人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修二)同步培優(yōu)講義專(zhuān)題4.3 等差數(shù)列的概念（重難點(diǎn)題型精講）（原卷版）

專(zhuān)題4.3等差數(shù)列的概念（重難點(diǎn)題型精講）1．等差數(shù)列的概念(1)等差數(shù)列的概念一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，常用字母d表示.

(2)對(duì)等差數(shù)列概念的理解

①“從第2項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒(méi)有“前一項(xiàng)”.

②由概念可知，如果SKIPIF1<0-SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)恒等于一個(gè)常數(shù)，那么數(shù)列{SKIPIF1<0}就是等差數(shù)列.

③如果一個(gè)數(shù)列，不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或以后起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列.

④若數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差盡管都等于常數(shù)，但這些常數(shù)不都相等，那么這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列.

⑤對(duì)于公差d，需要強(qiáng)調(diào)的是它是從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差，不要把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒.2．等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng)，則有2A=a+b.反之，若2A=a+b，則a,A,b三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.3．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+(n-1)d，其中SKIPIF1<0為首項(xiàng)，d為公差.(2)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形已知等差數(shù)列{SKIPIF1<0}中的任意兩項(xiàng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(n,mSKIPIF1<0,m≠n)，則

SKIPIF1<0SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=(n-m)dSKIPIF1<04．等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+(n-1)d，可得SKIPIF1<0=dn+(SKIPIF1<0-d)，當(dāng)d=0時(shí)，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0為常數(shù)列，當(dāng)d≠0時(shí)，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+(n-1)d是關(guān)于n的一次函數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)就是等差數(shù)列的公差，因此等差數(shù)列{SKIPIF1<0}的圖象是直線y=dx+(SKIPIF1<0-d)上一群均勻分布的孤立的點(diǎn).5．等差數(shù)列的單調(diào)性由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和一次函數(shù)的關(guān)系可知等差數(shù)列的單調(diào)性受公差d影響.

①當(dāng)d>0時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，如圖①所示；

②當(dāng)d<0時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列，如圖②所示；

③當(dāng)d=0時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，如圖③所示.

因此，無(wú)論公差為何值，等差數(shù)列都不會(huì)是擺動(dòng)數(shù)列.6．等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè){SKIPIF1<0}為等差數(shù)列，公差為d，則

(1)若m+n=p+q(m,n,p,qSKIPIF1<0)，則SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0.

(2)數(shù)列{SKIPIF1<0SKIPIF1<0+b}(SKIPIF1<0,b是常數(shù))是公差為SKIPIF1<0d的等差數(shù)列.

(3)若{SKIPIF1<0}是公差為d'的等差數(shù)列，{SKIPIF1<0}與{SKIPIF1<0}的項(xiàng)數(shù)一致，則數(shù)列{SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為常數(shù))是公差為SKIPIF1<0d+SKIPIF1<0d'的等差數(shù)列.

(4)下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(k,mSKIPIF1<0)組成公差為md的等差數(shù)列.

(5)在等差數(shù)列{SKIPIF1<0}中，若SKIPIF1<0=m，SKIPIF1<0=n，m≠n，則有SKIPIF1<0=0.【題型1等差數(shù)列的基本量的求解】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)所給條件，求解等差數(shù)列的基本量，即可得解.【例1】（2022·河南商丘·高三階段練習(xí)（文））已知an為等差數(shù)列，若a30=100，a100=30A．1 B．12 C．?1 D．【變式1-1】（2022·河南安陽(yáng)·高二期中）已知等差數(shù)列an中，a3+a5=18，A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-2】（2022·浙江臺(tái)州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足：?m，n∈N*，am+n=amA．1 B．2 C．3 D．2022【變式1-3】（2022·甘肅·高二階段練習(xí)）首項(xiàng)為?24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是（

）．A．d>83 B．d<3 C．5【題型2等差中項(xiàng)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合等差中項(xiàng)的定義，即可得解.【例2】（2022·陜西·高二階段練習(xí)）已知a=4，b=8，則a，b的等差中項(xiàng)為（A．6 B．5 C．7 D．8【變式2-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知a=13+2，b=13?A．3 B．2 C．33 D．【變式2-2】（2022·四川省高二階段練習(xí)（文））等差數(shù)列an的前三項(xiàng)依次為x，2x+1，4x+2，則x的值為（

A．5x+5 B．2x+1 C．2 D．0【變式2-3】（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)a、m是實(shí)數(shù)，則“m=5”是“m為a和10?a的等差中項(xiàng)”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分也非必要條件【題型3等差數(shù)列的通項(xiàng)公式】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合所給數(shù)列的遞推公式，分析數(shù)列之間的規(guī)律關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解即可.【例3】（2022·甘肅·高二階段練習(xí)）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，a4=2,a7A．a(chǎn)n=?2n+10 B．a(chǎn)n=?2n+5【變式3-1】（2022·陜西寶雞·高二期中）已知等差數(shù)列an的前三項(xiàng)為a?1,a+1,2a+1，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

A．2n?5 B．2n?3C．2n?1 D．2n+1【變式3-2】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列an中，若a7=4,a19A．a(chǎn)n=C．a(chǎn)n【變式3-3】（2022·河南·二模（理））已知等差數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，a1+A．2n B．n+2C．3n?2 D．n【題型4等差數(shù)列的單調(diào)性】【方法點(diǎn)撥】判斷單調(diào)性的方法：①轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性，如基本初等函數(shù)的單調(diào)性等，研究數(shù)列的單調(diào)性.②利用定義判斷：作差比較法，即作差比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小；作商比較法，即作商比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小，從而判斷出數(shù)列{SKIPIF1<0}的單調(diào)性.【例4】（2022·北京·高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an單調(diào)遞增且滿足a1+a8A．-∞,3 B．3,6 C．3，+∞ D．6,+∞【變式4-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)1,5，2,3是等差數(shù)列an圖象上的兩點(diǎn)，則數(shù)列an為（A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．無(wú)法確定【變式4-2】（2022·北京·高考真題）設(shè)an是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則“an為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0，當(dāng)n>N0A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式4-3】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)結(jié)論：p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列ann是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列{aA．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4【題型5等差數(shù)列的判定與證明】【方法點(diǎn)撥】判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：(1)定義法：SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=d(常數(shù))(nSKIPIF1<0){SKIPIF1<0}是等差數(shù)列.(2)遞推法(等差中項(xiàng)法)：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0(nSKIPIF1<0){SKIPIF1<0}是等差數(shù)列.(3)通項(xiàng)公式法：SKIPIF1<0=pn+q(p,q為常數(shù),nSKIPIF1<0){SKIPIF1<0}是等差數(shù)列.【例5】（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足an+1=(1)求a2(2)證明：數(shù)列1a【變式5-1】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，a(1)求a2，a(2)證明：數(shù)列1an為等差數(shù)列，并求數(shù)列【變式5-2】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列an滿足a1=1，a(1)證明：an(2)求數(shù)列an【變式5-3】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，對(duì)任意n∈N*，an+12=a(1)求a1(2)求證：數(shù)列an【題型6利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于等差數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題，可觀察已知項(xiàng)和待求項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度.【