2023年江蘇省無錫市普通高校對口單招數學自考真題(含答案)

2023年江蘇省無錫市普通高校對口單招數

學自考真題（含答案）

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題（10題）

1.已知拋物線方程為y2=8x,則它的焦點到準線的距離是（）

A.8B.4C.2D.6

角3620°是第。象限角

2.

A—B.二C.三D.四

3.設a>b,c>d則（）

A.ac>bdB.a+c>b+cC.a+d>b+cD.ad>be

4.x的展開式中，常數項是（）

A.6B.-6C.4D.-4

5下列函數的定義域為R的是（）

A.y=《

1

y=------

B.x-J

y=x2-2x+l

1

D尸？

6.在等差數列{aj中，如果a3+a4+a5+a6+a7+a8=30,則數列的前10項的

和Sio為()

A.30B.40C.50D.60

7.直線4x+2y-7=0和直線3x-y+5=0的夾角是()

A.30°B.450C.60°D.9O0

8.已知集合，A=[0,3},B={-2,0,1,2},則AAB=()

A.空集B.{0}C.{0,3}D.{-2Q1,2,3}

9.如下圖所示，轉盤上有8個面積相等的扇形，轉動轉盤，則轉盤停止

轉動時，指針落在陰影部分的概率為()

A.1/8B.1/4C.3/8D.1/2

10.若sina與cosa同號，則a屬于（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第一、二象限角D.第一、三象限角

二、填空題（10題）

11.已知圓柱的底面半徑為1,母線長與底面的直徑相等，則該圓柱的

表面積為.

co$a且—兀則tan2a=

12.已知57X.

13.拋物線2y=x的焦點坐標是.

14.若4ABC中，ZC=90°,4°1一一4廁女?石。=。

15復數青

16.（x+2）6的展開式中x3的系數為_。

2

17.若ABC的內角A滿足sin2A=5'則sinA+cosA=,

18.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的k=ll,則輸出的5=

19.函數y=x2+5的遞減區(qū)間是

20.在等比數列｛aj中,as=4,a7=6,則a9=_。

三、計算題（5題）

21.解不等式4<|l-3x|<7

22.求焦點x軸上，實半軸長為4,且離心率為3/2的雙曲線方程.

23.己知直線1與直線y=2x+5平行，且直線1過點(3,2).

(1)求直線1的方程；

(2)求直線1在y軸上的截距.

24.有四個數，前三個數成等差數列，公差為10,后三個數成等比數

列，公比為3,求這四個數.

25.在等差數列｛an｝中,前n項和為Sn,且S4=-62,S6=-75,求等差數列

｛an｝的通項公式an.

四、簡答題(10題)

26.設等差數列W的前n項數和為Sn,已知

大=!且砧尸［Sj+S?=21,求

22的通項公式及它的前n項和Tn.

27.已知向量a=(1,2),b=(x,1),(i=a+2b,v=2a-b且ji//v；求

實數X。

28.據調查，某類產品一個月被投訴的次數為0,1,2的概率分別是

0.4,0.5,0.1,求該產品一個月內被投訴不超過1次的概率

29.已知A,B分別是橢圓7V=1的左右兩個焦點，0為坐標的原

更

點，點P(-l,E)在橢圓上，線段PB與y軸的焦點M為線段PB

的中心點，求橢圓的標準方程

30.如圖四面體ABCD中，AB_L平面BCD,BD_LCD.求證：

(1)平面ABD_L平面ACD；

(2)若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D的正弦值.

31.以點(0,3)為頂點，以y軸為對稱軸的拋物線的準線與雙曲線

3x2-y2+12=0的一條準線重合，求拋物線的方程。

21

32.由三個正數組成的等比數列，他們的倒數和是正，求這三個數

33.某商場經銷某種商品，顧客可采用一次性付款或分期付款購買，根

據以往資料統(tǒng)計，顧客采用一次性付款的概率是0.6,求3為顧客中至

少有1為采用一次性付款的概率。

/(x)=sm—+^cos—

34.已知函數23

(1)求函數f(x)的最小正周期及最值

(2)令以"=""?判斷函數g(x)的奇偶性，并說明理由

35.等差數列(4；的前n項和為Sn，已知aio=3O,a2o=5O。

(1)求通項公式ano

(2)若Sn=242,求n。

五、解答題(10題)

36.

已知向阜.a=(-Lcos6),B=(sm6,2),耳￡_L6,求3cos：5-6)+4sui2e

的值

37.

如圖，橢圓￡:二+二=I的離心率是叱，過點P(Q1)的動直線/與

ah2

橢圓相交于A.8兩點。當直線/平行于、軸時，直線/被橢圓E截得的線段長為20。

(1)球橢圓E的方程；

(2)在平面直角坐標系.mv中，是否存在與點P不同的定點。，使得附=叫恒成立？

畫I網

若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由。

38.

設F和F分別是橢圖二+=?的左焦點和右焦點，A是該橢圓與y軸負半軸的交點，

v4

在橢圖上求點P，使得成等差數列。

39.

友平面為.角出擇金xOy中，角(0<a<.g.g<夕<兀)的m點與,殺點”重合，始曳

53

與.1勉的正堂財宜合.終身分利與單枚塞文于4.8再點，48兩點的以生杼分別為仁.5.

(I)求tan/?的彼；m)求A4O8的面也.

40.等差數列｛an｝中，37=4,ai9=2a%

(1)求｛aj的通項公式；

(2)設bn=l/nan求數列｛&｝的前n項和Sn.

已知418C.。也「是中，/A、ZB、NC的對邊，b=l,c=V^.ZC=

⑴求”的值；

41(2)求co、B的值.

討論函數f(x)=i可4i的奇偶性

卜_4|_|4+、|

42.

43.已知函數⑺"T；

(1)f(兀/6)的值；

(2)求函數f(x)的最小正周期和單調遞增區(qū)間.

44.已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=i(a>b>0)的離心率為,其中左焦點F(-

2,0).

⑴求橢圓C的方程；

(2)若直線：y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A,B,且線段AB的中

點M在圓:x?+y2=I上，求m的值.

45.已知a為實數，函數f(x)=(x2+I)(x+a).若f(-l)=0,

求函數：y=f(x)在［-3/2,1］上的最大值和最小值。

六、單選題(0題)

46.圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()

A.(x-l)2+(y-l)2=l

B.(x+lF+(y+1)2=1

C.(x+lF+(y+1)2=2

D.(x-l)2+(y-1>=2

參考答案

l.B

拋物線方程為y2=2px=2*4x,焦點坐標為(p/2,0)=(2,0),準線方程

為x=-p/2=-2,則焦點到準線的距離為p/2-(-p/2)=p=4o

2.A

3.B

不等式的性質。由不等式性質得B正確.

4.A

在0+的二項展開式中,通項公式為：

41=C=c；x4~2r,

令4-2r=0,解得r=2.

常數項=C：=6.

5.C

6.C

???在等差數列{%}中,

Q,3+(1,\+。巧+。6+。7+=30,

*。5+Q6)=30,

即&)+。6=1°,

.Q_10(Q1+%0)_10(。5+。6)_10X10

-Dio2220e

7.B

由題意，直線4/+24-7=0的斜率為-2,

直線3/-g+5=0的斜率為3,則

直線4c+2g—7=0和直線31—g+5=0的

1-2-31

夾角的正切值是|---------|=1

1+(-2)x3

直線4c+2y—7=0和直線3c—y+5=0

的夾角45°

8.B

集合的運算.根據交集定義，AAB={0}

9.D

本題考查幾何概型概率的計算。陰影部分的面積為圓面的一半，由幾

何概型可知P=l/2。

10.D

各三角函數在各象限的符號分布的口訣為：

一全正，二正弦，三正切，四余弦

所以一、三象限正弦，余弦的符號相同

11.671圓柱的側面積計算公式.利用圓柱的側面積公式求解，該圓柱的側

面積為27x1x2=4兀，一個底面圓的面積是兀，所以該圓柱的表面積為

4兀+27兀=6兀.

12.

24

T

13.

(-.0)(」.0)

8,因為p=l/4,所以焦點坐標為8.

14.0

-16

在△月月。中，

因為/。=90°，

AC=3.BC=4,

所以|4洌=5,

\BC

所以cos5=

\AB\5

所以

AB~BC=|AB\|3。|。。$（萬一8）=-5x4x-1=-1G

綜上所述，答案：—16

宣演2-2i（2-20（1-i）2X（-2i）

復數（1+i）（一）=-2—：

故答案為：-2i.

16.160

本題主要考查二項式定理。

展開式中〃的系數是叱-23=160。

18.15

程序框圖的運算.模擬程序的運行，可得k=U,n=l,S=1不滿足條件

S>11,執(zhí)行循環(huán)體，n=2,S=3,不滿足條件S>11,執(zhí)行循環(huán)體，

n=3,S=6,不滿足條件S>11,執(zhí)行循環(huán)體，n=4,S=10,不滿足條件S

>11,執(zhí)行循環(huán)體，N=5,S=15,此時，滿足條件S>11,退出循環(huán)，

輸出S的值為15.故答案為15.

19.(-oo,0]o因為二次函數的對稱軸是x=0,開口向上，所以遞減區(qū)間

為(-00,0]o

20.

等比數列｛。"｝中，劭=4,a7=6

Q2

6=4xQ2

23

?,a9—a7■q2—6x—0

21.

解：對不等式進行同解變形得：

4<l-3x<7或-7<l-3x<-4

58

解得：—<X<—或-2vxv-l

33

22.解：

實半軸長為4

a=4

e=c/a=3/2,/.c=6

.\a2=16,b2=c-a2=20

)2

雙曲線方程為16

23.解：⑴設所求直線I的方程為：2x-y+C=0

；宜線1過點(3,2)

6-2+c=0

即c=-4

所求直線I的方程為：2x-y-4=0

(2)?.?當x=0時，y=-4

二直線I在y軸上的截距為-4

24.

解:設前三個數分別為b-10,b,b+10,因為b,b+10成等比數列且公比為3

6+10、

------=3

b

.,.b+10=3b,b=5

所以四個數為-5,5,15,45.

25.解:設首項為ai、公差為d,依題意:4ai+6d=-62；6ai+15d=-75

解得ai=-20,d=3,an=ai+(n-1)d=3n-23

26.(1)$2W+S$=21=1

又???等差數列

2

T3

r.二—

(2)附+1

27.

〃=a+》=(L2)+(x,l)=(2x,14)v-(2-x,3)

Vg//v

1

x二一

(2x+1.4)=(2-x,3)得2

28.設事件A表示“一個月內被投訴的次數為0”，事件B表示“一個月內

被投訴的次數為1”

AP(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9

29.點M是線段PB的中點

又：OM_LAB,APA1.AB

11

貝(Jc=la'+2b'=1,a2=b2+c2

解得，a2=2,b2=l,c2=l

因此橢圓的標準方程為51'一

30.

解：(1)證明過程略

(2)解析：；平面AUDI.面ACD二平面ABD平面ACD=AD作B￡

±APTE

貝ljJS￡L平面ACD作BFJ_AC于F

連接￡F:.EFJ.AC:.BFE為所求角

設BD=a則AC=2&aBf=&a

里=空￡尸=與叵H叵

CDADV5a5

病

cosZ-BFE

sinZ5FF=-

5

31.由題意可設所求拋物線的方程為x-ZpJ-JXpX)

一=-巴

準線方程為.2

則y=-3代入得:p=12

所求拋物線方程為X2=24(y-3)

32.設等比數列的三個正數為1,a,aq

—+a+a<7=2l.—+—+—=—

由題意得gaaaq\e

解得，a=4,q=l或q=4

解得這三個數為1,4,16或16,4,1

33.

P=l-(1-0,6)3=1-0.064=0.936

一、XR彳JXX、A.X貫、

J(x)=sin--f-Jjcos—=2("sin-H----cos-)=2sm(—H?一)

34.(1)22222223

T=--4TT/⑶最小值=-2/(x)最大值=2

f(x)=2sin(—+-)

⑵22,

.g(*)M/(^+y)>2sm(^+-^)=2cos-^

-XX

g(-x)=2coi—=2co$—=g(x)

又22

，函數是偶函數

35.

(1)a”=q+(〃+l)d,々I。=30,a2c=50

???5+9d=30,q+19d=50得q=12,d=2

則&=2n+10

(2)S?=nay+"("；.!)d且S.=242

n(n-1)...

12〃+-----x2=24

2

得n=ll或n=—22(舍去)

36.

?.?〃=(-l.cosS)分=(sin6.2)15

-sin6+2cos〃=0....lan"=2

3cos'("8)+4sui28=3cos':+8sinJcos8=3cos?，8siu,cos6=3二8—叫=些

cos-8+sm。1+can-05

37.

(1)由題知橢圓過點(JI1)。得

示一，=1解得：a=c=0。

a2=h2+。2

所以，摭圓方程為：1+彳=1。

(2)假設存在筋足題意的定點0。

當直線/平行于'軸時，因=啰=1，A.3兩點關于.v軸時稱，得Q在、軸上。不妨設

mn

當直線/為.'軸時，崛=心1|?圖=上乎，”1。解得〃=2

明\a+y/2\\PB1+0

下證對一般的直線/：￥=4+1，2(0.2)也滿足題意。

由篇=耨得'軸為/AQ5的角平分線。斫以仆4=%。

不妨設八(小、).8t0.工)

X=kxi+l.y2=kx2+\

止=一三/，化筲謬2kx,x2=%+x?①

又橢圓方程與直線方程聯(lián)立得：

v=A.rl,,

+，(l2A-).r4tv_2=0

-v+2y*=4'++

帚入①得成立。故假設成立。綜上存在點滿足題意。

38.

設點P(x,y)設點P(x,y)

由于甲娟+"q=6,由于|「與+=6,

A(0>-2)A(0--2)

從而由PF\.\PA.\PF,成差數列可得從而由/國.？A.|P八成差數列可得

|飛=3,即x+(y+2)=9色=3,即x+(y+2)=9

一LV

又亍+不=1

斯以上二一［=0所以二L1=o

9494

-4

解得y=4或產解得尸4或尸一,

39.

33

但國處左單左到中.B點的以生移勢不，所以sm/?=M，

國為工<(］〈兀，所以cos0=—

5

所以tanR=""=--

cosp4

55

(II)*：回為女單生圉中.A點的妖坐卷為R,所以$1(1a=不

rr12

S]o<a<-,所以cosa=R

34

由⑴得sinp=《.cos0二一丁

56

所以sin/AOB=sin(/?-?)=sinftco^a-cosflsin?=—

又號為OA|=L|OB|=1.所以aAOB的時費

5=llOAI.IOBIsinzAOB=-.

265

40.

m設等總數，(a.)的公差為d.JH".

.S-4

+(H—l)d,曲］

1。1??2a.

一(。1/64/-4—1

得?.」■?得4?l?d?彳.

hi+iw-2(?t+8<n2

A(-.l的通』公式為a.

+?一----^-r>

I，Z3??+l

2M

41.

(I)Q〃=I.C=6.COSNC=；

/.由余弦定理得

,陵+〃-〃

cosZ<r-----------------

2ab

““2+T?

cos-=----------------J

32x1t7

1標+1-3

2la

解得：〃=-l(舍去)或a=2

二。=2

(2)由⑴知a=2

又Q〃="=W

.-,由余弦定理得

cos"+6”66

24cnr亍

42.

+9+一

由

k-4|一|4.乂工0

，XUR

解得=八J.X千0

二這函數的定義域關于原點對稱?

=-f（X）

工函數f（X）是奇函數

43.

（1）f（??■）—2cos，（三）+V3sin1一1=

oo3

2X（除尸+.X§-1=2.

乙4

（2）f（jr）=2cos2x4-V3sin2x-1=2sin（2x+

堂）.,.函數/G）的最小正周期丁=好=上令一

u4

1+2Aic42i+高&與+24穴,計算得出一三十

4043

日414看+—所以的單調增區(qū)間是

—三A6Z