新疆喀什第二中學2024屆高三年級上學期期中測試 數(shù)學答案

喀什第二中學2023～2024學年第一學期高三年級期中測試數(shù)學考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。2．答題前，考生務(wù)必用直徑毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。3．考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。4．本卷命題范圍：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)、導數(shù)及其應(yīng)用、三角函數(shù)與解三角形、平面向量與復數(shù)。一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題可得，然后利用交集的概念即得.【詳解】由可得，即，所以．故選：C．2.若復數(shù)z滿足，則（）A. B.5 C. D.20【答案】A【解析】【分析】由復數(shù)的除法計算出復數(shù)z，再利用模長公式求.【詳解】因為，所以，所以．故選：A．3.如圖所示，在中，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算法則，準確化簡、運算，即可求解.【詳解】根據(jù)向量的線性運算法則，可得：.故選：A.4.若角的終邊上有一點，且，則（）A.4 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)公式，即可得到本題答案.【詳解】由已知，得，解得.因為，所以，則.故選：C5.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】分別證明充分性和必要性，即可得到本題答案.【詳解】①當時，滿足“”，但不滿足“”，所以“”不能推出“”，故充分性不成立；②由，解得，因“”可以推出“”，故必要性成立.綜上，可知“”是“”的必要不充分條件.故選：B6.為落實黨的二十大提出的“加快建設(shè)農(nóng)業(yè)強國，扎實推動鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)?人才?文化?生態(tài)?組織振興”的目標，某銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務(wù).根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實際還款比例關(guān)于還款人的年收入（單位：萬元）的Logistic模型：.已知當貸款人的年收入為9萬元時，其實際還款比例為50%，若貸款人的年收入約為5萬元，則實際還款比例約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.30% B.40% C.60% D.70%【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求得，令，即可求解.【詳解】由題意知，當時，，則，解得，所以，可得，所以，當時，.故選：B.7.鎮(zhèn)國寺塔亦稱西塔，是一座方形七層樓閣式磚塔，頂端塔剎為一青銅鑄葫蘆，葫蘆表面刻有“風調(diào)雨順?國泰民安”八個字，是全國重點文物保護單位?國家3A級旅游景區(qū)，小胡同學想知道鎮(zhèn)國寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB，高為，在地面上點C處（B，C，N在同一水平面上且三點共線）測得建筑物頂部A，鎮(zhèn)國寺塔頂部M的仰角分別為15°和60°，在A處測得鎮(zhèn)國寺塔頂部M的仰角為30°，則鎮(zhèn)國寺塔的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知，在中應(yīng)用正弦定理得，再由倍角余弦公式求，進而求鎮(zhèn)國寺塔的高度.【詳解】在中，則，所以，而，，所以，又，則.故選：C8.已知函數(shù)有兩條與直線平行的切線，且切點坐標分別為，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導數(shù)幾何意義求出在兩點處的切線斜率，即可得出是的兩根，利用韋達定理即可得出的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意可知的定義域為，所以，易得，由導數(shù)的幾何意義可得切點為時，切線斜率為,同理可得，點處切線斜率；又因為兩條切線與直線平行，可得，即所以是關(guān)于方程的兩根，所以，即，又可得；所以，由可得即，所以的取值范圍是.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于利用導數(shù)的幾何意義和兩直線平行的位置關(guān)系得出關(guān)于的等量關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)定義域和韋達定理即可求得表達式的取值范圍.二、選擇題：本題共4小題。9.下列等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】應(yīng)用倍角正余弦、和差角正余弦公式及誘導公式化簡求值，即可判斷各項的正誤.【詳解】A：，成立；B：，成立；C：，不成立；D：，不成立.故選：AB10.已知實數(shù)a，b，c，其中，，則下列關(guān)系中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)作差法判斷A，D選項，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷B選項，特殊值法判斷C選項.

【詳解】對于A，，故A正確；對于B，因為，，所以，故B正確；對于C，當，，時，，故C錯誤；對于D，因為，故D正確.故選:ABD.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.的最大值為2C.的圖象關(guān)于直線對稱D.在上單調(diào)遞減【答案】BD【解析】【分析】由、是否成立判斷A、C；由，結(jié)合余弦函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)判斷B、D.【詳解】由，所以不是的周期，A錯；由，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，C錯；由，而，所以，B對；由在上遞減，且，結(jié)合二次函數(shù)及復合函數(shù)的單調(diào)性知：在上單調(diào)遞減，D對.故選：BD12.已知為定義在上的偶函數(shù)且不是常函數(shù)，，，若是奇函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于對稱B.C.是奇函數(shù)D.與關(guān)于原點對稱【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)和函數(shù)對稱性的定義可判斷A選項；利用函數(shù)的周期性可判斷B選項；利用奇函數(shù)的定義可判斷C選項；利用對稱性的定義可判斷D選項.【詳解】由題意，得，即，整理得，所以的圖象關(guān)于對稱，故A正確；又因為為偶函數(shù)，則，所以，則，所以，故B正確；，則為奇函數(shù)，故C正確；因為，所以與關(guān)于軸對稱，不關(guān)于原點對稱，故D錯誤．故選：ABC．三、填空題：本題共4小題。13.已知非零向量的夾角為，則__________．【答案】12【解析】【分析】將向量垂直轉(zhuǎn)換為數(shù)量積為0，由數(shù)量積的計算公式結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】由題意非零向量的夾角為，所以，化簡得，由數(shù)量積公式得，解得.故答案為：12.14.圓心角為2的扇形的周長為4，則此扇形的面積為______.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)弧長公式結(jié)合面積公式計算即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則，又，所以，，扇形的面積.故答案為：1.15.已知，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式得到，再結(jié)合，即可求解.【詳解】由，可得，可得，當且僅當，即時，等號成立，又由，當且僅當，即時，等號成立，綜上所述，當時，取得最小值.故答案為：.16.設(shè)函數(shù)，若，則不等式的解集是__________；若函數(shù)恰好有兩個零點，則的取值范圍是__________．【答案】①.②.【解析】【分析】當時，分和兩種情況解不等式即可的解集，畫出的圖象，結(jié)合圖象求解即可【詳解】當時，，令，且，解得或，令且，解得，所以的解集為．令，解得或，令，解得，由，得，當或時，，當時，，所以在和上遞增，在上遞減，所以的極大值為，極小值為，如圖所示，當時，恰有兩個零點，符合題意；當時，恰有3個零點，不符題意；當時，恰有2個零點，符合題意；當時，恰有1個零點，不符題意．所以取值范圍是．故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.四、解答題：本題共6小題。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系求值再根據(jù)角的范圍判斷符號即可；（2）先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求值再應(yīng)用誘導公式求值.【小問1詳解】因為，所以，所以，即.因為，則，所以，，因為，所以.【小問2詳解】由解得，，所以；所以.18.已知函數(shù)．（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求的值；（2）當時，解關(guān)于的不等式．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式和一元二次方程的關(guān)系列方程，解方程得到，然后求即可；（2）分、和三種情況解不等式即可.【小問1詳解】由題意可知，關(guān)于的不等式的解集為，所以關(guān)于的方程的兩個根為1和2，所以，解得，則．【小問2詳解】由條件可知，，即，當時，解得或；當時，解得；當時，解得或．綜上可知，當時，原不等式的解集為或；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為或.19.已知函數(shù)（其中）的部分圖像如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．（1）求與的解析式；（2）令，求方程在區(qū)間內(nèi)所有實數(shù)解的和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由函數(shù)圖象可得即周期，即可求出，再利用待定系數(shù)法求出，即可求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)平移變換的原則即可求得函數(shù)的解析式；（2）先求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【小問1詳解】由圖可知，，函數(shù)的周期，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，因為將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，所以；【小問2詳解】，由，得，因為，所以，所以或或或，所以或或或，所以方程在區(qū)間內(nèi)的所有實數(shù)解的和為．20.已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求的值;（2）設(shè)，，若對任意的，存在，使得，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由偶函數(shù)的性質(zhì)即可求解的值；（2）由題意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分別求出和的最小值，即可求解.【小問1詳解】因為是偶函數(shù)，所以，即，，，，，，，，所以，即.【小問2詳解】，因為對任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值，因為在上單調(diào)遞增，所以，因為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以的取值范圍為.21.如圖，在平面四邊形中，．（1）若，求的長；（2）若，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，應(yīng)用正弦定理求得，進而可得，進而有，在應(yīng)用正弦定理求；（2）由及，再結(jié)合正弦定理求.【小問1詳解】在中，整理得，所以，故，又，在中，又，所以，故.【小問2詳解】由，由，而，故，故，所以，所以，即，則，在中，則.22.已知函數(shù)且．（1）討論的單調(diào)性．（2）若有且僅有兩個零點，求的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）．【解析】【分析】（1）分，討論，利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即得；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，進而可得函數(shù)的極小值小于零，然后構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)結(jié)合條件解不等式即得.【小問1詳解】因為函數(shù)且，函數(shù)定義域為，所以，當時，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，當時，令，則，所以當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問2詳解】由（1）知，當時，在單調(diào)遞增，至多一個零點，不符題意；當時，在處取得極小值，且，所以，設(shè)，即，設(shè)，則，所以當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減．所以當時，取得極大值，，所以，即或，設(shè)，則，