的電阻有顯著影響.從某種試驗(yàn)物中取出24個(gè)樣品，測(cè)量其發(fā)熱量，計(jì)算得=11958，樣本均方差S＝316.若發(fā)熱量是服從正態(tài)分布的，試問可否認(rèn)為發(fā)熱量的期望值為12100（a=0.05）？解依題意，檢驗(yàn)假設(shè)H0:m=12100，由于總體方差未知，所以選擇統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0為真時(shí)，T~t(n-1),這里,則：又由a=0.05,查t分布表得，因?yàn)閨t|=2.20>2.069,落在拒絕區(qū)域內(nèi)，因而應(yīng)拒絕假設(shè)H0.即不能認(rèn)為發(fā)熱量的期望值為12100.某廠生產(chǎn)的銅絲折斷力（牛頓）服從N（576，64）.某天抽取10根銅絲進(jìn)行折斷試驗(yàn)，測(cè)得結(jié)果為578，572，570，568，572，570，572，596，586，584.是否可以認(rèn)為該天生產(chǎn)的銅絲折斷力的方差也是64（α＝0.05）？解依題意，這是期望已知時(shí),檢驗(yàn)s2.檢驗(yàn)假設(shè)H0:s2=64，選擇統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0為真時(shí)，計(jì)算得：又由a=0.05,查分布表得,因?yàn)?落在接受區(qū)域內(nèi)，因而應(yīng)接受假設(shè)H0.即可以認(rèn)為該天生產(chǎn)的銅絲的方差也是64.已知某種電子元件的壽命服從N(m，1502），其中m未知，現(xiàn)在從一批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取26個(gè)樣品進(jìn)行測(cè)試，測(cè)得它們的平均壽命為1637小時(shí)，試問：消費(fèi)者能否認(rèn)為這批產(chǎn)品的平均壽命μ至少達(dá)到1600小時(shí)（a＝0.05）？23.解依題意，檢驗(yàn)假設(shè)H0:m≥1600，選擇統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0為真時(shí)，U~N(0,1),這里,則：又由a=0.05,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得，因?yàn)閡=1.233<1.645,落在拒絕區(qū)域內(nèi)，因而應(yīng)拒絕假設(shè)H0.即不能認(rèn)為這批產(chǎn)品的平均壽命至少達(dá)到1600小時(shí).一臺(tái)自動(dòng)車床加工零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，原來的加工精度=0.18.工作一段時(shí)間后，抽取31件加工完的零件，測(cè)得樣本方差s2＝0.267.問這臺(tái)車床是否保持原來的加工精度（α＝0.05）？解依題意，這是期望未知時(shí)，檢驗(yàn)s2.檢驗(yàn)假設(shè)H0:=0.18，選擇統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0為真時(shí)，,計(jì)算得：又由a=0.05,查分布表得，,因?yàn)?落在接受區(qū)域內(nèi)，因而應(yīng)接受假設(shè)H0.即可以認(rèn)為這臺(tái)機(jī)床保持原來的加工精度.某種羊毛在處理前后各抽取一個(gè)樣本，測(cè)得含指率如下：處理前 0.19，0.18，0.21，0.30，0.66，0.42，0.08，0.12，0.30，0.27.處理后 0.15，0.13，0.07，0.24，0.19，0.04，0.08，0.20.問經(jīng)過處理后含脂率（假定含脂率服從正態(tài)分布且方差相等）有無顯著減少（α＝0.05）？解依題意，這是兩個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn),其中.設(shè)處理前后含脂率的均值分別為,檢驗(yàn)假設(shè)H0:，備擇假設(shè)：H1:選擇統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0為真時(shí)，,計(jì)算得：又由a=0.05,查分布表得因?yàn)?落在拒絕區(qū)域內(nèi)，因而應(yīng)拒絕假設(shè)H0.即認(rèn)為處理后含脂率顯著減少.兩臺(tái)機(jī)床加工同一零件，分別取6個(gè)和9個(gè)零件測(cè)量其長(zhǎng)度.計(jì)算得＝0.345，＝0.257，假定零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，問是否可認(rèn)為兩臺(tái)機(jī)床加工的零件長(zhǎng)度的方差顯著差異（α＝0.05）？解依題意，這是兩個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn).檢驗(yàn)假設(shè)H0:，備擇假設(shè)：H1:選擇統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0為真時(shí)，,計(jì)算得：又由a=0.05,查F分布表得，因?yàn)?故應(yīng)接受假設(shè)H0.即認(rèn)為兩臺(tái)機(jī)床加工的零件長(zhǎng)度的方差異不顯著.使用A(電學(xué)法)與B(混合法)兩種方法來研究冰的潛熱，樣本都是－0.72℃的冰.下列數(shù)據(jù)是每克冰從－0.72℃變?yōu)?℃水的過程中的熱量變化（卡/克）：方法A 79.98，80.04，80.02，80.04，80.03，80.04，80.03，79.97，80.02,80.00, 80.02，80.05.方法B 80.02，79.94，79.97，79.98，79.97，80.03，79.95，79.97.假定用每種方法測(cè)得的數(shù)據(jù)都具有正態(tài)分布，試問這兩種方法的平均性能有無顯著差異（α＝0.05）？解依題意，需要先檢驗(yàn)兩個(gè)總體方差比.設(shè)測(cè)量總體分別為X~,Y~.檢驗(yàn)假設(shè)H0:，備擇假設(shè)：H1:選擇統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0為真時(shí)，,這里n1=13,n2=7計(jì)算得：，又由a=0.05,查F分布表得，因?yàn)?故應(yīng)接受假設(shè)H0.即兩測(cè)試總體的方差相等.在未知的情況下,檢驗(yàn)X，Y的期望差.檢驗(yàn)假設(shè)H0:，備擇假設(shè)：H1:,選擇統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0為真時(shí)，,計(jì)算得： 又由a=0.05,查分布表得因?yàn)閨t|=3.297>2.093,所以拒絕假設(shè)H0,說明這兩種方法的平均性能有明顯差異.使用兩種不同的儀器，測(cè)量某一物體的長(zhǎng)度，得數(shù)據(jù)如下：第一種儀器 97，102，103，96，100，101，100.第二種儀器 100，101，103，98，97，99，102，101，98，101.能否認(rèn)為第二種儀器比第一種儀器的精度高（α＝0.05）？解依題意，這是兩個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn).檢驗(yàn)假設(shè)H0:，備擇假設(shè)：H1:.選擇統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0為真時(shí)，,計(jì)算得：，又由a=0.05,查F分布表得，因?yàn)?故應(yīng)接受假設(shè)H0.即不能認(rèn)為第一種儀器比第二種儀器精度高.從兩處煤礦的抽樣中，分析其含灰率（％）如下：甲礦24.13，20.8，23.7，21.3，17.4.乙礦18.2，16.9，20.2，16.7.假定兩礦含灰率都服從正態(tài)分布，問兩礦含灰率有無顯著差異（α＝0.05）？解依題意，需要先檢驗(yàn)兩個(gè)總體方差比.設(shè)測(cè)量總體分別為X~,Y~.檢驗(yàn)假設(shè)H0:，備擇假設(shè)：H1:選擇統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0為真時(shí)，,這里n1=5,n2=4計(jì)算得：， 又由a=0.05,查F分布表得，因?yàn)?故應(yīng)接受假設(shè)H0.即兩測(cè)試總體的方差相等.在未知的情況下,檢驗(yàn)X，Y的期望差.檢驗(yàn)假設(shè)H0:，備擇假設(shè)：H1:,選擇統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0為真時(shí)，,計(jì)算得： 又由a=0.05,查分布表得因?yàn)閨t|=2.245>2.364,所以接受假設(shè)H0,即兩礦含灰量無有明顯差異.對(duì)兩批同類無線電的電阻X，Y進(jìn)行測(cè)試，測(cè)得結(jié)果為（單位：歐姆）X 0.140，0.138，0.143，0.141，0.144，0.137.Y 0.135，0.140，0.142，0.136，0.138，0.140，0.141.假定兩批元件的電阻X，Y都服從正態(tài)分布，檢驗(yàn)兩批無線電元件的電阻的方差是否相等（α＝0.05）.解依題意，這是兩個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn).檢驗(yàn)假設(shè)H0:，備擇假設(shè)：H1:選擇統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0為真時(shí)，,計(jì)算得：，又由a=0.05,查F分布表得，因?yàn)?故應(yīng)接受假設(shè)H0.即可以認(rèn)為兩批無線電元件的電阻相等.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第一章概率論的基本概念§2．樣本空間、隨機(jī)事件1．事件間的關(guān)系則稱事件B包含事件A，指事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生稱為事件A與事件B的和事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A，B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生稱為事件A與事件B的積事件，指當(dāng)A，B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生稱為事件A與事件B的差事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生、B不發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生，則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的，指事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，基本事件是兩兩互不相容的，則稱事件A與事件B互為逆事件，又稱事件A與事件B互為對(duì)立事件2．運(yùn)算規(guī)則交換律結(jié)合律分配律徳摩根律§3．頻率與概率定義在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值稱為事件A發(fā)生的頻率概率：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對(duì)于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P（A），稱為事件的概率1．概率滿足下列條件：（1）非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件A（2）規(guī)范性：對(duì)于必然事件S（3）可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，有（可以?。?．概率的一些重要性質(zhì)：（i）（ii）若是兩兩互不相容的事件，則有（可以取）（iii）設(shè)A，B是兩個(gè)事件若，則，（iv）對(duì)于任意事件A，（v）（逆事件的概率）（vi）對(duì)于任意事件A，B有§4等可能概型（古典概型）等可能概型：試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素，試驗(yàn)中每個(gè)事件發(fā)生的可能性相同若事件A包含k個(gè)基本事件，即，里§5．條件概率定義：設(shè)A,B是兩個(gè)事件，且，稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件1。非負(fù)性：對(duì)于某一事件B，有2。規(guī)范性：對(duì)于必然事件S，3可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，則有乘法定理設(shè)，則有稱為乘法公式全概率公式：貝葉斯公式：§6．獨(dú)立性定義設(shè)A，B是兩事件，如果滿足等式，則稱事件A,B相互獨(dú)立定理一設(shè)A，B是兩事件，且，若A，B相互獨(dú)立，則定理二若事件A和B相互獨(dú)立，則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立：A與第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)，稱為隨機(jī)變量§2離散性隨機(jī)變量及其分布律離散隨機(jī)變量：有些隨機(jī)變量，它全部可能