2023年高考數(shù)學(xué)第53講 空間實施大平移

第53講空間實施大平移，精妙玩轉(zhuǎn)線線角

一、知識聚焦

一、異面直線所成角求解的一般方法

1平移法

通過平移直線杷異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決.平移法求異面直線所成角的一般步驟

如下.

(1)平移:選擇適當?shù)狞c，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點通常選擇

特殊位置的點，如線段的中點或端點，也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點.“平移”

可以是單移，也可以是雙移,視需要而定.

(2)證明:證明所作的角是異面直線所成的角.

(3)尋找:在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.

⑷取舍:因為異面直線所成角。的取值范圍是.所以，所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的

補角作為異面直線所成的角.

2向量法

建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出兩異面直線所在向量的坐標，代人向量夾角公式即可求

出.

二、構(gòu)造異面直線所成的角的技巧

(1)當異面直線依附于某幾何體，且直接過異面直線上的點平移直線有困難時，利用該幾

何體中的特殊點，將兩條異面直線分別平移相交于該點(雙移),找出特殊點是關(guān)鍵.

(2)通過構(gòu)造輔助平面來平移直線，或者把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體,如正方

體、平行六面體、長方體等，從而發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，補形法，空間實施大平移,精妙玩

轉(zhuǎn)線線角.

二、精講與訓(xùn)練

【核心例題1]

⑴異面直線。功所成的角為仇過空間中定點P與。力都成(角的直線有4條，則。的

取值范圍是.

⑵如圖所示在正四面體ABCD中,E,尸分別是AB,CD的中點，求EF和BC所成的

角.

A

⑶如圖所示在正四面體ABCD中，線段MN是棱AC的中點和ABCD中心的連線而

線段DE是ZVLBZ）的高，求MN和DE所成角的余弦值.

【解題策略】

第⑴問，異面直線，指的是不可能找到一個平面能同時包含的兩條直線.但它們所成的角

是存在的、如何求出異面直線所成角的大小,通常用平移法.比如本題討論異面直線。功所成

角氏可通過過空間定點P分別作的平行線，兩平行線所成的［（）,￡之間的角即為"然

TT

而本題中。的取值范圍是變化的，探究過定點尸與。涉都成§角的直線有4條時，。在什么

范圍內(nèi)?若設(shè)過點P柞l、〃a,1111b，則4與12確定平面a,在a平面內(nèi)作角。的角平分線，此

平分線繞點P旋轉(zhuǎn)，同時又過點P作角6的補角乃-。的平分線，同樣繞點P旋轉(zhuǎn)，當符合條

件的直線有4條時確定8的范圍.第⑵、第⑶問都是求正四面體上兩異面直線所成的角，通

常是通過平移化空間為平面，再解三角形求得.一般情況下運用余弦定理，也可用原圖形的擴

展,每個四面體都有其外接平行六面體，四面體的棱為平行六面體的面對角線,正四面體的外

接平行六面體是正方體或者說正四面體是正方體的六條面對角線所構(gòu)成的內(nèi)接圖形.

【解】

7F

⑴作直線4//a,4/，且4c4=尸，則直線4,4所成角為40<“，3，記直線4■12所

在平面為a，在面a內(nèi)過點P作角。的角平分線，將此直線繞點P旋轉(zhuǎn),可得到與直線44所

成角都為工角的直線兩條;在面a內(nèi)過點P作角。的補角〃一。的角平分線，當工心〈工，

323

TTTT

即e〉彳，將此線繞點P旋轉(zhuǎn)可得到與直線4,4所成角都為y角的直線兩條，從而e的取值

范圍是存：.

(2)【解法一】

如圖所示，取BO的中點M,連接EM,則EM//‘A。，F(xiàn)M//-BC,

=2=2

:.ZEFM是EF與BC所成的角或其補角.

ABC。是正四面體4)=3。且4。，8。，

于是EA/=FM且

即AEMF是等腰直角三角形,ZEFM=45°.即EE與8c所成角為45°.

【解法二】

如圖所示，作正四面體ABCD的外接正方體，則E,E分別為正方體相對兩個面的中心,

??EF//BG,于是EF與BC所成角即為NCBG,其大小為45。.

⑶如圖所示，連接ON,延長交于點F，可知F為5c中點.連接EE取EF三等分點G,

出EG2

使---=—

GF1

連接GM則GN//。￡且GN=』DE,:.NGNM是MN和DE所成的角或其補角.

3

設(shè)正四面體棱長為a，在AGMN中,GN=@a,GM="a,而

66

MC=-a,NC=—a,cosZMCN=—

233

MN2=MC-+NC2-2MC-NCcosZMCN=-a2,

42

...ssNGN*也+處-吆=述

2NG-MN18

MN和DE所成角為arccos----.

【變式訓(xùn)練】

如圖所示，在正方體ABCD-AgG。中，若E為CC的中點，求鳥。與AE所成角的余弦

值.

【核心例題2]

將邊長為1的正方形441ao(及其內(nèi)部)繞。。1旋例題.轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖所示,AC

°

長為T，Ag長為(，其中與c在平面A4,。。的同側(cè).

⑴求三棱雉c—。4瓦的體積.

(2)求異面直線4C與AA所成角的大小.

【解題策略】

本題依據(jù)求兩異面直線所成角的3種基本方法求解.分別為:①立體幾何的平移法;②統(tǒng)

向量的方法;③向量坐標法.這3種解法各有特色,正所謂“精妙玩轉(zhuǎn)線線角”.

【解】

小"11V3.G

(1)V=-S〃=-x——xl=——.

33412

(2)解法一(平移法)

如圖所示，過點。做直線CG//AV則NCC4為異面直線與。與A4所成的角.在

n

RtAGqq中,B￡=1,CC1=1,因此tanZC,CB,=1,/.ZC,CB,=-

TT

???異面直線BC與AA所成角為w

【解法二】（純向量法）

如圖所示，由

4。=4。+oc,且4A=qo得4c?AA=（4。+ocj-qo=qo-q。+

V2

OCO]O=\B}O^Olo\cosZBlOOi+Q=y/2x]x---=1

2

因此cos(B]C,44])=^=^

TT

???異面直線8c與A4所成的角為

【解法三】（向量坐標法）

建立如圖所示空間直角坐標系,

?總。1

則A(O,1,O),A(0,1,1),cBiI2,A4,=(0,0,1),B,C=(0,-1,-1).

7

因此COS/AA,,B[C)=；=省

\/網(wǎng)&2

,異面直線時與9所成的角為:

【變式訓(xùn)練1】

如圖所示，已知空間四邊形ABCD中,AB=CD=3,E,F分別是BC,AD上的點，并且

BE:EC=AF:FD=1:2,EF=J7,求A3和8所成角的大小.

【變式訓(xùn)練2】

如圖所示，在四棱錐尸一ABC。中,PD±平面ABC。，PA與平面A3。所成的角為6()。,在

四邊形A8CD中,NA￡>C=ND48=90°,A8=4,CD=l,A￡>=2,求異面直線24與

BC所成角的余弦值.

【核心例題3]

(1)如圖所示，已知平面四邊形ABC。，AB=BC=3,CD=1,AD=&NADC=90°,,沿

直線AC將AAC。翻折成AACD,直線AC與BD所成角的余弦的最大值是,

(2)已知。力為空間中兩條互相垂直的直線，等腰RtAABC的直角邊AC所在直線與

都垂直，斜邊A3以直線AC

①當直線A6與。成60。角時,A8與匕成30。角;

②當直線45與。成60°角時,A3與方成60°角；

③直線AB與。所成角的最小值為45°；

④直線AB與a所成角的最大值為60°.

其中正確的是.（填寫所有正確的結(jié)論的編號）

【解題策略】

第Q）問，平面圖形折疊問題的解題關(guān)鍵是抓住折疊前后角度和長度的“變”與“不

變”關(guān)系,可以運用逆向思維、反其道而行之.由三維空間回歸二維平面（降維處理法）,這樣就

簡單多了，由APACMMAC可認猜測:將AACZ）沿直線AC旋轉(zhuǎn)到AA3C位置時，點P剛

好落在8C的一個三等分點F處,此時即可取得最大值.第（2）問，解題的關(guān)鍵是由條件創(chuàng)設(shè)

問題變化的情景.抓住旋轉(zhuǎn)這一動態(tài)變化構(gòu)思解題方法，由于創(chuàng)設(shè)的情景不同,可以有不同的

解法呈現(xiàn).

【解】

#+（拘2=娓

（1）如圖所示,AC

延長CD到點P，使〃尸=2,連接AP,由已知得NADP=90。,

AP=百+（府=3,故APAC三ABAC.

作D'E//CA，交AP于點E，連接,則必有BD=BE,ABDE為等腰三角形，故ABDE

為銳角，且等于直線AC與BD所成的角.

設(shè)NBDE為仇令BD'=BE=x,D'E^-CA=^-,

33

x2+-x2

____V6

在20'￡中,85<9=-----------

c2遙3x

2xx-

3

再設(shè)ABCD=a，則x=V32+l2-2x3xlxcosa=V10-6cosa.

易知，當以）5。=1時,％=%/取得最小值2,故（COSd）max=￥

6

???直線AC與所成角的余弦的最大值是逅

6

B

(2)【解法一】由旋轉(zhuǎn)軸，創(chuàng)設(shè)圓錐，情景如圖所示，設(shè)即為直線a,EB為直線》，

ACLa,ACVh,

???AC，底面于點C,在底面內(nèi)作BDHa，交圓于點E，連接DE，則DEI!h.在AABD中,

A6=AO=a,當直線45與a成60°角時,/45。=60°,故8。=&,?！?0,

與此同時,BF=DE=41.：.AABF為等邊三角形.

ZABF=60°.

即②正確，①錯誤油最小角定理可知③正確；

顯然存在平面ABC1直線a，直線AB與。所成角的最大值為90°.

故④錯誤.

,正確的是②③.

【解法二】

如圖所示，不妨設(shè)正方體的棱長為1.則B點運動軌跡為以。為圓心,1為半徑的圓.

AB'=(cossin。，-1)，HM=V2，設(shè)AB'與直線a的方向向量n=(0,1,0)的夾角為a,

??n-AB'>/2,.「萬