2021屆百師聯(lián)盟（全國(guó)卷II）高三一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（一） 數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2021屆百師聯(lián)盟(全國(guó)卷II)高三一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考(一)數(shù)學(xué)

(文)試題

一、單選題

(R1V

1.設(shè)z=---/,其中i是虛數(shù)單位，則|z|=()

、22,

A.gB.2C.1D.y]2

【答案】C

【分析】先根據(jù)完全平方公式和復(fù)數(shù)的運(yùn)算計(jì)算出z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的求法解出即可.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模的求法，屬于基礎(chǔ)題.

2.已如集合4=卜,20},集合3=卜卜=山(/+%一2)),則AB=()

A.(U+oo)B.(-2,1)C.[0,1)D.(-2,-H?)

【答案】A

【分析】求出集合5,再利用集合的交運(yùn)算即可求解.

【詳解】解：集合6={x|x2+x—2〉0}={x|x<—2或x>l},

所以A3=(1,+oo),

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了集合的基本運(yùn)算、對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域，考查了基本運(yùn)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

3.函數(shù)/(x)=2sin2x-cos2x的最小正周期為()

八%n

A.乃B.2"C.—D.-

24

【答案】A

【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)/(x)的解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的周期公式可求得

結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(x)=2sin2x-cos2x=75sin(2x-(p),其中tan°=g,且。為銳角,

所以函數(shù)〃x)的最小正周期7=年="，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)周期的求解，考查了輔助角公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

4.一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，若它所經(jīng)過(guò)的路程與時(shí)間的關(guān)系為s(r)=g/+i,設(shè)其在時(shí)間

段［1,2］內(nèi)的平均速度為匕m/s,在，=2時(shí)的瞬時(shí)速度為為m/s,乜=()

%

1752

A.-B.—C.-D.一

31263

【答案】B

【分析】求出平均速度和瞬時(shí)速度，即得解.

【詳解】由題意，該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段口,2］內(nèi)的平均速度

因?yàn)?'(/)=/,

匕=—m/s

3

所以s'(2)=4,即該質(zhì)點(diǎn)在，=2時(shí)的瞬時(shí)速度為=4m/s,

v,7

所以-

v212

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平均速度和瞬時(shí)速度的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌

握水平.

5.已知sin6=a，,貝ijsin(兀-2。)=()

AV15?V15「而nV15

A.--------B.------C.--------D.------

4488

【答案】D

【分析】由己知條件，利用和sin2e+cos2e=l，解得cos。，再利用誘導(dǎo)

公式即可求解

1f7tA

【詳解】sin6=：,6*e0,—,sin?d+cos?8=1，

4V2J

解得cos6=]^，所以，sin(7i-2^)=sin20=2sin0cos0=>

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的輔助公式和誘導(dǎo)公式的使用，屬于基礎(chǔ)題

6.已知某函數(shù)的圖象如圖所示，則其解析式可以是()

A.y=cos(sinx)B.j=sin(sinx)c.y=cos(cosx)

D.y=sin(cosx)

【答案】D

【分析】利用函數(shù)的奇偶性，特殊值，及函數(shù)的取值范圍依次判斷，利用排除法，即可

得出結(jié)果.

【詳解】解：由圖象知，該函數(shù)為偶函數(shù)，排除B選項(xiàng)；

當(dāng)％=0時(shí)，0<y<l,而cos(sinO)=cosO=l,排除A選項(xiàng)；

令1=cosxe[-l,l],所以cos(cosx)>0,排除C選項(xiàng)，

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖像和性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題.

7.已知向量4=(2,—1)，b=(-2,4)?c=(x,l)，若[，2-2aJ〃c,則“在°上的投

影為()

.工3夜R37204近nV2

2222

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出了-2：=(-6,6)，根據(jù)向量平行的性質(zhì)得出x=—l,

從而得出c：=(-1,1)，最后根據(jù)向量的模和向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可求出;在最上的投

影.

【詳解】解：由題可知,a=(2,—I)，b=(—2,4)?c二(x』),

—>—>

則8-24=(-6,6),

9-24虎，則有6x=-6,解得：x=-l，

所以］=(一1,1),則卜卜=3,

a-c2x(-1)+(-1)x1—33>/2

則:在［上的投影為耳=/F=F，

即：在最上的投影為-孚.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及平面向量的模和數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3

22

8.已知圓C：x+y=r(r>0),設(shè)人q：圓。上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線

&+y-2=0的距離為:，貝UP是4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】先判斷出圓心到直線的距_離為1;，再分類討論/■與一1,一3的關(guān)系，進(jìn)一步確定

圓上點(diǎn)與直線的距離關(guān)系即可

【詳解】圓。的圓心為(0,0),其到直線Gx+y-2=0的距離為1,

當(dāng)0<r<工時(shí)，圓上沒(méi)有點(diǎn)到直線的距離為工；

22

當(dāng)r=，時(shí)，圓上有1個(gè)點(diǎn)到直線的距離為

22

131

當(dāng)］時(shí)，圓上有2上點(diǎn)到直線的距離為5；

31

當(dāng)r=一時(shí)，圓上有3點(diǎn)到直線的距離為；；

22

31

當(dāng)r〉一時(shí)，圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為:；

22

13

要使圓。上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線百x+y-2=0的距離為萬(wàn)，則匚所以夕是q的

充要條件，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查圓上的點(diǎn)與直線的距離關(guān)系的判斷，分類討論是解題關(guān)鍵，屬于中檔

題

9.如圖所示是某彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的部分圖象，則下列判斷錯(cuò)誤的是()

A.該彈簧振子的振幅為2cm

B.該彈簧振子的振動(dòng)周期為L(zhǎng)6s

C.該彈簧振子在0.2s和1.0s時(shí)振動(dòng)速度最大

D.該彈簧振子在0.6s和1.4s時(shí)的位移為零

【答案】C

【分析】由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象可得出該彈簧振子的振幅、最小正周期，可判斷AB選項(xiàng)的正

誤，再根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的幾何意義可判斷CD選項(xiàng)的正誤.

【詳解】由圖象及簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的有關(guān)知識(shí)知，該彈簧振子的振幅為2"，，振動(dòng)周期為

2x(1-0.2)=1.6$,

當(dāng)r=0.2s或LOs時(shí)，振動(dòng)速度為零，該彈簧振子在0.6s和1.4s時(shí)的位移為零.

所以，ABD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖象的應(yīng)用，考查振幅、周期、振動(dòng)速度和位移的理解，屬

于基礎(chǔ)題.

10.已知函數(shù)/(X)定義在［—2,2］上，且滿足/(x)+〃—x)=0,當(dāng)xe［—2,0］時(shí)，

/(x)=V+sinx,則不等式/(%-1)<"4+2力的解集是()

A.［-1,3］B.{11}C.［—3,-1］D.［—3,3］

【答案】B

【分析】推導(dǎo)出函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，且函數(shù)在“X)在區(qū)間［-2,2］上單調(diào)遞增，進(jìn)而

可得出關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式組，由此可解得不等式/(x-l)</(4+2x)的解集.

【詳解】函數(shù)/(x)=d+sinx的定義域?yàn)椋郇D2,2］,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sinx=-f(x),函數(shù)/(x)為奇函數(shù).

當(dāng)xe［—2,0］時(shí)，/(x)=x3+sinx,/,(x)=3x2+cosx.

當(dāng)xe［—1,0］時(shí)，./"'(X)=3X2+COSX>0；當(dāng)無(wú)時(shí)，

/'(x)=3幺+COSXN3+COSX>0.

由于/(X)為奇函數(shù),該函數(shù)在［0,2］上也為增函數(shù),

由于函數(shù)“X)在區(qū)間［—2,2］上連續(xù)，所以，函數(shù)/(x)在區(qū)間［—2,2］上單調(diào)遞增.

-2<x-l<2

則/(x-l)</(4+2x)等價(jià)于,一244+2尤42,解得》=一1,

尤—1<4+2,x

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解函數(shù)不等式，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考

查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.

11.在A3c中，AB=ACABVAC,息M,N為ABC所在平面內(nèi)的一

點(diǎn)，且滿足前=2元—應(yīng)，|例*卜1，若啟=4泰+〃AZ，則幾+〃的最大值

為()

A.V2+1B.V2-1C.V2D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，由AM=2AC-AB'根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求

出M的坐標(biāo)，設(shè)N(x,y),由M%=1,得出點(diǎn)N滿足(x+lp+Q—2)2=1,根據(jù)

圓的參數(shù)方程，可設(shè)點(diǎn)N(cose-l,sin6+2),根據(jù)=得出

4+〃=sine+cos9+l,最后利用化一公式和三角函數(shù)求最值，即可得出4+〃的最

大值.

【詳解】解：由題意，以4原點(diǎn)，AB，AC所直線為x軸，>軸建立直角坐標(biāo)系，

則A(0,0),6(1,0),C(0,l),

：.AM^2AC-AB，M(-1,2),

設(shè)N(x,y),因?yàn)镸N=1,

所以點(diǎn)N滿足(x+iy+(y—2)2=1,

則可設(shè)點(diǎn)N(cos6-l,sin6+2),

則由眾=九/+〃/，#(cos6>-l,sin6?+2)=(A,//),

所以4+〃=sine+cos夕+1=y/2sin|6>+—|+1<V2+1,

則丸+4的最大值為a+1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模的求法，考查利用化一公式化簡(jiǎn)和三角函數(shù)

求最值，還涉及圓的方程，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.設(shè)函數(shù)若不等式“如一/磯,/(xlnx+lnx)對(duì)任

-x，不，0

意的xe[1,3)都成立，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是()

A.(—,2]B.[0,2]C.[0,1]D.(-oo,l)

【答案】A

【分析】由已知得，求出〃幻在R上的單調(diào)性，然后，把問(wèn)題不等式

/(如一根),,/(%1!1工+111%)對(duì)任意的工€[1,3)者|5成立，轉(zhuǎn)化為，nr-〃4,xlnx+lnx

對(duì)任意的xw[l,3)恒成立，然后，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和極值來(lái)求出，"的范圍

【詳解】解：由函數(shù)/(x)解析式知，/(x)在R上單調(diào)遞增，若不等式

/(znr-m)?/(xlnx+Inx)對(duì)任意的xe[1,3)都成立,等價(jià)于mxxlnx+Inx

對(duì)任意的xe[L3)恒成立,令g(x)=(x+l)lnx-/nr+m,g'(x)=lnx+—+1-m，

令〃(x)=lnx+^+l,〃'(x)=J^..0(xe[l,3)),所以/i(x)在xe[l,3)單調(diào)遞增,

因?yàn)椤?力..刈1)=2,故當(dāng)〃4,2時(shí)，g'(x)..(),g(x)單調(diào)遞增；因?yàn)間(l)=O,所

以g(x)..O,滿足題意；當(dāng)〃?>2時(shí)，取〃?=3，x=2,

Q

^(x)=(x4-l)lnx-mr+m=31n2-6+3=31n2-3=ln—<0,不滿足；綜上：實(shí)

數(shù)團(tuán)的取值范圍為(f,2],

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和極值證明不等式恒成立問(wèn)題，屬于難題

二、填空題

13.已知復(fù)數(shù)z=」一+(a-l)i的虛部為零，i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)。=.

【答案】；

【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)的虛部為零，列方程可求得結(jié)果

[詳解]解：z=+=；+因?yàn)槠涮摬繛榱?，所以。?=0,

2

a=—.

2

故答案為：

2

【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題

14.如圖，某校園內(nèi)有一塊圓形草坪，其內(nèi)接A3C區(qū)域內(nèi)種植花卉(陰影部分),

已知AC=型巫m,BC=20m,3=45。，現(xiàn)為了擴(kuò)大花卉的種植面積，欲在弧BAC

3

2

上找一點(diǎn)M，使得新的種植區(qū)域△MBC的面積S(單位：m)最大，則S的值為

【答案】10073

【分析】由正弦定理求得A，設(shè)8W=xm,CM=ym,由正弦面積公式、余弦定理

和不等式放縮即可求解

BCAC205/^

【詳解】在A6C中，由正弦定理得，——=——，即20――,解得

sinAsinB.

sinAsin450

A=60°,

由“同弧所對(duì)圓周角相等”知NM=NA=60°,設(shè)BM=xm,CM^ym,

則SMBc=g孫sin知=乎孫，在ZXMBC中，由余弦定理得，

202=x2+y2-2xy-cosMx2+y2-xy..xy,故%儂”KD#,當(dāng)且

僅當(dāng)x=y=20時(shí)等號(hào)成立，所以新的種植區(qū)域zwec的面積s最大為ioog.

故答案為：100百.

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，余弦定理在解三角形實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用I,屬于中檔題

15.已知函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為r(x),任意xeR均有/'(x)―/(x)=e*,且

"1)=0,若函數(shù)g(x)=/(x)T在xe[T,”)上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)/的取值范

圍是.

【答案】11,-|

【分析】要使函數(shù)g(x)=.f(x)—/有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于曲線)=/(》)與，=。有兩個(gè)

交點(diǎn)，所以，先求出/(X),并利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)的單調(diào)性和極值，進(jìn)而，討論可以求

出f的范圍，即可求解

【詳解】設(shè)函數(shù)〃(%)=/①，則”(另=/，(力_/3,因?yàn)?'(x)—/(x)=e*,

eAeA

則〃'(x)=l,設(shè)7i(x)=x+C,則/?(1)=/I11=1+C=O,所以。=一1,即

e

/z(x)=x-L〃x)=(x-l)e\f'(x)=xe)則f(x)在［一1,0)單調(diào)遞減，在［(),+oo)

單調(diào)遞增,/(x)n.n=/(O)=-l,/(—1)=一一，要使函數(shù)g(力=/(%)7有兩個(gè)

零點(diǎn)，等價(jià)于曲線y=/(x)與y=r有兩個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)，的取值范圍為1-I,-：.

故答案為：(一1，一|?

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和極值，求函數(shù)方程的交點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題

三、雙空題

16.函數(shù)/(%)=85(蛆+9)卜〉0,|如<?的部分圖象如圖所示，則函數(shù)“X)的

解析式/(x)=.為了得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象，只需將“X)的圖象向左平移

m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，則加的最小值為.

【分析】觀察圖象根據(jù)周期求出。，再代入特殊點(diǎn)(一'!，1)求出9,即可寫(xiě)出函數(shù)解析

式；求出函數(shù)/(x)的圖象向左平移加(加>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解

析式，由變換后函數(shù)的奇偶性可求出機(jī)的最小值.

T4(2、

【詳解】設(shè)函數(shù)/(X)的最小正周期為T(mén)，由圖知w-一耳=2,

解得T=8=&=>0=：,所以/(x)=cos(：+°),

故―7+9=2471,cp—2/SI7C4--,A]￡Z,因?yàn)閨同＜5,

當(dāng)％1=0時(shí)滿足條件，（p=3,所以/（x）=cos+g,

607

（兀兀、（7t7t7T

向左平移機(jī)（/〃>0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=COS17（X+m）+5J=cos—x+—???+—

為奇函數(shù)，

JiTTJi_4

故W加+%■=a+%2兀，&2eZ,當(dāng)女2=。，機(jī)=§時(shí)滿足條件.

（TI兀4

故答案為：COS-X+-;

（46J3

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)圖象求三角函數(shù)解析式、余弦型函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題.

四、解答題

17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量;7=（1,1）,W=l,且12"0=氐

（1）求向量4，b的夾角。；

、U1

（2）設(shè)加=2a—A，n=ta+b，是否存在實(shí)數(shù)匕使加/〃？若存在，求出f的值；

若不存在，說(shuō)明理由.

兀111

【答案】（1）-；（2）存在f=-2使加//".

4

【分析】（1）根據(jù)|24-4=&求出。.0=1，再求向量。，匕的夾角夕即可；

（2）根據(jù)平行向量基本定理列方程組判斷即可.

【詳解】解：（1）因?yàn)閨|=1,|2。-0=石，|2〃一人（二5,4M,―4々萬(wàn)+1『二5,

結(jié)合卜|=>/2解得a,b=1，

即。?/?=M"cos0-V2x1xcos6=1=>cos0-,

又因?yàn)?。￡[0,可，所以。=：.

（2）要使加〃拉成立，則=丸〃，AGR?2w0,即2a—%+人），

2=At[t=-2ui

因?yàn)閍，6不共線，故<,,，解得，，即存在r=—2使加〃〃.

—1=/t[A=-1

【點(diǎn)睛】考查求向量夾角以及根據(jù)向量平行確定是否存在參數(shù)，中檔題.

18.已知頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸正半軸上的銳角々的終邊與單位圓交于點(diǎn)

A；,手，將角a的終邊繞著原點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)Q10<9<得到角B的終邊.

sin2a

(1)求的值;

2cosa-sin?a

（2）求cos尸+cos夕的取值范圍.

【答案】（1）2也;（2）cos^+cos^e---.

、22）

【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義可得sina=*，cosa=-,再利用二倍角的正弦

22

公式即可求解.

(2)由cos/3+coscp=cos[^+e）+cos0,利用兩角和的余弦公式可得

cosB+cos夕=百sin,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：（1）由題意得sina=立，1

cosa=一，

22

2x^x1

sin2a2sinacosa2226

所以，2coscif-sin2a2cosa-sin2a1

2x——V3

2~2

7

[ciq14cM

(2)COS/7+COS^9=cos—+(p+cos^=

、22>

化簡(jiǎn)得cos/?+cos。=

因?yàn)?<°<不，所以—<---(p<—，—<sin---(p<—

2633213/2

、

甘|

7

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義、三角恒等變換、正弦函數(shù)的性質(zhì)，需熟記公式,

屬于基礎(chǔ)題.

19.在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，Z?,c,WcosC+csinA=W.

（1）求角A;

（2）若。=26，c=2,求ABC的面積.

【答案】（1）A：］；（2）2A/3.

【分析】（1）首先根據(jù)正弦定理，邊角互化，再根據(jù)三角恒等變換，計(jì)算求得角A；

（2）根據(jù)余弦定理計(jì)算求邊人，再根據(jù)三角形的形狀求A8c的面積.

【詳解】解：（1）因?yàn)榘賏cosC+csinA=，由正弦定理得

^3sinAcosC+sinCsinA=6sin8,

又因?yàn)閟in8=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAsinC=>/3cosAsinC>

又A?（）,7i）,所以A=￡

b+ca

（2）由（1）知4=：,結(jié)合余弦定理，cosA=''-'=b-+4-\2=解得

32hc4Z?2

b=4,

所以I”=—Z?csinA=—x4x2x^^=2^.

△ABC222

【點(diǎn)睛】本題考查解三角形，三角恒等變形，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.

20.2020年5月政府工作報(bào)告提出，通過(guò)穩(wěn)就業(yè)促增收保民生，提高居民消費(fèi)意愿和

能力.近日，多省市為流動(dòng)商販經(jīng)營(yíng)提供便利條件，放開(kāi)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”，但因其露天經(jīng)

營(yíng)的特殊性，易受到天氣的影響，一些平臺(tái)公司紛紛推出幫扶措施，賦能“地?cái)偨?jīng)

濟(jì)”.某平臺(tái)為某銷(xiāo)售商“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”的發(fā)展和規(guī)范管理投入了（xe［4,斜）萬(wàn)元的贊助

費(fèi)，已知該銷(xiāo)售商出售的商品為每件40元，在收到平臺(tái)投入的x萬(wàn)元贊助費(fèi)后，商品

的銷(xiāo)售量將增加到？=幾［10-1）萬(wàn)件，義e［061］為氣象相關(guān)系數(shù)，若該銷(xiāo)售商

出售>萬(wàn)件商品還需成本費(fèi)（40+5x+30y）萬(wàn)元.

（1）求收到贊助后該銷(xiāo)售商所獲得的總利潤(rùn)，萬(wàn)元與平臺(tái)投入的贊助費(fèi)x萬(wàn)元的關(guān)系

式；（注：總利潤(rùn)=贊助費(fèi)+出售商品利潤(rùn)）

（2）若對(duì)任意xe［4,8］萬(wàn)元，當(dāng)入滿足什么條件時(shí)，該銷(xiāo)售商才能不虧損？

【答案】⑴p=1002--A-4x-40,xe［4,8］（2）當(dāng)1滿足;le［0.9,l］時(shí),

x+2;

該銷(xiāo)售商才能不虧損.

【分析】（1）根據(jù)總利潤(rùn)=贊助費(fèi)+出售商品利潤(rùn)和已知得解；

（2）由題得25九..（"+1°）（"+2）在x?4,8］上恒成立,設(shè)〃x）=x+型+12,利

XX

用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得解.

【詳解】（1）由題意得〃=x+40X?110-----——［40+5x+30X?（10-------

=100/L-^-A-4x-40,xe［4,81.

x+2

（2）要使對(duì)任意xe［4,8］（萬(wàn)元）時(shí)，該銷(xiāo)售商才能不虧損，即有變形得

25%.（工+1°）（上+2）在無(wú)?4,8］上恒成立，

X

=（x+10）（x+2）?+12x+2020

而------------=------------=x+—+12,

XXX

20on

設(shè)/（x）=x+—+12,/'（%）=1——,

XX

令=0解得x=±2否，

所以函數(shù)/（x）在［4,2石］單調(diào)遞減，在［2石,8］單調(diào)遞增，

f（x）a=max{/（4）,/（8）}‘因?yàn)?4）=21<〃8）=22.5,

所以有25%.22.5,解得有.0.9,

即當(dāng)/I滿足時(shí)，該銷(xiāo)售商才能不虧損.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)和不等式的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知

識(shí)的理解掌握水平.

21.已知函數(shù)〃%）=卷，+￥-%，其中aeR,e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)間;

⑵設(shè)g(x)=_xlnx,若對(duì)于任意xe(0,+oo),/(x)-g(x)<0恒成立，求a的取

值范圍.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(—8,0)；(2)1—8,一《J.

【分析】⑴求得r(x)=e'+2x-l,分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，可得出函數(shù)“X)的單

調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；

(2)利用參變量分離法得出+'>”,令見(jiàn)x)=xlnx—:+x,利用導(dǎo)數(shù)

exex

求得函數(shù)〃?(x)的最小值，即可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=e2+x2-x,所以/'(x)="+2x-l,

易和r(x)單調(diào)遞增且/(O)=0,

當(dāng)x<0時(shí)，/'(x)</'(0)=0；當(dāng)x〉0時(shí)，r(x)〉r⑼=0.

所以函數(shù)/(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+。)上單調(diào)遞增，

即函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+“)，單調(diào)遞減區(qū)間為(…,0)；

(2)對(duì)于任意xe(O,M),/(x)-g(x)<0恒成立，即+x〉q恒成立,

令〃z(x)="I""'"+",則〃z(x)=、｛in'+1),

令Mx)吟,〃(司=寧，

所以當(dāng)x?0,l)時(shí),成力>0,〃(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，h'(x)<0,//(x)單調(diào)遞減；

〃(x)max=〃(l)=?所以Mx)e(oe.

X(X、

令〃(％)=%,所以y[ln—^+1=Hn/+f,令〃(r)=Hn/+/,〃'(，)=Inr+2.

所以當(dāng)，jo，!卜r,單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，〃(r)>0,“⑺單調(diào)遞增.

”(Omin=〃(!)=一2,所以機(jī)(》)=沖土二H的最小值為一/?，即有

1

Q<---,

綜上：。取值范圍為1-8,--7j.

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等

式恒成立問(wèn)題，常用分類討論法與參變量分離法求解.

在參變量分離法中，一般利用以下原理來(lái)求解：

(1)VxeO,a</(x)<=>a</(^)min;(2)VxeO,a>f(x)<^>a>/(^),rax.

x=20cosa

22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線。的參數(shù)方程為(。為參數(shù))，

y=\/2sina

以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，大軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為

°sin[8+?)=2^2.

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)點(diǎn)尸為曲線C上點(diǎn)，求點(diǎn)/，到直線/距離的最小值.

22

【答案】⑴x+y-4=0；—+2L=i；（2）2>/2-75-

82

【分析】(1)利用cos2&+sin2a=1消去參數(shù)可得直線/的普通方程；化簡(jiǎn)

夕sin16+()=2&，將工=。854了二25畝。代入可得曲線。的直角坐標(biāo)方程；

（2）P（2-J1cosa,夜sina）,利用點(diǎn)到直線距離公式求出距離，根據(jù)三角函數(shù)的性

質(zhì)可求出最值.

x—2^2cosa

【詳解】解：(