七-八年級(jí)三角形的奧數(shù)題及其答案

《三角形綜合》例題1：AD，EF，BC相交于O點(diǎn)，且AO＝OD，BO＝OC，EO＝OF．求證：△AEB≌△DFC例題2：P為正方形ABCD對(duì)角線BD上任一點(diǎn)，PF⊥DC，PE⊥BC．求證：AP⊥EF．例題3：△ABC的高AD及BE相交于H，且BH＝AC．求證：∠BCH＝∠ABC．例題4：在正方形ABCD中，P，Q分別為BC，CD邊上的點(diǎn)，∠PAQ＝45°．求證：PQ＝PB＋DQ．例題5：過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A分別作兩底角∠B和∠C的角平分線的垂線，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E．求證：ED∥BC．例題6：如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，PA＝2，PB＝，PC＝4，求ΔABC的邊長(zhǎng).例題7：如圖（l)，凸四邊形ABCD，如果點(diǎn)P滿足∠APD＝∠APB=α。且∠BPC＝∠CPD＝β，則稱點(diǎn)P為四邊形ABCD的一個(gè)半等角點(diǎn)．(l）在圖（3）正方形ABCD內(nèi)畫(huà)一個(gè)半等角點(diǎn)P，且滿足α≠β。(2）在圖（4）四邊形ABCD中畫(huà)出一個(gè)半等角點(diǎn)P，保留畫(huà)圖痕跡（不需寫出畫(huà)法）.(3）若四邊形ABCD有兩個(gè)半等角點(diǎn)P1、P2（如圖（2))，證明線段P1P2上任一點(diǎn)也是它的半等角點(diǎn)。例題8：已知：點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB＝OC。（1）如圖1，若點(diǎn)O在BC上，求證：AB＝AC；（2）如圖2，若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，求證：AB＝AC；（3）若點(diǎn)O在△ABC的外部，AB＝AC成立嗎？請(qǐng)畫(huà)圖表示。練習(xí)試題：1．如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，交于，過(guò)點(diǎn)作于．下列四個(gè)結(jié)論：②以為圓心、為半徑的圓及以為圓心、為半徑的圓外切；③設(shè)則；④不能成為的中位線．其中正確的結(jié)論是_____________．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）2．如圖1，AB、CD是兩條線段，M是AB的中點(diǎn)，、和分別表示△DNC、△DAC、△DBC的面積。當(dāng)AB∥CD時(shí)，有＝(1)（1）如圖2，若圖1中AB及CD不平行時(shí)，(1)式是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）如圖3，若圖1中AB及CD相交于點(diǎn)O時(shí)，、和有何種相等關(guān)系？試證明你的結(jié)論。3．如圖，設(shè)△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD＝62o，則∠AEB的度數(shù)是【】（A）124o （B）122o （C）120o （D）118o4．如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠MDN＝60°.試探究MB、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.5．如圖，在△ABC中，∠ABC＝600，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，則PB＝_____________6．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，，則__________7．（1）如圖7，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC．求∠AEB的大??；（2）如圖8，ΔOAB固定不動(dòng)，保持ΔOCD的形狀和大小不變，將ΔOCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（ΔOAB和ΔOCD不能重疊），求∠AEB的大小.8．兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結(jié)．（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；（2）證明：．9．如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個(gè)就能推出△ABC是等腰三角形的是__________________。（把所有正確答案的序號(hào)都填寫在橫線上）①∠BAD＝∠ACD②∠BAD＝∠CAD，③AB＋BD＝AC＋CD④AB－BD＝AC－CD參考答案例題1、證明：△OAE≌△ODF，因?yàn)椋憾吋皧A角（對(duì)等角）相等，得：AE=DF。

同理證得：△OBE≌△OCF，△OAB≌△OCD，得：EB=CF，AB=CD。

因?yàn)椋篈E=DF，EB=CF，AB=CD三邊相等。

所以：△AEB≌△DFC例2F于點(diǎn)G延長(zhǎng)EP交AB于M,延長(zhǎng)FP交AD于N

∵P為正方形ABCD對(duì)角線BD上任一點(diǎn)

∴PM=PF,PN=PE

又AMPN為矩形.

∴AN=PM=PF

∵∠EPF=∠BAC=90°

∴△PEF≌△ANP

∴∠NAP=∠PFE

又∠NPA=∠FPG(對(duì)頂角)

∠NAP+∠NPA=90°

∴∠PFE+∠FPG=90°

∴∠PGF=180°-(∠PFE+∠FPG)=90°

∴AP⊥EF例3∵BH＝AC，∠BDH＝∠ADC＝90°，∠HBD＝∠CAD（這個(gè)知道的吧）

∴△BDH≡△ADC

∴HD＝CD，BD=AD

∴△HDC及△ABD是等腰直角三角形

∴∠BCH＝∠ABD=45°例4：在CB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)G，使BG＝DQ，連接AG

∵正方形ABCD

∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABG＝∠D＝90

∵BG＝DQ

∴△ABG≌△ADQ（SAS）

∴AQ＝AG，∠BAG＝∠DAQ

∵∠PAQ＝45

∴∠BAP+∠DAQ＝∠BAD-∠PAQ＝45

∴∠PAG＝∠BAP+∠BAG＝∠BAP+∠DAQ＝45

∴∠PAG＝∠PAQ

∵AP＝AP

∴△APQ≌△APG（SAS）

∴PQ＝PG

∵PG＝PB+BG＝PB+DQ

∴PB+DQ＝PQ例5、例6例7根據(jù)題意可知，所畫(huà)的點(diǎn)P在AC上且不是AC的中點(diǎn)和AC的端點(diǎn)．因?yàn)樵趫D形內(nèi)部，所以不能是AC的端點(diǎn)，又由于α≠β，所以不是AC的中點(diǎn)．

（2）畫(huà)點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B’，延長(zhǎng)DB’交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求．（因?yàn)閷?duì)稱的兩個(gè)圖形完全重合）

（3）先連P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根據(jù)題意∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C∴∠AP1B+∠BP1C=180度．∴P1在AC上，同理，P2也在AC上，再利用ASA證明△DP1P2≌△BP1P2而，則△P1DP2和△P1BP2關(guān)于P1P2對(duì)稱，P是對(duì)稱軸上的點(diǎn)，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即點(diǎn)P是四邊形的半等角點(diǎn)．解答：解：（1）所畫(huà)的點(diǎn)P在AC上且不是AC的中點(diǎn)和AC的端點(diǎn)，即給（4分）．

（2）畫(huà)點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B’，延長(zhǎng)DB’交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求（不寫文字說(shuō)明不扣分）給（3分）．

（說(shuō)明：畫(huà)出的點(diǎn)P大約是四邊形ABCD的半等角點(diǎn)，而無(wú)對(duì)稱的畫(huà)圖痕跡，給1分）

（3）連P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根據(jù)題意，

∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，

∴∠AP1B+∠BP1C=180度．

∴P1在AC上，

同理，P2也在AC上．（9分）

在△DP1P2和△BP1P2中，

∠DP2P1=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P1P2公共，

∴△DP1P2≌△BP1P2．（11分）

所以DP1=BP1，DP2=BP1，DP2=BP2，于是B、D關(guān)于AC對(duì)稱．

設(shè)P是P1P2上任一點(diǎn)，連接PD、PB，由對(duì)稱性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，

所以點(diǎn)P是四邊形的半等角點(diǎn)．例8證明：（1）過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分別是垂足，

由題意知，OE=OF，OB=OC，

∴Rt△OEB≌Rt△OFC

∴∠B=∠C，從而AB=AC。

（2）過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，EF分別是垂足，

由題意知，OE=OF。

在Rt△OEB和Rt△OFC中，

∵OE=OF，OB=OC，

∴Rt△OEB≌Rt△OFE。

∴∠OBE=∠OCF，B=OC知∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACD，∴AB=AC。

（3）解：不一定成立。

注：當(dāng)∠A的平分線所在直線及邊BC的垂直平分線重合時(shí)，有AB=AC；否則，AB≠AC，如示例圖

練習(xí)13解：

∵等邊△ABC、等邊△CDE

∴AC=BC，CE=CD，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB=∠ECD=60

∵∠ACE=∠ACB-∠BCE，∠BCD=∠ECD-∠BCE

∴∠BCD=∠ACE

∴△ACE≌△BCD（SAS）

∴∠CBD=∠CAE

∵∠EBD＝62

∴∠CBD＝∠EBD-∠CBD＝62-∠CBE

∴∠CAE＝62-∠CBE

∴∠BAE＝∠BAC-∠CAE＝60-62+∠CBE＝-2+∠CBE

∴∠ABE+∠BAE＝60-∠CBE-2+∠CBE＝58

∴∠AEB＝180-（∠ABE+∠BAE）＝1224CN＋BM＝MN

證明：延長(zhǎng)AC至M1，使CM1＝BM，連結(jié)DM1

由已知條件知：∠ABC＝∠ACB＝60°，

∠DBC＝∠DCB＝30°

∴∠ABD＝∠ACD＝90°

∵BD＝CD∴Rt△BDM≌Rt△CDM1

∴∠MDB＝∠M1DC，而DM＝DM1

∴∠MDM1＝（120°－∠MDB）＋∠M1DC＝120°

又∵∠MDN＝60∴∠M1DN＝∠MDN＝60°

∴△MDN≌△M1DN∴MN＝NM1＝NC＋CM1＝CN＋BM

即CN＋BM＝MN5（1）證明：

∵∠APB=∠BPC=∠CPA，三角之和是360o

∴∠APB=∠BPC=120o

∴∠PAB+∠PBA=180o-120o=60o

∠ABC=∠PBC+∠PBA=60o

∴∠PAB=∠PBC

∴⊿PAB∽⊿PBC【∠APB=∠BPC，∠PAB=∠PBC】

（2）解：

∵⊿PAB∽⊿PBC

∴PA/PB=PB/PC

推出PB2=PA·PC=6×8=48

PB=√48=4√36設(shè)∠EDC=x,∠B=∠C=y

∠AED=∠EDC+∠C=x+y

又因?yàn)锳D=AE,所以∠ADE=∠AED=x+y

則∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y

又因?yàn)椤螦DC=∠B+∠BAD

所以2x+y=y+30

解得x=15

所以∠EDC的度數(shù)是15度71）如圖3，

∵△OCD和△ABO都是等邊三角形，且點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，

∴OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，

∴∠4=∠5．

又∵∠4+∠5=∠2=60°，

∴∠4=30°．

同理∠6=30°．

∵∠AEB=∠4+∠6，

∴∠AEB=60°．

（2）如圖4，

∵△OCD和△ABO都是等邊三角形，

∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°．

又∵OD=OA，

∴OD=OB，OA=OC，

∴∠4=∠5，∠6=∠7．

∵∠DOB=∠1+∠3，

∠AOC=∠2+∠3，

∴∠DOB=∠AOC．

∵∠4+∠5+∠DOB=180°，∠6+∠7+∠AOC=180°，

∴2∠5=2∠6，

∴∠5=∠6．

又∵∠AEB=∠8-∠5，∠8=∠2+∠6，

∴∠AEB=∠2+∠5-∠5=∠2，

∴∠AEB=60°．8①可以找出△BAE≌△CAD