人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修一)同步培優(yōu)講義綜合測試卷：選擇性必修一全冊（基礎(chǔ)篇）（教師版）

選擇性必修一全冊綜合測試卷-基礎(chǔ)篇參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022·黑龍江·高二階段練習(xí)）已知a=1,0,1，b=?2,?1,1，c=A．?9,?3,0 B．0,2,?1 C．9,3,0 D．9,0,0【解題思路】直接由向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出答案.【解答過程】a?故選：C.2．（5分）（2022·北京市高二階段練習(xí)）下列命題正確的個數(shù)是（

）①經(jīng)過定點(diǎn)Px0，②直線l過點(diǎn)Px0，y③在坐標(biāo)軸上截距相等的直線都可以用方程xa④直線y=ax?3a+2a∈RA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)直線斜率是否存在可判斷①②，根據(jù)截距可以為0可判斷③，由直線恒過定點(diǎn)可判斷④.【解答過程】當(dāng)直線過點(diǎn)Px0，y0且與x直線l過點(diǎn)Px0，y0，傾斜角為90°在坐標(biāo)軸上截距相等的直線可能過原點(diǎn)，所以不一定能用xa+y直線y=ax?3a+2a∈R可化為y=a(x?3)+2，故恒過定點(diǎn)(3,2)，故故選：B.3．（5分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線l的方向向量為a=1,0,2，平面α的法向量為A．l∥α B．l⊥αC．l?α或l∥α D．l與α斜交【解題思路】利用直線的方向向量和平面的法向量垂直來判斷直線和平面的位置關(guān)系.【解答過程】∵a=1,0,2，∴a?n=0∴l(xiāng)∥α或l?α.故選：C.4．（5分）（2022·湖南·高二階段練習(xí)）空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M在OA上，OM=23A．12aC．12a【解題思路】利用向量的加減法，將MN分解用a,【解答過程】由圖可知：MN=即MN=?故選：B.5．（5分）（2022·湖南·高二階段練習(xí)）已知圓C:x?22+y2=4，直線過點(diǎn)A1,1交圓C于A．2,2 B．2,4 C．2,2【解題思路】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，即可判斷點(diǎn)A在圓內(nèi)，即可求出弦長最大、最小值，即可得解.【解答過程】解：圓C:x?22+y2=4的圓心所以點(diǎn)A1,1當(dāng)直線過圓心C時，弦長PQ取最大值4，當(dāng)直線l⊥AC時，圓心C到直線的距離最大，最大值為AC=2?12+0?12故選：D.6．（5分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線與其交于A，B兩點(diǎn)，AF>BF，如果AF=5A．352 B．54 C．【解題思路】設(shè)Ax,y，根據(jù)AF=5，利用拋物線定義求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線AF的方程，求得點(diǎn)【解答過程】解：拋物線的焦點(diǎn)F1,0，準(zhǔn)線方程為x=?1設(shè)Ax,y，則AF=x+1=5，故x=4，此時即A4,4，則直線AF的方程為y?04?0=代入y2=4x得4x2?17x+4=0則BF=故選：B．7．（5分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)e1，e2分別為具有公共焦點(diǎn)F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點(diǎn)，且滿足PFA．3 B．92 C．4 D．【解題思路】對橢圓和雙曲線的離心率分別求出，首先根據(jù)橢圓及雙曲線的定義求出PF12+PF，就得到了a,m,c的關(guān)系，最后利用基本不等式求得最小值.【解答過程】解：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實(shí)軸長為2m，不妨令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義PF1?由橢圓的定義PF1+PF2=2a②①2+②2得PF12+P∴4e故選：B．8．（5分）（2021·四川·高二階段練習(xí)（理））已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0與直線y=kx交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一動點(diǎn)，記直線PA,PB的斜率分別為kPA,A．a(chǎn)=4B．曲線C的離心率為6C．若PF1⊥PFD．若△PF1F2的面積為【解題思路】由題意可求得雙曲線的離心率以及求得a,b的值，故可判斷A,B;根據(jù)PF1⊥PF2，求得焦半徑|PF1|，|PF【解答過程】設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(?x1，則x12a2?y1因?yàn)閗PA?kPB=(y故雙曲線C的漸近線方程為y=±1因?yàn)榻裹c(diǎn)(c,0)到漸近線y=12x的距離為1，所以c即有a2+b2=5，所以a=2對于C，不妨設(shè)P在C的右支上，記|PF2|=t，則|PF1解得t=6?2或所以△PF1F2的面積為對于D，設(shè)P(x0，y0)，因?yàn)閷y0|=2代入C:x2由對稱性，不妨取P的坐標(biāo)為(25,2)，則|P因?yàn)閏os所以∠PF2F1為鈍角，所以故選：D．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2022·湖南·高二階段練習(xí)）已知向量a=1,1,0，則與a共線的單位向量e=A．?22C．?22【解題思路】根據(jù)a=1,1,0與【解答過程】由a=1,1,0，得所以當(dāng)e與a同向時，e=當(dāng)e與a反向時，e=?故選：AD.10．（5分）（2022·山西·高二階段練習(xí)）過點(diǎn)P-3,-1的直線l與圓xA．0° B．30° C．45° D．60°【解題思路】設(shè)出直線方程，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求出斜率，即可得解．【解答過程】設(shè)過點(diǎn)P的直線方程為y=k(x+3)-1，則由直線與圓相切知3k-1故選：AD．11．（5分）（2022·全國·模擬預(yù)測）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，I分別為AD，AB，A．直線D1E與直線B．點(diǎn)D與點(diǎn)B到平面D1C．直線EF與平面HIG平行D．D1F與GH【解題思路】根據(jù)給定的正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，再借助空間向量逐項(xiàng)分析求解作答.【解答過程】在正方體ABCD?A1B1C則D(0,0,0),D對于A，D1E=(1,0,?2),GD=(?2,?2,?1)對于B，EF=(1,1,0),DB=(2,2,0)=2EF，即EF//而EF?平面D1EF，DB?平面D1EF，因此DB//平面D1EF，所以點(diǎn)對于C，IH=(1,1,0)=EF，即IH//EF，而又IH?平面HIG，EF?平面HIG，因此EF//平面HIG，C正確；對于D，D1F=(2,1,?2),GH=(?1,0,1)，令D則cosθ=|cos?故選：ABC.12．（5分）（2022·湖南永州·一模）拋物線C:y2=2px(p>0)，點(diǎn)M(?3,0)在其準(zhǔn)線l上，過焦點(diǎn)F的直線m與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)AA．p=6B．∠AMB有可能是鈍角C．當(dāng)直線m的斜率為3時，△AFM與△BFM面積之比為3D．當(dāng)直線AM與拋物線C只有一個公共點(diǎn)時，|AB|=12【解題思路】對于A，利用拋物線的準(zhǔn)線方程即可求解；對于B,對直線m的斜率存在和不存在時進(jìn)行分類討論，得到MA,MB，計算MA?MB即可判斷；對于C，可得到S△AFMS△BFM=?y1y2，通過計算出【解答過程】解：對于A，由拋物線C:y2=2px(p>0)又點(diǎn)M(?3,0)在其準(zhǔn)線l上，所以?p2=?3對于B，由A選項(xiàng)可得y2=12x，且焦點(diǎn)當(dāng)直線m的斜率存在時，設(shè)直線m:y=kx?3，A則y=kx?3y2所以x1+x因?yàn)镸A所以MA=x所以cos∠AMB=MA?MBMA當(dāng)直線m的斜率不存在時，直線m:x=3，所以將x=3代入拋物線可得y=±6，則A3,6則MA=6,6,MB=對于C，S△AFM=1所以S△AFM所以當(dāng)k=3時，y1+y2所以S△AFM對于D，易得直線AM的斜率存在，設(shè)直線AM的方程為y=mx+3所以由y=mx+3y2=12x因?yàn)橹本€AM與拋物線C只有一個公共點(diǎn)，所以Δ=6m又因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以m>0，則m=1，①可變成x2?6x+9=0，解得x由B選項(xiàng)可得此時B3,?6，所以AB故選：ACD.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2022·天津市高二階段練習(xí)）過點(diǎn)Am,3,??B?1,m兩點(diǎn)的直線與直線l平行，直線l的傾斜角為【解題思路】根據(jù)題意,求出直線AB的斜率和直線l的斜率，由AB//【解答過程】因?yàn)橹本€l的傾斜角為45°，所以直線l的斜率k=過Am,3,??由直線AB與直線l平行，所以3?mm+1=1解得故答案為：1.14．（5分）（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A(3，5)作圓O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切線，則切線的方程為5x－12y＋45＝0或x－3＝0.【解題思路】首先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，然后設(shè)出直線的方程，進(jìn)而根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑即可求出結(jié)果.【解答過程】因?yàn)?2+5且x2+y若切線斜率不存在，即x=3，圓心1,2到直線x=3的距離為2，故直線x=3是圓的切線，若切線的斜率存在，設(shè)切線方程為y?5=kx?3，即kx?y?3k+5=0則k?2?3k+5k2+1=2，則3?2kk所以y?5=512x?3綜上：切線的方程為5x?12y+45=0或x=3.故答案為：5x?12y+45=0或x=3.15．（5分）（2022·湖北·高一期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB,AD的夾角都等于60°.若M是PC的中點(diǎn)，則直線BM與AP所成角的余弦值為63【解題思路】記AB=a,AD=b,【解答過程】記AB=因?yàn)锳B=AD=1,PA=2，所以|a又因?yàn)锳B⊥AD,∠PAB=∠PAD=60°，所以a?易得BM=所以|=1所以BM=又BM?故答案為：6316．（5分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點(diǎn)P在雙曲線C：x216?y29=1上，F(xiàn)1、F2①點(diǎn)P到x軸的距離為203；②PF1+PF2【解題思路】根據(jù)雙曲線的方程、定義與性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積求出P的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式、斜率公式以及余弦定理，對選項(xiàng)逐一判斷即可.【解答過程】由已知a=4,b=3,c=5因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，F(xiàn)1、F2是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，所以12yP?2c=5y對于①，點(diǎn)P到x軸的距離為4，故①錯誤.對于②，由對稱性，不妨設(shè)P203,4.因?yàn)镕所以PF1+對于③，由對稱性，不妨設(shè)P203,4結(jié)合PF1+PF所以在△PF1F所以∠F1F對于④，由對稱性，不妨設(shè)P203,4，由③的判斷過程知，P則S△P所以sin∠F1PF故答案為：②③.四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2022·新疆·高二期末（文））求適合下列條件的圓錐曲線方程：(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，短軸長為2的橢圓方程.(2)焦點(diǎn)在x軸上，a=25經(jīng)過點(diǎn)A(?5,2)【解題思路】（1）由已知得c=2,b=1，根據(jù)橢圓中a、b、c三量關(guān)系求出a值即可得到橢圓方程；（2）已知a和雙曲線上一點(diǎn)，設(shè)雙曲線方程，通過待定系數(shù)法求解即可.【解答過程】（1）根據(jù)題意可得，橢圓長軸在x軸上，且c=2,b=2所以a2所以橢圓方程為x2（2）根據(jù)題意可得，雙曲線實(shí)軸在x軸上，設(shè)雙曲線方程為x2則2520?4所以雙曲線方程為x218．（12分）（2022·湖南·高二階段練習(xí)）已知空間中三點(diǎn)A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設(shè)AB=a，(1)求向量a與向量b的坐標(biāo)；(2)若ka+b與k【解題思路】（1）根據(jù)空間向量坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【解答過程】（1）a=(1,1,0)，b（2）∵ka+b且ka+b∴(k?1,k,2)?(k+2,k,?4)=2k解得k=2或k=?519．（12分）（2022·北京市高二階段練習(xí)）已知△ABC頂點(diǎn)A(1)求BC邊上中線所在的直線方程(2)求BC邊上高線所在的直線方程．【解題思路】（1）求出線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求出直線方程，化為一般方程；（2）求出直線BC的斜率，得到BC邊上高線所在直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線方程，化為一般方程.【解答過程】（1）線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為?1+12,?3+1所以BC邊上中線所在的直線方程為：y+1x?0整理得：x?3y?3=0；（2）直線BC的斜率為1+31+1所以BC邊上高線所在直線的斜率為?1所以BC邊上高線所在直線的方程為y=?1整理得：x+2y?3=0.20．（12分）（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)C是直線x－y－6＝0上的點(diǎn)，且點(diǎn)A（4，0），B（6，2）在以C為圓心的圓上．(1)求圓C的方程；(2)若直線x＝ay＋4被圓C截得的弦長為2，求a的值．【解題思路】（1）根據(jù)題意設(shè)圓心坐標(biāo)，結(jié)合圓的定義運(yùn)算求解；（2）根據(jù)垂徑定理d2+(【解答過程】（1）由題意設(shè)C(c,c?6)，由圓的性質(zhì)得|CA|=|CB|，即(c?4)2+所以圓心C(6,0)，半徑r為2，則圓C的方程為：(x?6)（2）設(shè)弦長為L，圓心C到直線的距離為d，則由垂徑定理得d由已知得d=2a2所以有4a2+121．（12分）（2022·河北·高二期末）如圖，四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E為PC中點(diǎn)．(1)求證：DE⊥平面PCB；(2)求二面角E?BD?P的余弦值．【解題思路】（1）根據(jù)條件先證BC⊥平面PCD，得到BC⊥DE，再由DE⊥PC，即可證明DE⊥平面PCB.（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BDE，平面PDB的法向量，即可求得二面角的余弦值.【解答過程】（1）證明:∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵正方形ABCD中，CD⊥BC，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，又∵DE?平面PCD，∴BC⊥DE，∵PD＝CD，E是PC的中