穩(wěn)定裕度補(bǔ)充

5.7.1相位裕度和增益裕度圖5-46的極坐標(biāo)圖對(duì)于大的K值，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)增益減小到一定值時(shí)，的軌跡通過-1+j0點(diǎn)。對(duì)于小的K值，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

的軌跡對(duì)-1+j0點(diǎn)點(diǎn)的靠近程度，可以用來度量穩(wěn)定裕量(對(duì)條件穩(wěn)定系統(tǒng)不適用)。在實(shí)際系統(tǒng)中常用相位裕量和增益裕量表示。

5.7相對(duì)穩(wěn)定性

相位裕度、相角裕度(PhaseMargin)設(shè)系統(tǒng)的截止頻率(Gaincross-overfrequency)為定義相角裕度為相角裕度的含義是度，則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定。對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果開環(huán)相頻特性再滯后當(dāng)時(shí)，相位裕量為正值；為了使最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定，相位裕度必須為正。在極坐標(biāo)圖上的臨界點(diǎn)為0分貝和時(shí)，相位裕度為負(fù)值。當(dāng)PositiveGainMarginPositivePhaseMarginNegativeGainMarginNegativePhaseMarginStableSystemUnstableSystem0dB0dB

增益裕度、幅值裕度(GainMargin)設(shè)系統(tǒng)的相位穿越頻率(Phasecross-overfrequency)定義幅值裕度為幅值裕度對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性再增大倍，則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定狀態(tài)。的含義是，若以分貝表示，則有當(dāng)增益裕度以分貝表示時(shí)，如果增益裕度為正值；，則正增益裕度(以分貝表示)表示系統(tǒng)是穩(wěn)定的；負(fù)增益裕度(以分貝表示)表示系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

如果增益裕度為負(fù)值。PositiveGainMarginPositivePhaseMarginNegativeGainMarginNegativePhaseMarginStableSystemUnstableSystem0dB0dBPositiveGainMarginPositivePhaseMargin-11NegativeGainMarginNegativePhaseMargin-11StableSystemUnstableSystem判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的又一方法一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為無窮大，因?yàn)檫@類系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖與負(fù)實(shí)軸不相交。因此，理論上一階或二階系統(tǒng)不可能是不穩(wěn)定的。當(dāng)然，一階或二階系統(tǒng)在一定意義上說只能是近似的，因?yàn)樵谕茖?dǎo)系統(tǒng)方程時(shí)，忽略了一些小的時(shí)間滯后，因此它們不是真正的一階或二階系統(tǒng)。如果計(jì)及這些小的滯后，則所謂的一階或二階系統(tǒng)可能是不穩(wěn)定的。對(duì)于穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，增益裕度指出了系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益能夠增大多少。對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)，增益裕度指出了為使系統(tǒng)穩(wěn)定，增益應(yīng)當(dāng)減少多少。一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為多少？只用增益裕度和相位裕度，都不足以說明系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。為了確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，必須同時(shí)給出這兩個(gè)量。增益裕度應(yīng)當(dāng)大于6分貝。

5.7.2關(guān)于相位裕度和增益裕度的幾點(diǎn)說明控制系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度是系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖對(duì)-1+j0點(diǎn)靠近程度的度量。這兩個(gè)裕度可以作為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。對(duì)于最小相位系統(tǒng)，只有當(dāng)相位裕度和增益裕度都是正值時(shí)，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。負(fù)的裕度表示系統(tǒng)不穩(wěn)定。適當(dāng)?shù)南辔辉６群驮鲆嬖６瓤梢苑乐瓜到y(tǒng)中元件變化造成的影響，并且指明了頻率值。為了得到滿意的性能，相位裕度應(yīng)當(dāng)在之間，定義相位裕度為1:2:定義增益(幅值)裕度用分貝表示:給定開環(huán)傳函：1）由K求h和γ2）由h和γ求K都根據(jù)上述1和2的定義來求；求法各有兩種例5-9

一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

K=1時(shí)系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度。要求通過增益K的調(diào)整，使系統(tǒng)的增益裕度20logh=20dB，相位裕度解：

即

相位穿越頻率增益裕度在處的開環(huán)對(duì)數(shù)幅值為根據(jù)K=1時(shí)的開環(huán)傳遞函數(shù)

相位裕度增益穿越頻率截止頻率

取近似值，真正計(jì)算麻煩

由題意知

驗(yàn)證是否滿足相位裕度的要求。根據(jù)的要求，則得：

不難看出，就能同時(shí)滿足相位裕度和增益裕度的要求。

例5-11設(shè)一單位反饋系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖所示(最小相位系統(tǒng))。

寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性

如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則求時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：

由圖得看對(duì)數(shù)幅頻特性-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec0.010.115rad/sdB

由于是最小相位系統(tǒng)，因而可通過計(jì)算相位裕度是否大于零來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由圖可知在處則得

單位斜坡輸入時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

>>0系統(tǒng)穩(wěn)定5.7.3標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)中階躍瞬態(tài)響應(yīng)與頻率響應(yīng)之間的關(guān)系在圖3-8所示的標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)中，單位階躍響應(yīng)中的最大超調(diào)量可以精確地與頻率響應(yīng)中的諧振峰值聯(lián)系在一起。因此，從本質(zhì)上看，在頻率響應(yīng)中包含的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性信息與在瞬態(tài)響應(yīng)中包含的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性信息是相同的。書上例5-13p203設(shè)截止頻率則有

根據(jù)相位裕度的定義

上式說明相位裕度僅僅與阻尼比有關(guān)。

圖5-51標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的相位裕度與阻尼比之間的關(guān)系

相位裕度與阻尼比直接相關(guān)。圖5-51表示了相位裕度與阻尼比的函數(shù)關(guān)系。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)，當(dāng)時(shí)，相位裕度與阻尼比之間的關(guān)系近似地用直線表示如下：因此，相位裕度相當(dāng)于阻尼比。對(duì)于具有一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)的高階系統(tǒng)，當(dāng)根據(jù)頻率響應(yīng)估計(jì)瞬態(tài)響應(yīng)中的相對(duì)穩(wěn)定性（即阻尼比）時(shí)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，可以應(yīng)用這個(gè)公式。

對(duì)于小的阻尼比，諧振頻率與阻尼自然頻率的值幾乎是相同的。因此，對(duì)于小的阻尼比，諧振頻率的值表征了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的速度。

的值越小和的值越大。和與之間的函數(shù)關(guān)系如圖5-52所示?？梢钥闯觯?dāng)時(shí)，和之間存在相近的關(guān)系。對(duì)于很小的值將變得很大，而卻不會(huì)超過1。

5.7.4截止頻率與帶寬(Cutofffrequencyandbandwidth)圖5-53截止頻率與系統(tǒng)帶寬參看圖5-53，當(dāng)閉環(huán)頻率響應(yīng)的幅值下降到零頻率值以下3分貝時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率稱為截止頻率。對(duì)于的系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)濾掉頻率大于截止頻率的信號(hào)分量，但是可以使頻率低于截止頻率的信號(hào)分量通過。閉環(huán)系統(tǒng)的幅值不低于-3分貝時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率范圍稱為系統(tǒng)的帶寬。帶寬表示了這樣一個(gè)頻率，從此頻率開始，增益將從其低頻時(shí)的幅值開始下降。因此，帶寬表示了系統(tǒng)跟蹤正弦輸入信號(hào)的能力。對(duì)于給定的，上升時(shí)間隨著阻尼比的增加而增大。另一方面，帶寬隨著的增加而減小。因此，上升時(shí)間與帶寬之間成反比關(guān)系。帶寬指標(biāo)取決于下列因素：1、對(duì)輸入信號(hào)的再現(xiàn)能力。大的帶寬相應(yīng)于小的上升時(shí)間，即相應(yīng)于快速特性。粗略地說，帶寬與響應(yīng)速度成反比。2、對(duì)高頻噪聲必要的濾波特性。為了使系