三視圖中的小正方體計(jì)數(shù)問(wèn)題

PAGEPAGE3三視圖中的小正方體計(jì)數(shù)問(wèn)題通過(guò)小正方體組合圖形的三視圖，確定組合圖形中小正方體的個(gè)數(shù)，在中考或競(jìng)賽中經(jīng)常會(huì)遇到。解決這類問(wèn)題如果沒(méi)有掌握正確的方法，僅僅依賴空間想象去解決，不僅思維難度很大，還很容易出錯(cuò)。

通過(guò)三視圖計(jì)算組合圖形的小正方體的個(gè)數(shù)，關(guān)鍵是要弄清楚這個(gè)小正方體組合圖形共有多少行、多少列、每行每列中各有多少層，理清了這些行、列、層的數(shù)量，小正方體的個(gè)數(shù)就迎刃而解了。在三視圖中，通過(guò)主視圖、俯視圖可以確定組合圖形的列數(shù)；通過(guò)俯視圖、左視圖可以確定組合圖形的行數(shù)；通過(guò)主視圖、左視圖可以確定行與列中的最高層數(shù)。

以上方法可簡(jiǎn)要地概括為：“主俯看列，俯左看行，主左看層，分清行列層，計(jì)數(shù)不求人。”

一、結(jié)果唯一的計(jì)數(shù)

例1在一倉(cāng)庫(kù)里堆放著若干個(gè)相同的正方體貨箱，倉(cāng)庫(kù)管理員將這堆貨箱的三視圖畫了出來(lái)，如圖所示，則這堆正方體貨箱共有（

）A．9箱

B．10箱

C．11箱

D．12箱分析：由三視圖可知，這堆貨箱共有從前到后3行，從左到右3列。由左視圖：第一行均為1層，第二行最高2層，第三行最高3層；由主視圖：第一列、第三列均為1層，第二列（中間列）最高為3層。故第二行、第二列為2層，第三行第二列為3層，其余皆為1層。各行、各列小正方體的個(gè)數(shù)如俯視圖中所表示。這堆貨箱共有3+1+1+2+1+1=9（箱）。練習(xí)題1．在一倉(cāng)庫(kù)里堆放著若干個(gè)相同的正方體貨箱，倉(cāng)庫(kù)管理員將這堆貨箱的三視圖畫了出來(lái)（如圖），則這堆正方體貨箱共有（）A．4箱 B．5箱 C．6箱 D．7箱2．在倉(cāng)庫(kù)里堆放著若干個(gè)相同的正方體貨箱，倉(cāng)庫(kù)管理員將這堆貨箱從三個(gè)方向看到的圖形畫了出來(lái)，如圖所示，則這堆正方體貨箱共有（）A．9箱 B．10箱 C．11箱 D．12箱3．在某倉(cāng)庫(kù)里堆放著若干個(gè)相同的正方體貨箱，管理員將這堆貨箱的三視圖畫了出來(lái)（如圖），則這堆正方體貨箱共有（）A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱4．在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里堆放有若干個(gè)相同的正方體貨箱，倉(cāng)庫(kù)管理員將這堆貨箱的三視圖畫出來(lái)，如圖，則這堆貨箱共有（）A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)5．在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里堆放有若干個(gè)相同的正方體貨箱，倉(cāng)庫(kù)管理員將這堆貨箱的三視圖畫出來(lái)，如圖，則這堆貨箱共有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)6．在學(xué)校教師辦公室里堆放著若干個(gè)相同的正方體粉筆盒，某同學(xué)將這堆粉筆盒的三視圖畫了出來(lái)，如圖，則這堆粉筆盒共有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)7．在抗震救災(zāi)某倉(cāng)庫(kù)里放著若干個(gè)相同的正方體貨箱，某攝影記者將這堆貨箱的三視圖照了出來(lái)（如圖），則這堆正方體貨箱共有（）A．2箱 B．3箱 C．4箱 D．5箱8．在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里堆積著若干個(gè)正方體的貨箱，要搬運(yùn)這些貨箱很困難，可是倉(cāng)庫(kù)管理員要落實(shí)一下箱子的數(shù)量，于是就想出一個(gè)方法：將這堆貨箱分別從正面、左面、上面所看到的平面圖形畫了出來(lái)，如圖所示，你能根據(jù)這些平面圖形幫他清點(diǎn)一下箱子的數(shù)量嗎？這些正方體貨箱的個(gè)數(shù)為（）A．5 B．6 C．7 D．89．如圖是抗?fàn)幘葹?zāi)某倉(cāng)庫(kù)里放著若干個(gè)正方體貨箱，某攝影記者將這堆貨箱的三視圖照了出來(lái)，則這堆正方體貨箱共有（）A．5箱 B．6箱 C．7箱 D．8箱10．在學(xué)校倉(cāng)庫(kù)里堆放著若干個(gè)盒相同的正方體小粉筆盒，倉(cāng)庫(kù)管理員將這堆粉筆盒的三視圖畫了出來(lái)，如圖所示，則這堆正方體小粉筆盒共有（）A．11盒 B．10盒 C．9盒 D．8盒11．在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里堆積著正方體的貨箱若干，要搬運(yùn)這些箱子很困難，可是倉(cāng)庫(kù)管理員要落實(shí)一下箱子的數(shù)量，于是就想出一個(gè)辦法：將這堆貨物的三種視圖畫了出來(lái)，如圖，你能根據(jù)三視圖，幫他清點(diǎn)一下箱子的數(shù)量嗎？這些正方體箱的個(gè)數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．912．在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里堆積著正方體的貨箱若干，要搬運(yùn)這些箱子很困難，可是倉(cāng)庫(kù)管理員要落實(shí)一下箱子的數(shù)量，于是就想出一個(gè)辦法：將這堆貨物的三種視圖畫了出來(lái)，如圖，你能根據(jù)三視圖，幫他清點(diǎn)一下箱子的數(shù)量嗎？這些箱子的個(gè)數(shù)是（）A．9 B．8 C．7 D．613．倉(cāng)庫(kù)里堆積著正方體的貨箱若干，根據(jù)如圖所示的三視圖可得出箱子的個(gè)數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9二、根據(jù)兩種視圖確定計(jì)數(shù)范圍（結(jié)果不唯一的計(jì)數(shù)）（1）知道幾何體的主視圖和俯視圖

例2.如圖2，是由若干個(gè)（大于8個(gè)）大小相同的正方體組成的一個(gè)幾何體的主視圖和俯視圖，則這個(gè)幾何體的左視圖不可能是（

）。分析：由給出的主視圖、俯視圖可以看出，該幾何體共有2行，3列。第1列均為1層，第2列最高2層，第3列最高3層。左視圖為A時(shí)，第1行、第2行最高均為3層。幾何體中，第1列第1行為1層；第2列第1行、第2行均可為1層或2層，，但不能同時(shí)為1層；第3列兩行均為3層。此時(shí)，小正方體的個(gè)數(shù)如俯視圖A所示，最少為1+2+1+3+3=10（個(gè)），最多為1+2+2+3+3=11個(gè)。

左視圖為B時(shí)，第一行均為1層，第二行最高為3層。幾何體中，第1列第1行為1層；第2列第1行為1層，第2行均可為2層；第3列第1行為1層，第2行為3層。此時(shí)，小正方體的個(gè)數(shù)如俯視圖B所示。小正方體個(gè)數(shù)為1+1+1+2+3=8（個(gè)）。左視圖為C時(shí)，第1行最高為2層，第2行最高為3層。幾何體中，第1列第1行為1層；第2列第1行為1層或2層，第2行均為1層或2層，但不能同時(shí)為1層；第3列第1行為1層或2層（不能與第2列第1行同時(shí)都為1層），第2行為3層。此時(shí)，小正方體的個(gè)數(shù)如俯視圖C所示。小正方體最少為1+2+1+1+3=8（個(gè)），最多為1+2+2+2+3=10個(gè)。左視圖為D時(shí)，第1行最高為3層，第2行最高為2層。幾何體中，第1列第1行為1層；第2列第1行為1層或2層，第2行均為1層或2層，但不能同時(shí)為1層；第3列第1行為3層，第2行為1層或2層（不能與第2列第2行同時(shí)為1層）。此時(shí)，小正方體的個(gè)數(shù)如俯視圖C所示。小正方體最少為1+1+3+2+1=8（個(gè)），最多為1+2+2+2+3=10個(gè)。練習(xí)題1．如圖是一個(gè)由若干個(gè)相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和俯視圖，則能組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最多是（）A．11個(gè) B．12個(gè) C．13個(gè) D．14個(gè)2．如圖是一個(gè)由若干個(gè)相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和俯視圖，則能組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最多是（）A．11個(gè) B．12個(gè) C．13個(gè) D．14個(gè)3．由若干個(gè)相同的小正方體搭成的一個(gè)幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最多有（）A．4 B．5 C．6 D．74．如圖，分別是由若干個(gè)完全相同的小正方體組成的一個(gè)幾何體的主視圖和俯視圖，則組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最多為（）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)5．由n個(gè)相同的小正方體堆成的幾何體，其主視圖、俯視圖如圖所示，則n的最大值是（）A．16 B．18 C．19 D．206．如圖，由幾個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和俯視圖，組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最多是（）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)7．由若干個(gè)相同小正方體組合成一個(gè)幾何體，使組合幾何體的主視圖、俯視圖如圖所示．這樣的組合幾何體不只有一種，它的組成最少需要x個(gè)小正方體，最多需要y個(gè)小正方體．則y﹣x的值為（）A．4 B．3 C．2 D．18．一個(gè)幾何體由一些大小相同的小正方體組成，如圖是它的主視圖和俯視圖，那么組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少為（）A．3 B．4 C．5 D．610．一個(gè)幾何體由一些大小相同的小正方體組成，如圖是它的主視圖和俯視圖，那么組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少為（）A．4 B．5 C．6 D．711．某幾何體由一些大小相同的小正方體組成，如圖分別是它的主視圖和俯視圖，那么要組成該幾何體，至少需要多少個(gè)這樣的小正方體（）A．3 B．4 C．5 D．616．如圖是一個(gè)由小正方體組成的物體的主視圖和俯視圖，由這兩個(gè)圖可以確定此物體所需的小正方形最少為（）A．7個(gè) B．8個(gè) C．10個(gè) D．12個(gè)17．由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖與俯視圖如圖所示，則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最多為（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．不能確定18．如圖是一些大小相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和俯視圖，則組成這個(gè)幾何體的小正方體最多塊數(shù)是（）A．8 B．10 C．12 D．1419．如圖是由一些大小相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和俯視圖，則組成這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)最多是（）A．5 B．6 C．7 D．820．如圖，是由一些大小相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和俯視圖，則組成這個(gè)幾何體的小正方體最多塊數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．1219．如圖是由一些相同的小正方體構(gòu)成的幾何體的主視圖和左視圖，在這個(gè)幾何體中，小正方體的個(gè)數(shù)可能是個(gè)．20.桌上擺著一個(gè)由若干個(gè)相同正方體組成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖所示，這個(gè)幾何體最多可以由個(gè)這樣的正方體組成．21．如圖，一個(gè)幾何體是由一些大小相同的小正方體擺成的，其主視圖與左視圖如圖所示，則組成這個(gè)幾何體的小正方形最少有個(gè)，最多有個(gè)．22．一個(gè)幾何體是由若干個(gè)相同的正方體組成的，其主視圖和左視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體最多可由個(gè)這樣的正方體組成．23．如圖，一個(gè)幾何體的主視圖和左視圖相同．則擺成這個(gè)幾何體最少需要個(gè)小正方體．25．一個(gè)幾何體是由一些大小相同的小正方體擺成的，其主視圖與左視圖如圖所示，則組成這個(gè)幾何體的小正方體最少有個(gè)．26．某一物體由若干相同的小正方體組成，其主視圖，左視圖分別如圖，則該物體所含小正方體的個(gè)數(shù)最多有個(gè)．27．桌上擺著一個(gè)由若干個(gè)相同正方體組成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖所示，所以這個(gè)幾何體最多可以由個(gè)這樣的正方體組成．29．由一些大小相同的小正方體組成的簡(jiǎn)單幾何體的主視圖和左視圖如圖所示．（1）請(qǐng)你畫出這個(gè)簡(jiǎn)單幾何體三種不同的俯視圖；（2）若組成這個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的小正方體的塊數(shù)為n，請(qǐng)你寫出n的所有可能值．30．桌子上擺放著一個(gè)由若干個(gè)相同小正方體組成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖所示，試畫出它的俯視圖．（3）知道幾何體的俯視圖和左視圖1．用一些大小相同的小正方體組成的幾何體的左視圖和俯視圖如圖所示，則組成這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)，最多可能是（）A．17 B．18 C．19 D．202．由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的左視圖和俯視圖，如圖所示，則搭成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少是（）A．4 B．5 C．6 D．73．如圖，由一些完全相同的小正方體搭成的幾何體的俯視圖和左視圖，組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是（）A．5或6或7 B．6或7 C．6或7或8 D．7或8或91.如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒的展開(kāi)圖，求這個(gè)紙盒的表面積和容積．（紙的厚度不計(jì)）（單位：厘米）2.如圖所示是一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒的展開(kāi)圖．（單位：cm）

（1）做這個(gè)鐵盒需要多少鐵皮？

（2）這個(gè)鐵盒的容積是多少毫升？（鐵皮厚度忽略不計(jì)）3.右圖是一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒的展開(kāi)圖。如果不要蓋子，做這個(gè)紙盒需要多少材料？4.看圖計(jì)算，如圖是長(zhǎng)方體紙箱的展開(kāi)圖，請(qǐng)你根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)，求出紙箱的體積．（單位：分米）找次品3瓶木糖醇，其中一瓶少了2粒，你能找出少的那一瓶嗎？ 在天平的左右兩邊各放1瓶鈣片如果平衡，次品是剩下的那瓶 5瓶木糖醇，其中一瓶少了2粒，至少稱幾次就能保證把次品找出來(lái)？應(yīng)該怎樣稱？在9個(gè)零件里有1個(gè)是次品(次品重一些)，用天平稱，至少稱幾次就一定能找出次品來(lái)?“找次品”三字訣：找次品，方法多；3而均，最合適；無(wú)法均，相差1；請(qǐng)牢記，找得易3個(gè)零件里面找次品至少稱幾次保證找到次品？9個(gè)零件里面找次品至少稱幾次保證找到次品？27個(gè)零件里面找次品至少稱幾次保證找到次品？81個(gè)零件里面找次品至少稱幾次保證找到次品？要辨別的物品數(shù)目保證能找出次品需要測(cè)的次數(shù)2～34～910～2728～8182

～243……12345……《找次品》練習(xí)題一、填空。（10分）1、有5顆外觀一樣的玻璃球，其中4顆一樣重，另外一顆輕一些，如果用天平稱（）次能保證稱出來(lái)，最少（）次有可能稱出來(lái)。2、有10瓶藥，其中一瓶少2粒，至少稱（）次保證能稱出來(lái)。3、有3包餅干，其中兩袋質(zhì)量相同，另一包不知是重還是輕，用天平稱（）次，保證能找到這包餅干。4、有5包糖果，用天平找出質(zhì)量不足的一包，至少需要稱（）次。5、有15瓶水，14瓶是純凈水，另外一瓶是鹽水，用天平至少稱（）次，保證能找到這瓶鹽水。二、解決問(wèn)題。（40分）1、有4袋奶粉，其中一袋質(zhì)量輕一些，至少用天平稱幾次才能把它找出來(lái)？說(shuō)說(shuō)過(guò)程。2、有12盒糖果，其中有11盒質(zhì)量相同，另一盒少3塊，如果用天平稱，至少稱多少次能保證找出這盒糖果？3、有7瓶鈣片，其中有一瓶少了5片，你用天平至少稱幾次能保證找出它？4、有25枚鉆戒，其中一枚重量不夠，用天平至少稱幾次能保證找出這