2023年上海市寶山區(qū)中考數學一模試卷含答案解析

2023年上海市寶山區(qū)中考數學一模試卷

一.選擇題

1.如圖，在直角△ABC中，NC=90。，BC=1,tanA=1,以下判斷正確的是()

A.zA=30。B.AC=-C.AB=2D.AC=2

2

2.拋物線y=-4x2+5的開口方向()

A.向上B.向下C.向左D.向右

3.如圖，D、E在4ABC的邊上，如果EDIIBC,AE：BE=1：2,BC=6,那么正的模為()

A.-2B.-3C.2D.3

4.0O是以坐標原點O為圓心，5為半徑的圓，點M的坐標為(-3,4),那么點M與。O

的位置關系為()

A.M在00上B.M在OO內C.M在。O外D.M在。O右上方

5.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,/A=26。，以點C為圓心，BC為半徑的圓分別交AB、

AC于點D、點E,那么弧BD的度數為()

A.26°B.64°C.52°D.128°

6.二次函數y=ax2+bx+c(a/0)的圖象如下列圖，那么以下結論中正確的是()

A.ac>0B.當x>-l時，y<0C.b=2aD.9a+3b+c=0

二.填空題

7.如果：^=1，那么：二其________.

b2b

8.兩個相似比為1：4的相似三角形的一組對應邊上的中線比為.

9.如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，那么使△AED-△ABC的條件是

10.如圖，△ABC中，/C=90°,假設CDXAB于D,且BD=4,AD=9,那么CD=.

11.計算：2(3彳+4百-5>.

12.如圖，菱形ABCD的邊長為10,sinNBAC=g,那么對角線AC的長為________.

5

13.拋物線y=-2(x-3)2+4的頂點坐標是.

14.假設A(1,2),B(3,2),C(0,5),D(m,5)是拋物線y=ax2+bx+c圖象上的四

點，那么m=.

15.A(4,yi)、B(-4,y2)是拋物線y=(x+3)2-2的圖象上兩點，那么yi________y2.

16.OO中一條長為24的弦的弦心距為5,那么此圓的半徑長為.

17.如圖，在等邊△ABC內有一點D,AD=5,BD=6,CD=4,將△ABD繞A點逆時針旋

轉，使AB與AC重合，點D旋轉至點E,那么NCDE的正弦值為.

18.如圖，拋物線y=x2-2x-3交x軸于A(-1,0)、B[3,0),交y軸于C(0,-3),

M是拋物線的頂點，現將拋物線沿平行于y軸的方向向上平移三個單位，那么曲線CMB在

平移過程中掃過的面積為(面積單位).

三.解答題(8+8+8+8+10+10+12+14)

19.計算：Q々管呷—30。

3tan30-2sin45cot30°

20.某二次函數的對稱軸平行于y軸，圖象頂點為A(1,0),且與y軸交于點B(0,1)

(1)求該二次函數的解析式；

(2)設C為該二次函數圖象上橫坐標為2的點，記示=W，QB=b'試用g、E表示枳.

21.如圖是某個大型商場的自動扶梯側面示意圖，自動扶梯AC的坡度為1：2,AC的長度

為5泥米，AB為底樓地面，CD為二樓側面，EF為二樓樓頂，當然有EFIIABHCD,E為

自動扶梯AC的最高端C的正上方，過C的直線EGLAB于G,在自動扶梯的底端A測得

E的仰角為42。，求該商場二樓的樓高CE.

(參考數據：sin42°^,COS42。：夸，tan42°=2等)

22.如圖，以AB為直徑的。。與弦CD相交于點E,假設AC=2?,AE=3,CE=?,求

弧BD的長度.(保存n)

23.如圖，D為△ABC邊AB上一點，且CD分△ABC為兩個相似比為1：b的一對相似

三角形；(不妨如圖假設左小右大)，求：

(1)△BCD與△ACD的面積比；

(2)△ABC的各內角度數.

24.如圖，△ABC中，AB=AC=6,F為BC的中點，D為CA延長線上一點，NDFE=NB.

⑴求證：器第;

DFEF

(2)假設EFIICD,求DE的長度.

25.(1)二次函數丫=(x-1)(x-3)的圖象如圖，請根據圖象直接寫出該二次函數圖象經

過怎樣的左右平移，新圖象通過坐標原點？

12)在關于二次函數圖象的研究中，秦篆曄同學發(fā)現拋物線y=ax2-bx+c(a-0)和拋物線

y=ax2-bx+c(a#0)關于y軸對稱，基于協作共享，秦同學將其發(fā)現口訣化"a、c不變，b

相反"供大家分享，而在旁邊補筆記的胡莊韻同學聽成了"a、c相反，b不變”，并按此法

誤寫，然而按此誤寫的拋物線恰巧與原拋物線也對稱，請你寫出小胡同學所寫的與原拋物

y=(x-1)(x-3)的對稱圖形的解析式，并研究其與原拋物線的具體對稱情況；

(3)拋物線y=(x-1)(x-3)與x軸從左到右交于A、B兩點，與y軸交于點C,M是

其對稱軸上一點，點N在x軸上，當點N滿足怎樣的條件，以點N、B、C為頂點的三角形

與^MAB有可能相似，請寫出所有滿足條件的點N的坐標；

(4)E、F為拋物線丫=(x-1)(x-3)上兩點，且E、F關于D0)對稱，請直接寫

出E、F兩點的坐標.

26.(14分)如圖點C在以AB為直徑的半圓的圓周上，假設AB=4,ZABC=30°,D為邊

AB上一動點，點E和D關于AC對稱，當D與A重合時，F為EC的延長線上滿足CF=EC

的點，當D與A不重合時，F為EC的延長線與過D且垂直于DE的直線的交點，

(1)當D與A不重合時，CF=EC的結論是否成立？試證明你的判斷.

(2)設AD=x,EF=y求y關于x的函數及其定義域；

(3)如存在E或F恰好落在弧AC或弧BC上時，求出此時AD的值；如不存在，那么請

說明理由.

(4)請直接寫出當D從A運動到B時，線段EF掃過的面積.

2023年上海市寶山區(qū)中考數學一模試卷

一.選擇題

1.如圖，在直角△ABC中，NC=90。，BC=1,tanA=.，以下判斷正確的是()

A.ZA=30°B.AC=-C.AB=2D.AC=2

2

【考點】解直角三角形.

【專題】探究型.

【分析】根據在直角△ABC中，ZC=90°,BC=1,tanA=.，可以得到AC、BC的長，同時

tanA=[,tan3（F=YI可以判斷NA是否等于30。，從而可以得到問題的答案.

23

【解答】解：,??在直角△ABC中，NC=90。，BC=1,tanA=^,tanA=—,

2AC

BCJ

AC=tanA1，

~2

AB=VAC2+BC2=V22+12=V5>

tanA=—,tan30°=^^,

23

ZAw30",

應選D.

【點評】此題考查解直角三角形，解題的關鍵是明確題意，找出各邊之間的關系，進而判斷

選項是否正確.

2.拋物線y=-4x2+5的開口方向（）

A.向上B.向下C.向左D.向右

【考點】二次函數的性質.

【專題】探究型.

【分析】根據拋物線y=-4x2+5,可知二次項系數是-4,從而可以得到該函數的開口方向.

【解答】解：..?拋物線y=-4x2+5,-4<0,

???該拋物線的開口向下，

應選B.

【點評】此題考查二次函數的性質，解題的關鍵是由二次項系數可以判斷拋物線的開口方向.

3.如圖，D、￡在仆ABC的邊上，如果EDIIBC,AE：BE=1：2,BC=6,那么血的模為（）

A.-2B.-3C.2D.3

【考點】*平面向量.

【分析】由EDIIBC,可證得△AED?！鰽BC,然后根據相似三角形的對應邊成比例，求得

ED：BC=1：3,那么可得而=-]前，又由BC=6,即可求得血的模.

【解答】解：VEDIIBC,

△AED~△ABC,

ED：BC二AE：AB,

/AE：BE=1：2,

/.AE：AB=1：3,

ED：BC=1：3,

DE=-演,

..BC=6,

?"而4前=2.

應選c.

【點評】此題考查了平面向量的知識以及相似三角形的判定與性質.注意利用相似三角形的

性質，求得貢=￡箴是解此題的關鍵.

4.OO是以坐標原點0為圓心，5為半徑的圓，點M的坐標為（-3,4）,那么點M與。0

的位置關系為（）

A.M在00上B.M在。0內C.M在。0外D.M在00右上方

【考點】點與圓的位置關系；坐標與圖形性質.

【分析】根據勾股定理，可得0M的長，根據點與圓心的距離d,那么d>r時，點在圓外；

當d=i?時、點在圓上；當dVr時，點在圓內.

【解答】解：0M=6Z不=5,

0M=r=5.

應選：A.

【點評】此題考查了對點與圓的位置關系的判斷.關鍵要記住假設半徑為r,點到圓心的距

離為d,那么有：當d>r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上，當dVr時，點在圓內.

5.如圖，在RtZiABC中，ZC=90°,NA=26。，以點C為圓心，BC為半徑的圓分別交AB、

AC于點D、點E,那么弧BD的度數為（）

A.26°B.64°C.52°D.128°

【考點】圓心角、弧、弦的關系.

【分析】先利用互余計算出NB=64。，再利用半徑相等和等腰三角形的性質得到

NCDB=NB=64。，那么根據三角形內角和定理可計算出NBCD,然后根據圓心角的度數等

于它所對弧的度數求解.

【解答】解：NC=90°,NA=26。，

ZB=64°,

???CB=CD,

ZCDB=ZB=64。，

ZBCD=180°-64°-64°=52°,

???新的度數為52。.

應選：C.

【點評】此題考查了圓心角、弧、弦的關系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、

兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.

6.二次函數y=ax2+bx+c（axO）的圖象如下列圖，那么以下結論中正確的是（）

A.ac>0B.當x>-l時，y<0C.b=2aD.9a+3b+c=0

【考點】二次函數圖象與系數的關系.

【分析】A、由拋物線的開口方向，拋物線與y軸交點的位置即可確定a、c的符號；

B、根據拋物線與x軸的交點，可得出y<0時，x的取值范圍；

C、根據拋物線的對稱軸直接得出答案；

D、根據拋物線與x軸的交點和拋物線的對稱軸，即可得出拋物線與x軸的另一個交點，然

后把x=3代入方程即可求得相應的y的符號.

【解答】解：A、由拋物線的開口向上，得a>0,拋物線與y軸負半軸相交，得c<0,那

么ac<0,故本選項錯誤；

B、根據拋物線與x軸的交點，可得出yVO時，故本選項錯誤；

C、根據拋物線的對稱軸直接得出b=-2a,故本選項錯誤；

2a

D、根據拋物線與x軸的一個交點（-1,0）和拋物線的對稱軸x=l,即可得出拋物線與x

軸的另一個交點（3,0）,然后把x=3代入方程即9a+3b+c=0,故本選項正確；

應選D.

【點評】此題考查了二次函數圖象與系數的關系.二次函數y=ax2+bx+c（axO）系數符號由

拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數確定.

二.填空題

7.如果：仔建，那么：與J土

b2b2

【考點】分式的根本性質.

【專題】計算題.

【分析】由可知，2a=3b,再代入所求式進行化簡.

【解答】解：,?,14

b2

2a=3b,

,a-b_2a_2b_3b_2b_J.

"-b2b2b2'

故答案為之.

【點評】此題的關鍵是找到a,b的關系.

8.兩個相似比為1：4的相似三角形的一組對應邊上的中線比為

【考點】相似三角形的性質.

【分析】根據相似三角形對應中線的比等于相似比解答即可.

【解答】解：.?.兩個相似三角形的相似比為1：4,

這兩個相似三角形的一組對應邊上的中線比為1：4,

故答案為：1：4.

【點評】此題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形對應高的比、對應中線的比、對

應角平分線的比都等于相似比是解題的關鍵.

9.如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，那么使△AED-△ABC的條件是

ZAED=NB或NADE=NC或9

---------------------------ACAB

【考點】相似三角形的判定.

【專題】壓軸題；開放型.

【分析】由此題圖形相似己經有一個公共角，再找一組對應角相等或公共角的兩邊對應成比

例即可.

【解答】解：NA=NA,當NAED=NB,

△AED1"△ABC,

ZA=ZA,當NADE=NC,

&AED-△ABC,

業(yè)AD_AE

---ZA=ZA,t正

△AED-△ABC,

故答案為：ZAED=ZB或NADE=NC或柜年.

ACAB

【點評】此題主要考查學生對相似三角形的判定方法的掌握情況.

10.如圖，△ABC中，ZC=90°,假設CDJLAB于D,且BD=4,AD=9,那么CD=§.

【考點】射影定理.

【分析】根據射影定理得到等積式，代入數據計算即可.

【解答】解：：NC=90。，CD_LAB,

CD2=BD?AD=36,

CD=6.

故答案為：6.

【點評】此題考查的是射影定理的應用，掌握直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊

上射影的比例中項是解題的關鍵.

11.計算：2(3^+短)-5京生甌?

【考點】*平面向量.

【分析】直接利用平面向量的加減運算法那么求解即可求得答案.

【解答】解：2(3a+4J-,)-5a=6a+8b-5a=a+8b.

故答案為：a+8ij.

【點評】此題考查了平面向量的運算法那么.注意掌握去括號法那么是解此題的關鍵.

12.如圖，菱形ABCD的邊長為10,sinzBAC=±那么對角線AC的長為及.

5

【考點】菱形的性質.

【分析1根據菱形的性質可知AC_LBD,解三角形求出BO的長，利用勾股定理求出AO的

長，即可求出AC的長.

【解答】解：如下列圖：

V四邊形ABCD是菱形，

二ACJLBD,AO=CO,

3

在RtAAOB中,AB=10,sinzBAC=-,

5

B0_3

sinZBAC=

AB-5,

3

BO=-xlO=6,

5

AB2=OB2+AO2,

AO=7AB2-OBMIO2-62=8-

AC=2AO=16.

故答案為：16.

【點評】此題主要考查了菱形的性質、勾股定理、解直角三角形的知識；解答此題的關鍵是

掌握菱形的對角線互相垂直平分，此題難度不大.

13.拋物線y=-2(x-3)2+4的頂點坐標是(3,4).

【考點】二次函數的性質.

【分析】解析式為頂點式，可直接根據頂點式的坐標特點，求頂點坐標，從而得出對稱軸.

【解答】解：y=-2(x-3)2+4是拋物線的頂點式，

根據頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為(3,4).

故答案為：(3,4).

【點評】此題主要考查了二次函數的性質，關鍵是熟記：頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,頂點坐

標是(h,k),對稱軸是x=h.

14.假設A(1,2),B(3,2),C(0,5),D(m,5)是拋物線y=ax?+bx+c圖象上的四

點，那么m=4.

【考點】二次函數圖象上點的坐標特征.

【分析】根據對稱點A(1,2),B(3,2)得到拋物線的對稱軸為直線x=2,然后根據對稱

點C(0,5),D(m,5)得出號=2,即可求得m的值.

【解答】解：?「A(1,2),B(3,2)是拋物線y=ax2+bx+c圖象上的點，

二拋物線的對稱軸為直線X=E^=2,

2

???C(0,5),D(m,5)是對稱點，

.0+n_9

2

解得m=4

故答案為4.

【點評】此題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：根據對稱點(xi，m)、(X2,m)得到

拋物線的對稱軸為直線

2

15.A(4,yj、B(-4,y2)是拋物線y=(x+3)2-2的圖象上兩點，那么丫1>”.

【考點】二次函數圖象上點的坐標特征.

【分析】先求得函數y=(x+3)2-2的對稱軸為x=-3,再判斷A(4,yi)、B(-4,y2)

離對稱軸的遠近，從而判斷出yi與y2的大小關系.

【解答】解：由丫=(x+3)2-2可知拋物線的對稱軸為直線x=-3,

.?,拋物線開口向上，而點A(4,yi)到對稱軸的距離比B(-4,y2)遠，

yi>y2.

故答案為〉.

【點評】此題主要考查了二次函數圖象上點的特征，利用解析式得出對稱軸進而利用二次函

數增減性得出是解題關鍵.

16.。0中一條長為24的弦的弦心距為5,那么此圓的半徑長為裝.

【考點】垂徑定理；勾股定理.

【分析】利用垂徑定理得到C為AB的中點，由AB的長求出AC的長，在直角三角形AOC

中，由AC與OC的長，利用勾股定理求出OA的長即可.

【解答】解：如下列圖，

OCXAB,

AC=BC」AB=12,

2

在RtAAOC中，AC=12,OC=5,

根據勾股定理得：AO=,\/OC2+AC2=V52+12^13,

即此圓的半徑長為13；

故答案為：13.

【點評】此題考查了垂徑定理以及勾股定理；熟練掌握垂徑定理，由勾股定理求出AO是解

此題的關鍵.

17.如圖，在等邊AABC內有一點D,AD=5,BD=6,CD=4,將△ABD繞A點逆時針旋

轉，使AB與AC重合，點D旋轉至點E,那么nCDE的正弦值為到I

8

【考點】旋轉的性質.

【專題】計算題.

【分析】先根據等邊三角形的性質得AB=AC,ZBAC=60\再根據旋轉的性質得

ZDAE=ZBAC=60。,AD=AE,CE=BD=6,于是可判斷△ADE為等邊三角形，所以DE=AD=5,

作CH±DE于H,如圖，設DH=x,那么HE=DE-DH=5-x

,利用勾股定理得到42-x2=62-(5-x)2,解得x=5,那么可計算出CH=3/I然后根

22

據正弦的定義求解.

【解答】解：AABC為等邊三角形，

AB=AC,ZBAC=60°,

???△ABD繞A點逆時針旋轉，使AB與AC重合，點D旋轉至點E,

ZDAE=ZBAC=60",AD=AE,CE=BD=6,

???△ADE為等邊三角形，

DE=AD=5,

作CH_LDE于H,如圖，設DH=x,那么HE二DE-DH=5-x

在RtACDH中，CH2=CD2-DH2=42-x2,

在RSCEH中，CH2=CE2-EH2=62-(5-x)2,

42-X2=62-(5-x)2,解得x==,

在RtACDH中，CH=J42-

..,CH第W7

..sinZCDH=—=9=--—，

CD8

4

即sinZCDH=&X

一8

故答案為”.

8

【點評】此題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線

段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.解決此題的關鍵是求C點到DE的距離.

18.如圖，拋物線y=x2-2x-3交x軸于A(-1,0)、B[3,0),交y軸于C(0,-3),

M是拋物線的頂點，現將拋物線沿平行于y軸的方向向上平移三個單位，那么曲線CMB在

平移過程中掃過的面積為2(面積單位).

【考點】二次函數圖象與幾何變換.

【分析】由圖象可知曲線CMB在平移過程中掃過的面積=平行四邊形OCBD的面積，求得

四邊形OCBD的面積即可.

【解答】解；.??曲線CMB在平移過程中掃過的面積=平行四邊形OCBD的面積，

曲線CMB在平移過程中掃過的面積=%C?OB+4)C?BD=1x3x3+2x3x3=9,

2222

故答案為9.

【點評】題考查了二次函數圖象與幾何變換，由圖象可知曲線CMB在平移過程中掃過的面

積=平行四邊形OCBD的面積是解題的關鍵.

三.解答題[8+8+8+8+10+10+12+14)

3n2

1Q在筲七45°COS30°

T舁：3tan30°-2sin45°C0t3o°—

【考點】特殊角的三角函數值.

【分析】將特殊角的三角函數值代入求解.

_______1_______/V3\2

【解答】解：原式9yV2-_T_

_3X--2XT飛一

]V3

~V3-V2-T

=后血-4

=邛+百

【點評】此題考查了特殊角的三角函數值，解答此題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數值.

20.某二次函數的對稱軸平行于y軸，圖象頂點為A[1,0),且與y軸交于點B(0,1)

(1)求該二次函數的解析式；

(2)設C為該二次函數圖象上橫坐標為2的點，記示=W，而=E，試用W、藍示也.

【考點】*平面向量；待定系數法求二次函數解析式.

【分析】(1)由圖象頂點為A(1,0),首先可設該二次函數的解析式為：y=a(x-1)2,

又由與y軸交于點B[0,1),可利用待定系數法求得答案；

(2)首先求得點C的坐標，然后根據題意作出圖形，易求得前，然后由三角形法那么，求

得答案.

【解答】解：(1)設該二次函數的解析式為：y=a(x-1)2,

.??與y軸交于點B(0,1),

/.a=l,

.??該二次函數的解析式為：y=(x-1)2；

(2)???(：為該二次函數圖象上橫坐標為2的點，

y=(2-1)2=1,

??.C點坐標為：(2,1),

BCIIx軸，

枳=而+蹌E+2：

【點評】此題考查了平面向量的知識、待定系數法求函數的解析式以及點與二次函數的關

系.注意結合題意畫出圖形，利用圖形求解是關鍵.

21.如圖是某個大型商場的自動扶梯側面示意圖，自動扶梯AC的坡度為1：2,AC的長度

為5乖米，AB為底樓地面，CD為二樓側面，EF為二樓樓頂，當然有EFIIABHCD,E為

自動扶梯AC的最高端C的正上方，過C的直線EG±AB于G,在自動扶梯的底端A測得

E的仰角為42。，求該商場二樓的樓高CE.

（參考數據：sin420=-,cos42-=近，tan42°=2^）

335

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【分析】根據AC的坡度得出AG=2CG,由勾股定理得出CG2+AG2=AC2,求出CG、AG,

再由三角函數得出EG,即可得出結果.

【解答】解：根據題意得：AG=2CG,

???ZAGE=90",

由勾股定理得：CG2+AG2=AC2,

即CG2+（2CG）2=（5遂）2,

解得:CG=5（米）,

AG=10米，

tanNEAG=—,

AG

EG=AG*tan420,

CE=EG-CG=AG?tan42°-CG=10x-?^-5=475-5（米）；

答：該商場二樓的樓高CE為（4泥-5）米.

【點評】此題考查了解直角三角形的應用-仰角、坡度、勾股定理、三角函數；由勾股定理

求出AG是解決問題的關鍵.__

22.如圖，以AB為直徑的。。與弦CD相交于點E,假設AC=2?,AE=3,CE=V3>求

弧BD的長度.（保存n）

【考點】垂徑定理；勾股定理；弧長的計算.

【分析】連接0C,先根據勾股定理的逆定理得出AACE是直角三角形，再由垂徑定理得出

CE=DE,=由三角函數求出NA=30。，由圓周角定理求出NBOC,由弧長公式得出而

的長度=前的長度=看即可.

【解答】解：AC=2?,AE=3,CE=y,

AE2+CE2=AC2,

AACE是直角三角形，ZAEC=90",

CE1

CD±AB,sin/A=』±

AC2

BC=BD>NA=30。，

連接OC,如下列圖：

那么NBOC=2ZA=60°,OC=―

sin60T

2

加的長度=前的長度=60白；2-

1OUJ

【點評】此題考查的是垂徑定理、勾股定理的逆定理、三角函數、弧長公式等知識；熟練掌

握勾股定理的逆定理，由垂徑定理得出宙=俞是解決問題的關鍵._

23.如圖，D為△ABC邊AB上一點，且CD分△ABC為兩個相似比為1：百的一對相似

三角形；（不妨如圖假設左小右大），求：

（1）△BCD與△ACD的面積比；

（2）△ABC的各內角度數.

【考點】相似三角形的性質；解直角三角形.

【分析】(1)根據相似三角形面積的比等于相似比的平方解答；

(2)根據銳角三角函數的概念解答即可._

【解答】解：(1).?.△BCD和ACAD的相似比為1：遮，

△BCD和^CAD的面積比為1：3；

⑵丫△BCD-△CAD,

ZBDC=ZADC=90°,

CD1V3

tanAA=——=—/———,

ADV33

ZA=30°,

tanB=-^=V3，

DU

???ZB=60°,

??.ZACB=90°.

【點評】此題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方以及

銳角三角函數的概念是解題的關鍵.

24.如圖，△ABC中，AB=AC=6,F為BC的中點，D為CA延長線上一點，NDFE=NB.

(1)求證：器黑

DFEF

(2)假設EFIICD,求DE的長度.

【考點】相似三角形的判定與性質.

【分析】⑴根據外角的性質得到NEFB=ZFDC,由等腰三角形的性質得到/C=ZB,證

得ACDF?！鰾FE,根據相似三角形的性質得到黑康；

DFEF

(2)根據平行線的性質得到NEFD=NFDC,NC=NEFB,根據等腰三角形的性質得到

NB=NC,等量代換得到NFDC=NC,推出DF=CF,得到BF=DF,推出△DFV△BFE,根

據全等三角形的性質得到結論.

【解答】(1)證明：：NDFB=ZDEF+ZEFB=ZC+ZFDC,

ZEFB=ZFDC,

?「AB=AC,

/.ZC=ZB,

△CDF-△BFE,

.CD產

DF^EF；

(2)解：??,EFIICD,

??.NEFD=NFDC,ZC=ZEFB,

,/AB=AC,

/.ZB=ZC,

/.ZFDC=ZC,

/.DF=CF,

??.BF=DF,

EF=-AC=3,ZDFE=ZBFE,

2

在^DFE與△BFE中，

'DF=BF

<NDFE=NBFE，

EF=EF

ADF2ABFE,

DE=BE=3.

【點評】此題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行線的性質，

熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

25.[1)二次函數丫=(x-1)(x-3)的圖象如圖，請根據圖象直接寫出該二次函數圖象經

過怎樣的左右平移，新圖象通過坐標原點？

(2)在關于二次函數圖象的研究中，秦篆曄同學發(fā)現拋物線y=ax2-bx+c(aM)和拋物線

y=ax2-bx+c(a#0)關于y軸對稱，基于協作共享，秦同學將其發(fā)現口訣化"a、c不變，b

相反"供大家分享，而在旁邊補筆記的胡莊韻同學聽成了"a、c相反，b不變”，并按此法

誤寫，然而按此誤寫的拋物線恰巧與原拋物線也對稱，請你寫出小胡同學所寫的與原拋物

y=(x-1)(x-3)的對稱圖形的解析式，并研究其與原拋物線的具體對稱情況；

(3)拋物線y=(x-1)(x-3)與x軸從左到右交于A、B兩點，與y軸交于點C,M是

其對稱軸上一點，點N在x軸上，當點N滿足怎樣的條件，以點N、B、C為頂點的三角形

與△MAB有可能相似，請寫出所有滿足條件的點N的坐標；

(4)E、F為拋物線丫=(x-1)(x-3)上兩點，且E、F關于D0)對稱，請直接寫

出E、F兩點的坐標.

【考點】二次函數綜合題.

【分析】(1)首先求得拋物線與x軸的交點，即可求得平移的方向和距離；

(2)根據"a、c相反，b不變"，即可求得對應的函數解析式，然后確定頂點即可判斷；

(3)△MAB中M是在拋物線的對稱軸上，那么AMAB為等腰三角形，那么ANBC是等

腰三角形，同時根據NOBC=45。，即等腰△NBC的一個角的度數，據此即可討論，求解；

(4)設E的坐標是(a,a2-4a+3),由點E與F關于點D(1,0)對稱，那么可得F的坐

標，然后根據點E和點F的縱坐標互為相反數即可列方程求解.

【解答】解：(1)二次函數丫=(x-1)(x-3)與x軸的交點是(1,0)和(3,0).

拋物線向左平移1個單位長度或3個單位長度即可使新圖象經過坐標原點；

(2)y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.

???小胡同學聽成了a與c相反，b不變.

y=-x2-4x-3=-(x+2)2+l,頂點坐標是(-2,1),

故與原拋物線關于原點對稱；

(3)???&MAB中M是在拋物線的對稱軸上，

MA=MB,即△MAB為等腰三角形，

又△MAB與△NBC相似，

…NBC是等腰三角形.

N在x軸上，

ZCBN=45?；?35°.

當NCBN=135。時，即N點在B的右側且BC=BN,那么N的坐標是(3+3如，0)；

當NCBN=45。時，即N在點B的左側，

假設△MAB的底角為45。，此時三角形為等腰直角三角形，那么N的坐標是(0,0)或(-

3,0)；

假設△MAB的頂角是45。時，在^NBC中，BC=BN=3后,那么N的坐標是(3-3圾，0)；

(4)設E的坐標是(a,a2-4a+3),

由點E與F關于點D+0)對稱，那么可得F(3-a,a2-2a),

.?.點E和點F的縱坐標互為相反數，即a2-4a+3+a2-2a=0,

解得：ai=21亞，a2=3班(舍去)，

22___

??.E的縱坐標是(三班，立)，F的坐標是(竺5,-立).

2222

【點評】此題考查了二次函數與等腰三角形的性質，相似三角形的性質，正確理解ANBC

是等腰三角形是此題的關鍵.

26.(14分)如圖點C在以AB為直徑的半圓的圓周上，假設AB=4,NABC=30。，D為邊

AB上一動點，點E和D關于AC對稱，當D與A重合時，F為EC的延長線上滿足CF=EC

的點，當D與A不重合時，F為EC的延長線與過D且垂直于DE的直線的交點，

(1)當D與A不重合時，CF=EC的結論是否成立？試證明你的判斷.

(2)設AD=x,EF=y求y關于x的函數及其定義域；

13)如存在E或F恰好落在弧AC或弧BC上時，求出此時AD的值；如不存在，那么請

說明理由.

(4)請直接寫出當D從A運動到B時，線段EF掃過的面積.

【考點】圓的綜合題.

【分析】(1)設DE交AC于M,DF交BC于N.由軸對稱圖形的性質可知EM=DM,ED±AC,

然后可證明ACIIDF,由平行線分線成比例定理可知宴聿=1；

CFMD

(2)①當D與A不重合時.先證明四邊形CNDM是矩形，從而得到MDIIBC,由平行線

的性質可知NADM=NABC=30。，由特殊銳角三角函數可知ED=J^x，DN=1BD=￡X(4

-x)=2-^x,然后由平行線分線段成比例定理可知DN=NF,從而得到DF=2DN=4-x,

最后在RIAEFD中，由勾股定理可求得y