高中數(shù)學(xué)解析幾何橢圓性質(zhì)與定義

橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用一、圓錐曲線(xiàn)圓錐與平面的截線(xiàn)通常有：圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)，其中的橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)叫圓錐曲線(xiàn)，其中拋物線(xiàn)是圓錐面與平行于某條母線(xiàn)的平面相截而得的曲線(xiàn)，雙曲線(xiàn)是圓錐面與平行于軸的平面相截而得的曲線(xiàn)，圓是圓錐面與垂直于軸的平面相截而得的曲線(xiàn)，其他平面截取的則為橢圓。圓錐曲線(xiàn)有一個(gè)共同的定義：即：圓錐曲線(xiàn)是到定點(diǎn)距離與到定直線(xiàn)間距離之比為常值的點(diǎn)之軌跡。二、橢圓的定義橢圓是平面上到兩定點(diǎn)的距離之和為常值的點(diǎn)之軌跡，也可定義為到定點(diǎn)距離與到定直線(xiàn)間距離之比為一個(gè)小于1常值的點(diǎn)之軌跡。橢圓的第一定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F、F'的距離的和等于常數(shù)2a(2a>|FF'|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓。即：│PF│+│PF'│=2a，其中兩定點(diǎn)F、F'叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離│FF'│叫做橢圓的焦距。若2a=|FF'|，為線(xiàn)段，若2a<|FF'|，不存在。PFPFF`現(xiàn)設(shè)P的坐標(biāo)為（x,y），F(xiàn)的坐標(biāo)為（C,0）整理可得：定義：則橢圓的方程可表示為：橢圓在方程上可以寫(xiě)為標(biāo)準(zhǔn)式，(a>b>0)，這樣的橢圓長(zhǎng)軸在x軸上，焦點(diǎn)在X軸時(shí)，若，(a>b>0)，這樣的橢圓長(zhǎng)軸在y軸上。焦點(diǎn)在y軸時(shí)。有兩條線(xiàn)段，a、b中較大者為橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，較短者為短半軸長(zhǎng)，當(dāng)a>b時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為，焦距與長(zhǎng)、短半軸的關(guān)系:橢圓的第二定義由橢圓的第一定義：可到橢圓方程為：將代入，可得：所以：由此可得：所以可得橢圓的第二個(gè)定義：平面上到定點(diǎn)F距離與到定直線(xiàn)間距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的集合（定點(diǎn)F不在定直線(xiàn)上，該常數(shù)為小于1的正數(shù)）,其中定點(diǎn)F為橢圓的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)稱(chēng)為橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)（該定直線(xiàn)的方程是）。常數(shù)e是橢圓的離心率。注意：準(zhǔn)線(xiàn)和焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)，左準(zhǔn)線(xiàn)對(duì)應(yīng)左焦點(diǎn)，右準(zhǔn)線(xiàn)對(duì)應(yīng)右焦點(diǎn)下面我們介紹第二定義的幾何說(shuō)明：可以找到兩個(gè)球，它們均滿(mǎn)足：和圓錐相切于一個(gè)圓，與截面相切于一個(gè)點(diǎn)。一個(gè)在截面和圓錐頂角之間（即截得的圓錐體的內(nèi)切球，小球），另一個(gè)在截面與圓錐頂角異側(cè)（即圓錐體外切球，大球）。兩個(gè)球與截面相切的兩個(gè)點(diǎn)即是兩個(gè)焦點(diǎn)，兩個(gè)球與圓錐相切的兩個(gè)圓，那兩個(gè)圓所在的兩個(gè)平面（它們是平行的）分別與原來(lái)的截面的交線(xiàn)即是兩條準(zhǔn)線(xiàn)。通過(guò)三角函數(shù)的知識(shí)應(yīng)該可以證明截得的圖形上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的比值為定值設(shè)P為截面與圓錐交線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，兩個(gè)球與截面的交點(diǎn)為固定點(diǎn)，即為橢圓的焦點(diǎn)，平面與平面的交線(xiàn)為固定直線(xiàn)，即為橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)。E為大球和截面的交點(diǎn)，顯然PP1為動(dòng)點(diǎn)到定直線(xiàn)的距離，設(shè)大的球心為O，PE和PP2為大球外一點(diǎn)P到大球的兩個(gè)切線(xiàn)，所以有PE=PP2思考為什么PE一定為切線(xiàn)，（PE為截面內(nèi)的直線(xiàn)，而截面與球僅僅一個(gè)交點(diǎn)）橢圓的第三定義：橢圓的其他定義根據(jù)橢圓的一條重要性質(zhì)也就是橢圓上的點(diǎn)與橢圓短軸兩端點(diǎn)連線(xiàn)的斜率之積是定值（）可以得出：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率之積是常數(shù)k的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，此時(shí)k應(yīng)滿(mǎn)足一定的條件，也就是排除斜率不存在的情況。三、.圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)：1.橢圓的面積是πab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸，它的參數(shù)方程是：x=acosθ，y=bsinθ5．點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到一定直線(xiàn)x=8的距離的比是1∶2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形．三、例題講解例1：求出橢圓方程和長(zhǎng)軸頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)方程；解：因?yàn)榘褭E圓向右平移一個(gè)單位即可以得到橢圓所以問(wèn)題1中的所有問(wèn)題均不變，均為長(zhǎng)軸頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)方程分別為：，；長(zhǎng)軸頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)方程分別為：，；思考：求出橢圓方程準(zhǔn)線(xiàn)方程例2、設(shè)AB是過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的弦，那么以AB為直徑的圓必與橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)（）A.相切B.相離C.相交D.相交或相切分析：如何判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系呢？解：設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則M即為圓心，直徑是|AB|；記橢圓的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線(xiàn)為；過(guò)點(diǎn)A、B、M分別作出準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，分別記為由梯形的中位線(xiàn)可知又由橢圓的第二定義可知即又且故直線(xiàn)與圓相離例3、已知點(diǎn)為橢圓的上任意一點(diǎn)，、分別為左右焦點(diǎn)；且①求的最小值②求的最小值③求的最小值①分析：應(yīng)如何把表示出來(lái)解：左準(zhǔn)線(xiàn)：，作于點(diǎn)D，記由第二定義可知：??故有所以有當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|MA|+|MD|有最小值：即的最小值是變式1：的最小值；解：變式2：的最小值；解：DDAF111MF211②其最小值=10-AF2課堂練習(xí)：已知的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)。例4.已知，為橢圓上的兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)．若，的中點(diǎn)到橢圓左準(zhǔn)線(xiàn)的距離是，試確定橢圓的方程．解：由橢圓方程可知、兩準(zhǔn)線(xiàn)間距離為．設(shè)，到右準(zhǔn)線(xiàn)距離分別為，，由橢圓定義有，所以，則，中點(diǎn)到右準(zhǔn)線(xiàn)距離為，于是到左準(zhǔn)線(xiàn)距離為，，所求橢圓方程為．例5．方程表示什么曲線(xiàn)？解：；即方程表示到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)的距離的比常數(shù)（且該常數(shù)小于1）方程表示橢圓例6、（06四川高考15）如圖把橢圓的長(zhǎng)軸AB分成8等分，過(guò)每個(gè)等分點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則=解法一：，設(shè)的橫坐標(biāo)為，則不妨設(shè)其焦點(diǎn)為左焦點(diǎn)由得解法二：由題意可知和關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，又由橢圓的對(duì)稱(chēng)性及其第一定義可知，同理可知，，故例7.動(dòng)圓與定圓C1：（x+1）2+y2=36內(nèi)切,與定圓C2：（x-1）2+y2=4外切，求圓心M的方程。橢圓練習(xí)題1．橢圓第二定義的應(yīng)用：例1．設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，為其左焦點(diǎn)，求的最值．例2．在橢圓上求一點(diǎn)，使它到兩焦點(diǎn)的距離之積為16．例3．已知A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，是其右焦點(diǎn)，若，中點(diǎn)到橢圓左準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，求橢圓方程．例4．已知橢圓，問(wèn)能否在軸下方的橢圓弧上找到一點(diǎn)M，使M到下準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于M到兩焦點(diǎn)的距離的比例中項(xiàng)？若能找到，求出此點(diǎn)坐標(biāo)；若不能找到，請(qǐng)說(shuō)明理由．例5．一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)是和，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是３，求這個(gè)橢圓的方程．例6．已知橢圓方程為是橢圓內(nèi)的兩點(diǎn)，Ｐ是橢圓上任意一點(diǎn)，求：（1）的最小值；（2）的最大值和最小值．例7．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，Ｐ是橢圓上一點(diǎn)，且．求的面積．

橢圓點(diǎn)P處的切線(xiàn)PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角.PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線(xiàn)PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)相離.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.若在橢圓上，則過(guò)的橢圓的切線(xiàn)方程是.若在橢圓外，則過(guò)Po作橢圓的兩條切線(xiàn)切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線(xiàn)方程是.橢圓(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為.橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式：,(,).設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線(xiàn)與橢圓相交P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線(xiàn)于M、