位移計算與虛功原理

基本要求：領(lǐng)會變形體虛功方程。掌握實功與虛功、廣義力與廣義位移確定，掌握互等定理；支座移動和溫度改變引起的位移計算。熟練掌握荷載產(chǎn)生的位移計算、用圖乘法求位移。Structuredisplacementcomputing虛功及虛功原理結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式圖乘法及舉例溫度改變產(chǎn)生的位移計算支座移動產(chǎn)生的位移計算線彈性體互等定理第5章靜定結(jié)構(gòu)的位移計算與虛功原理變形與變形能材料力學(xué)知識：拉壓變形（應(yīng)變）：彎曲變形（曲率）：剪切變形（剪切角）：扭轉(zhuǎn)變形（扭轉(zhuǎn)角）：§5·1

結(jié)構(gòu)位移計算概述a）驗算結(jié)構(gòu)的剛度；b）為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析打基礎(chǔ)；c）建筑起拱?！?t+t不產(chǎn)生內(nèi)力，產(chǎn)生變形產(chǎn)生位移b）溫度改變和材料脹縮；c）支座沉降和制造誤差不產(chǎn)生內(nèi)力和變形產(chǎn)生剛體移動位移是幾何量，自然可用幾何法來求，βΔ但最好的方法是虛功法。其理論基礎(chǔ)是虛功原理。a）荷載作用；2、產(chǎn)生位移的主要原因：

計算位移時，常假定：1）σ=Eε；2）小變形。即：線彈性體系。荷載與位移成正比，計算位移可用疊加原理。1、計算位移目的：舉例l如屋架在豎向荷載作用下，下弦各結(jié)點產(chǎn)生虛線所示位移。將各下弦桿做得比實際長度短些，拼裝后下弦向上起拱。在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設(shè)計的水平位置。建筑起拱返回§5·2虛功原理荷載由零增大到P1，其作用點的位移也由零增大到Δ11，對線彈性體系P與Δ成正比。元功dT=P·dΔP2在自身引起的位移Δ22上作的功：在Δ12過程中，P1的值不變，Δ12與P1無關(guān)ΔPP1Δ11dTOAB一、靜力加載過程T=P·Δ/222222T=P·Δ12121

二、實功與虛功

實功：是力在自身引起的位移上所作的功。實功恒為正。

虛功：是力在其它原因產(chǎn)生的位移上作的功。如力與位移同向，虛功為正，如力與位移反向，虛功為負(fù)Δkj位移發(fā)生的位置產(chǎn)生位移的原因三、廣義力與廣義位移

作功的兩方面因素：力、位移。與力有關(guān)因素，稱為廣義力S；與位有關(guān)的因素，稱為廣義位移Δ。廣義力與廣義位移的關(guān)系是：它們的乘積是虛功。即：T=SΔT=P·Δ/222222T=P·Δ12121P廣義力廣義位移單個力力作用點沿力作用方向上的線位移單個力偶力偶作用截面的轉(zhuǎn)角等值反向共線的一對力兩力作用點間距的改變，即兩力作用點的相對位移Δ一對等值反向的力偶兩力偶作用截面的相對轉(zhuǎn)角ΔβmPPttABΔBΔAT=PΔA+PΔB=P（ΔA+ΔB）=PΔABΔmm

A

BT=m

A+m

B=m（

A+

B）=mΔΔPΔXδP

1

虛功原理的應(yīng)用1）需設(shè)位移求未知力（虛位移原理）2）需設(shè)力系求位移（虛力原理）

剛體在外力作用下處于平衡的充分必要條件是，對于任意微小的虛位移，外力所作的虛功之和等于零。四、剛體虛功原理abACBPX1、需設(shè)位移求靜定結(jié)構(gòu)的未知力δX

=1，δP=b/aX·Δ-P·Δ=0pXX·1-P·δ=0pX=P·δ

p虛設(shè)位移求未知力（虛位移原理）1）由虛位移原理建立的虛功方程，實質(zhì)上是平衡方程。

2）虛位移與實際力系是彼此獨立無關(guān)的，為了方便，可以隨意虛設(shè)，如設(shè)δX=1。

3）虛功法求未知力的特點是采用幾何的方法求解靜力平衡問題。

作出機構(gòu)可能發(fā)生的剛體虛位移圖；

應(yīng)用虛功原理求靜定結(jié)構(gòu)的某一約束力X的步驟：1）撤除與X相應(yīng)的約束，使靜定結(jié)構(gòu)變成具有一個自由度的機構(gòu)，使原來的約束力X變成主動力。2）沿X方向虛設(shè)單位虛位移。利用幾何關(guān)系求出其它主動力對應(yīng)的虛位移。3）建立虛功方程，求未知力。虛功方程為:

YC×1a2aa2aa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa2qFEDCBAδX=11.50.75YCq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa20.75/a+qa×0.75－qa2×0.75/a－q×1.5×3a/2＝0YC=2.25qa

虛功方程為:QC×1a2aa2aa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa2qFEDCBA↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa2QCQC

10.50.250.25/a+qa×0.25－qa2×0.25/a－q×(1×2a/2+0.5×a/2)＝0QC=1.25qa2、應(yīng)用虛功原理求靜定結(jié)構(gòu)的位移

b

acΔP=1建立虛功方程：PΔ+Rac=0（↑）1）由虛力原理建立的虛功方程，實質(zhì)上是幾何方程。2）虛荷載與實際位移是彼此獨立無關(guān)的，為了方便，可以隨意虛設(shè)，如設(shè)P=1。故稱單位荷載法。3）虛功法求位移的特點是采用平衡的方法求解幾何問題。五、變形體系的虛功原理:狀態(tài)1是滿足平衡條件的力狀態(tài)，狀態(tài)2是滿足變形連續(xù)條件的位移狀態(tài)，狀態(tài)1的外力在狀態(tài)2的位移上作的外虛功等于狀態(tài)1的各微段的內(nèi)力在狀態(tài)2各微段的變形上作的內(nèi)虛功之和↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓T12＝012即：T12=N1N1+dNQ1Q1+dQ↓↓↓↓M1M1+dMdsdsdsε2dsd2=κ2ds微段的變形可分為ε2ds，γ2ds，κ2dsòòòò++==dsMdsQdsN1dVV212121212kge變變變12dV=N1ε2ds+Q1γ2ds+M1κ2dsòòò++dsMdsQdsN121212kgeT12=≠γ2ds證明↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓1內(nèi)力是成對出線的，等值反向，變形是連續(xù)，所以左段右截面與右段的左截面的內(nèi)力等值反向，位移相同，這樣，相鄰微段間的相互作用力的功相互抵消。于是，整個梁各微段的內(nèi)力在位移上的總功等于零：↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓1N1N1+dNQ1Q1+dQM1M1+dM↓↓↓↓ds1，求dV12之和V12=∫dV122，求V12的方案一：

微段上受的力梁上的外力外12V內(nèi)1212VV=+=\內(nèi)外121212dVdVdV+=\內(nèi)12dVT外12dVT外12V=T12（a）3，求V12的方案二：將狀態(tài)2中ab微段的位移過程分為2aba‘b'aba'b''b'剛12dV變12dV+12dV=隨a截面的剛體位移，移至a′b"=變12dV因為微段平衡所以剛12dV=0變1212VV=（b）由（a）、（b）得：T12=V12虛功原理的證明截面內(nèi)力變形引起的位移（a截面不動）再移至a′b'返回例：圖a所示剛架由于某種原因橫梁和立柱同時發(fā)生圖示常曲率的彎曲變形且B點無線位移。現(xiàn)已知橫梁的曲率為κBC=0.001m-1。試應(yīng)用虛功原理求立柱AB的曲率κAB。8m5mABCθAθBθBθCM=1M=1虛設(shè)力系解：虛功方程為：10016.058-==mBCABkk15180××-××=ABBCkk11=×-×?òdxMACkqqθA=θB=θCEnd§5·3

單位荷載法

位移計算的一般公式P1P2t1t2Ε2γ2κ2位移狀態(tài)2c1KK‘ΔKHP=1虛擬力狀態(tài)11R需首先虛擬力狀態(tài)在欲求位移處沿所求位移方向加上相應(yīng)的廣義單位力P=1.??ò()++=+D×

iiKH

dsMQNcR2221kge()??ò-++=DiicR

dsMQN222kge

該式是結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式,1)適用于靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)。

2)適用于不同的材料、產(chǎn)生位移的各種原因、不同的變形類型。

3)該式右邊四項乘積，當(dāng)力與變形的方向一致時，乘積取正。（3）公式右邊各項分別是軸向、剪切、彎曲變形產(chǎn)生的位移。（4）梁和剛架

荷載作用下的位移計算↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑NPQPMP真實位移狀態(tài)

注:（1）EI、EA、GA是桿件截面剛度；

k是截面形狀系數(shù)k矩=1.2，k圓=10/9。（2）NP、QP、MP實際荷載引起的內(nèi)力，是產(chǎn)生位移的原因；虛設(shè)單位荷載引起的內(nèi)力是?òdsEIMMP（5）桁架

Δ=?òEANNPds=（6）桁梁混合結(jié)構(gòu)

用于梁式桿用于桁架桿（7）拱常只考慮彎曲變形的影響；對扁平拱需考慮軸向變形。?òdsEIMMP?òEANNP+Δ=Δ=Δ=（8）該公式適用于靜定和超靜定結(jié)構(gòu)，但必須是彈性體系。

（9）虛擬力狀態(tài)：在擬求位移處沿著擬求位移的方向，虛設(shè)相應(yīng)的廣義單位荷載。P=1m=1m=1m=1P=1P=1l1/l1/lAB求A點的水平位移求A截面的轉(zhuǎn)角求AB兩截面的相對轉(zhuǎn)角求AB兩點的相對位移求AB兩點連線的轉(zhuǎn)角位移方向未知時無法直接虛擬單位荷載！例：圖示屋架的壓桿采用鋼筋混凝土桿，拉桿采用鋼桿。求C的豎向位移。柱↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

q解：1)將q化為結(jié)點荷載P=ql/4-4.74P-4.42P4.5P3.0P2)求3)求NPPPPP/2P/20.287l0.25l0.222l0.25l0.263l0.263lADCEGBFl/12l/122P2P§5·4

荷載作用下的位移計算舉例繼續(xù)繼續(xù)ADCEGBF11/21/21.501.50-1.58-1.58002)求4)求ΔC材料桿件NPAlNEAlNNP鋼筋混凝土鋼筋A(yù)DCDDECEAEEG－1.58－1.58001.501.50－4.74P－4.42P4.50P3.00P0.263l0.263l0.088l0.278l0.278l0.222lAbAb0.75AbAg3Ag2Ag1.97Pl/AbEb1.84Pl/AbEb000.63Pl/AgEg0.5Pl/AgEgΔC=Pl(3.81/AbEb+1.13/AgEg)·23)求NP繼續(xù)dGAPRdEAPREIPR+??è???+=òòcossin20203qqkqqpp22PP=1例：求圖示1/4圓弧曲桿頂點的豎向位移Δ。解：1）虛擬單位荷載qcos=Qq

sin-=Nqsin-=RMqcos=PQPqsin-=PNPqsin-=PRMP虛擬荷載3）QNMD+D+D=PPPGAdsQQEAdsNNEIdsMM++=DòòòGAPREAPREIPR++=D4443pkppds=Rdθθdθds鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)G≈0.4E矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001<DDMND4001<DMQD2=DMNARI2412???è?==DDMQRhGAREIk可見剪切變形和軸向變形引起的位移與彎曲變形引起的位移相比可以忽略不計。但對于深梁剪切變形引起的位移不可忽略.2）實際荷載h101<R如Pl/2l/2EIABx1x2例：求圖示等截面梁B端轉(zhuǎn)角。解：1）虛擬單位荷載m=1MP（x1）=Px/20≤x1≤l/2MP（x2）=P（l－x）/2l/2≤x2≤l0≤x≤lEIdsMMlPB0=òj積分?？捎脠D形相乘來代替2）MP須分段寫òkidsEIMMòT=kiCEIdxMMEI1?ò?==DPEIydxEIMM0w=yEI01w×=xtgEI01waò=BAkdxxMtgEI1aòTBAkMdxxtgMEIi1a是直線òTkidxEIMM直桿αMiMi=xtgαyxMkdxxy0x0ω注：①∑表示對各桿和各桿段分別圖乘再相加。②圖乘法的應(yīng)用條件：a）EI=常數(shù)；b）直桿；c）兩個彎矩圖至少有一個是直線。③豎標(biāo)y0取在直線圖形中，對應(yīng)另一圖形的形心處。④面積ω與豎標(biāo)y0在桿的同側(cè)，ωy0

取正號，否則取負(fù)號。y0=x0tgα§5·5

圖乘法位移計算舉例需要的注意問題方法使用條件1、等剛直桿2、至少有一直線圖和yc取若在桿軸線同側(cè)，則乘積為正；反之為負(fù)。拱、曲桿結(jié)構(gòu)和連續(xù)變截面的結(jié)構(gòu)只能通過積分的方式求解應(yīng)用圖乘法首先熟練掌握常用圖形面積及形心位置3、yc應(yīng)取自直線圖中幾種常見圖形的面積和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次拋物線ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次拋物線ω=hl/3二次拋物線ω=2hl/34l/5l/5hh三次拋物線ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次拋物線ω=hl/(n+1)頂點頂點頂點頂點頂點⑥當(dāng)圖乘法的適用條件不滿足時的處理方法：a）曲桿或EI=EI（x）時，只能用積分法求位移；b）當(dāng)EI分段為常數(shù)或Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4ql2/2

MPMPP=1l

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lqAB例:求梁B段轉(zhuǎn)角。例:求梁B點豎向位移。3l/4M、MP均非直線時，應(yīng)分段圖乘再疊加。內(nèi)力的正負(fù)號規(guī)定如下：軸力以拉力為正；剪力使微段順時針轉(zhuǎn)動者為正；彎矩只規(guī)定乘積的正負(fù)號。使桿件同側(cè)纖維受拉時，其乘積取為正。PPaaa例：求圖示梁中點的撓度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求圖示梁C點的撓度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×??llEIyC22210?è?××==Dw5Pl/6？？ω溫故而知新圖乘法位移計算舉例?ò?==DPEIydxEIMM0w①∑表示對各桿和各桿段分別圖乘而后相加。②圖乘法的應(yīng)用條件：③豎標(biāo)y0④面積ω與豎標(biāo)y0在桿的同側(cè)，ωy0

取正號，否則取負(fù)號。⑤幾種常見圖形的面積和形心的位置：h3l/4l/4二次拋物線ω=hl/3頂點l/2l/2h二次拋物線ω=2hl/3頂點

a）EI=常數(shù)；b）直桿；c）兩個彎矩圖至少有一個是直線。取在直線圖形中，對應(yīng)另一圖形的形心處。⑥當(dāng)圖乘法的適用條件不滿足時的處理方法：a）曲桿或EI=EI（x）時，只能用積分法求位移；b）當(dāng)EI分段為常數(shù)或M、MP均非直線時，應(yīng)分段圖乘再疊加。⑦非標(biāo)準(zhǔn)圖形乘直線形a）直線形乘直線形abdcl/3l/3l/3ω1ω1y1y2()bcadbdacl+++=226??dc?è?+323bl+2dc???è?+332al=2òyydxMMki+=2211ww各種直線形乘直線形，都可以用該公式處理。如豎標(biāo)在基線同側(cè)乘積取正，否則取負(fù)。S=9/6×（2×6×2+2×4×3+6×3+4×2）

=111326492364（3）9（2）32649（4）2369＝labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS++++=b)非標(biāo)準(zhǔn)拋物線成直線形EI=3.6465×104Nm2200378P=10.8MP↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=625N/m2.2m0.8mABCω1y1ω3()85.01332211++=DyyyEIwwwy3ω2y2求C點豎向位移?！黴llql2/2ql2/8qlql/2ql/2MPP=111lω1y1ω2y2ω2y3B23=ly3221==yly12832323==qllqlw42212321===qllqlww8321232432414222=????è?++=EIqllqllqllqlEI()1332211++=DMyyyEIwwwNP=ql/2NP=0900193434832101222122423=====DD=lhbhMNlhbhlAlIEIqlEAql2122=××==D?PNEAqlEAlqlEAlNN求B點水平位移。9↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓6kN2kN/m2kN/m6m3m3mAB求AB兩點的相對水平位移。36189MPP=1P=163)()??=EI-756??×××+3322318?è?××××-+EI643636311??+×××-2639632(?è?×+×-××+××-=DEI61833631826362661EI=常數(shù)99999Sinpson法*9例:已知：

E、I、A為常數(shù)，求。ABCFPaD解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖請對計算結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)討論！ABCFPaDABC1aD討論:如果B支座處為剛度k的彈簧，該如何計算？ABCkFP=1ABCFPk顯然，按彈簧剛度定義，荷載下彈簧變形為

。因此，彈簧對位移的貢獻(xiàn)為。由此可得有彈簧支座的一般情況位移公式為例:

已知EI

為常數(shù)，求。ABCq解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖ABC圖A1圖一種算法：ABC結(jié)果正確否？?解法一AqAABC圖qABC解法二A1圖A解法三ABC圖A1圖例:

已知CD、BD桿的和AC桿的

為常數(shù)，求。FPABCDaaa+11aFP+FPFPa解：作荷載和單位荷載的內(nèi)力圖FPABCDaaa+11aFP+FPFPaP=1MPql2/2

ll/2AB2EIEIl/2例：求B點的豎向位移。EIql256174=lllqlEI25.023232212+·-lqllqllqllqllEI8222822265.0212222ú?ù++ê?é++lqlEIlB432831122··=DEIqlllqlEIB843231142=·=DylqlEIB283312102+·=DLq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓？ql2/8l/2？ql2/32y0dxMMEIlPò+021dxMMEIEIlPò????è?-=021111dxEIMMdxEIMMlPlPòò＋020211dxEIMMdxEIMMllPlPVBòò+=D20111上式中的兩項積分都是標(biāo)準(zhǔn)圖形相乘。如l1=l/2，EI2=2EI1，則1325617EIql=214323121llqlEI·+2112432831211llqlEIEIVB··????è?-=DMPP=1xl1l↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABEI2EI1ql2/2lql2/8l/2－aEI2aEI1allEI2aEI2—+allEI2aEI1=aEI1幾點討論（只有荷載作用）：一般來說，剪切變形影響很小，通常忽略不計。1.對梁和剛架：2.對桁架：3.對組合結(jié)構(gòu)：本節(jié)目的：給出的具體計算方法。一般公式荷載位移公式溫度位移公式§5·6

溫度改變而產(chǎn)生的位移計算1）溫度改變對靜定結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生內(nèi)力，材料的自由脹、縮。2）假設(shè)：溫度沿截面高度為線性分布。t1t2t0hh1h2t0=（h1t2+h2t1）/hΔt=t2-t13）微段的變形

dsdθat0dsk=dθ/ds

=a（t2-t1）ds/hds

=

aΔt/hγ=0()??ò

-++=DiicR

dsMQN222kge??D±Δit=MNhttwawa0?ò?òD±=dsMhtdsNtaa0?ò?òD±=DitdshtMdstNaa0該公式僅適用于靜定結(jié)構(gòu)e=at0at1dsat2ds例:求圖示剛架C點的豎向位移。各桿截面為矩形。aa0

+10

+10

CP=1P=1－1aN靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動不會產(chǎn)生內(nèi)力和變形，所以e=0，k=0，g=0。代入()??ò-++=DiicR

dsMQN222kge得到：僅用于靜定結(jié)構(gòu)abl/2l/2h11§5·7

支座移動而產(chǎn)生的位移計算1h1h00例：求CBAFP=1虛擬力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)實際位移狀態(tài)CBAll解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)()FAyFAx例：已知l=12m,h=8m,

,求例：求實際位移狀態(tài)CBAllFP=1解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)CBA虛擬力狀態(tài)FP=1同時考慮荷載、溫度和制作位移的影響應(yīng)用條件:1)σ<σP

;2)小變形。即:線性變形體系。P1P2①F1F2②N1M1Q1N2M2Q21、功的互等定理功的互等定理：在任一線性變形體系中，狀態(tài)①的外力在狀態(tài)②的位移上作的功W12等于狀態(tài)②的外力在狀態(tài)①的位移上作的功W21。即：W12=W21§5·8互等定理2、位移互等定理P1①P2②位移互等定理：由單位荷載P1=1所引起的與荷載P2相應(yīng)的位移δ21等于由單位荷載P2=1所引起的與荷載P1相應(yīng)的位移δ12

。Δ21Δ122112dd=jijijPdD=PPD=D121212PPD=D212121稱為位移影響系數(shù)，等于Pj=1所引起的與Pi相應(yīng)的位移。注意:1）這里荷載可以是廣義荷載,位移是相應(yīng)的廣義位移。

2）δ12與δ21不僅數(shù)值相等，量綱也相同。3、反力互等定理c1c2R11R21R22R12jijijcRr=cRcR=212121RcR×+×=221120cRR×+×221110稱為反力影響系數(shù)，等于cj=1所引起的與ci相應(yīng)的反力。反力互等定理：

r12=r21，在任一線性變形體系中，由單位位移C1=1所引起的與位移C2相應(yīng)的反力r21等于由單位位移