2023-2024學(xué)年廣州市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析_第1頁
2023-2024學(xué)年廣州市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析_第2頁
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2023-2024學(xué)年廣州市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.幻方最早起源于我國,由正整數(shù)1,2,3,……,這個數(shù)填入方格中,使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,這個正方形數(shù)陣就叫階幻方.定義為階幻方對角線上所有數(shù)的和,如,則()A.55 B.500 C.505 D.50502.定義在上的函數(shù)滿足,則()A.-1 B.0 C.1 D.23.若樣本的平均數(shù)是10,方差為2,則對于樣本,下列結(jié)論正確的是()A.平均數(shù)為20,方差為4 B.平均數(shù)為11,方差為4C.平均數(shù)為21,方差為8 D.平均數(shù)為20,方差為84.若,滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C.13 D.5.已知函數(shù),若對于任意的,函數(shù)在內(nèi)都有兩個不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.6.若直線與曲線相切,則()A.3 B. C.2 D.7.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.8.設(shè)是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.9.在中,角、、的對邊分別為、、,若,,,則()A. B. C. D.10.下列與函數(shù)定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是()A. B. C. D.11.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則()A.4 B.3 C.2 D.112.已知函數(shù),若方程恰有兩個不同實(shí)根,則正數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.14.的展開式中,項(xiàng)的系數(shù)是__________.15.如圖所示,在直角梯形中,,、分別是、上的點(diǎn),,且(如圖①).將四邊形沿折起,連接、、(如圖②).在折起的過程中,則下列表述:①平面;②四點(diǎn)、、、可能共面;③若,則平面平面;④平面與平面可能垂直.其中正確的是__________.16.己知函數(shù),若曲線在處的切線與直線平行,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)對于正整數(shù),如果個整數(shù)滿足,且,則稱數(shù)組為的一個“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為.(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;(Ⅱ)對于給定的整數(shù),設(shè)是的一個“正整數(shù)分拆”,且,求的最大值;(Ⅲ)對所有的正整數(shù),證明:;并求出使得等號成立的的值.(注:對于的兩個“正整數(shù)分拆”與,當(dāng)且僅當(dāng)且時,稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.)18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)分別交于兩點(diǎn)(與原點(diǎn)不重合),求的最小值.19.(12分)已知橢圓的離心率為,直線過橢圓的右焦點(diǎn),過的直線交橢圓于兩點(diǎn)(均異于左、右頂點(diǎn)).(1)求橢圓的方程;(2)已知直線,為橢圓的右頂點(diǎn).若直線交于點(diǎn),直線交于點(diǎn),試判斷是否為定值,若是,求出定值;若不是,說明理由.20.(12分)某校共有學(xué)生2000人,其中男生900人,女生1100人,為了調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時間,采用分層抽樣的方法收集該校100名學(xué)生每周平均體育鍛煉時間(單位:小時).(1)應(yīng)抽查男生與女生各多少人?(2)根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育鍛煉時間的頻率分布表:時間(小時)[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]頻率0.050.200.300.250.150.05若在樣本數(shù)據(jù)中有38名男學(xué)生平均每周課外體育鍛煉時間超過2小時,請完成每周平均體育鍛煉時間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān)”?男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時每周平均體育鍛煉時間超過2小時總計附:K2.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87921.(12分)已知函數(shù).(1)證明:當(dāng)時,;(2)若函數(shù)有三個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,已知.(1)求;(2)若為銳角三角形,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,可得,即得解.【詳解】因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,所以階幻方對角線上數(shù)的和就等于每行(或每列)的數(shù)的和,又階幻方有行(或列),因此,,于是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)陣問題,考查了學(xué)生邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.2、C【解析】

推導(dǎo)出,由此能求出的值.【詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足,∴,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用,屬于中檔題.3、D【解析】

由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10,方差為2,所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點(diǎn)睛】樣本的平均數(shù)是,方差為,則的平均數(shù)為,方差為.4、C【解析】

由已知畫出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值.【詳解】解:表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方,畫出不等式組表示的可行域,如圖,由解得即點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最大,即.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃問題,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

將原題等價轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)都有兩個不同的根,先求導(dǎo),可判斷時,,是增函數(shù);當(dāng)時,,是減函數(shù).因此,再令,求導(dǎo)得,結(jié)合韋達(dá)定理可知,要滿足題意,只能是存在零點(diǎn),使得在有解,通過導(dǎo)數(shù)可判斷當(dāng)時,在上是增函數(shù);當(dāng)時,在上是減函數(shù);則應(yīng)滿足,再結(jié)合,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)即可求解;【詳解】函數(shù)在內(nèi)都有兩個不同的零點(diǎn),等價于方程在內(nèi)都有兩個不同的根.,所以當(dāng)時,,是增函數(shù);當(dāng)時,,是減函數(shù).因此.設(shè),,若在無解,則在上是單調(diào)函數(shù),不合題意;所以在有解,且易知只能有一個解.設(shè)其解為,當(dāng)時,在上是增函數(shù);當(dāng)時,在上是減函數(shù).因?yàn)?,方程在?nèi)有兩個不同的根,所以,且.由,即,解得.由,即,所以.因?yàn)?,所以,代入,?設(shè),,所以在上是增函數(shù),而,由可得,得.由在上是增函數(shù),得.綜上所述,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求解參數(shù)取值范圍問題,構(gòu)造函數(shù)法,導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性與最值關(guān)系,轉(zhuǎn)化與化歸能力,屬于難題6、A【解析】

設(shè)切點(diǎn)為,對求導(dǎo),得到,從而得到切線的斜率,結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式化簡得切線方程,聯(lián)立方程組,求得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為,∵,∴由①得,代入②得,則,,故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與曲線相切求參數(shù)的問題,涉及到的知識點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義,直線方程的點(diǎn)斜式,屬于簡單題目.7、C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項(xiàng);結(jié)合特殊值,即可排除D選項(xiàng).【詳解】∵,,∴函數(shù)為奇函數(shù),∴排除選項(xiàng)A,B;又∵當(dāng)時,,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,注意奇偶性及特殊值的用法,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長公式求解即可【詳解】∵復(fù)數(shù),∴,,則,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、模長、平方運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】

利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得,可得出,然后利用余弦定理求出的值,最后利用正弦定理可求出的值.【詳解】,即,即,,,得,,.由余弦定理得,由正弦定理,因此,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中角的正弦值的計算,考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.10、C【解析】

分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性,然后對選項(xiàng)逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,在上為減函數(shù).A選項(xiàng),的定義域?yàn)?,在上為增函?shù),不符合.B選項(xiàng),的定義域?yàn)椋环?C選項(xiàng),的定義域?yàn)?,在上為減函數(shù),符合.D選項(xiàng),的定義域?yàn)椋环?故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計算得到答案.【詳解】由成等比數(shù)列得,即,已知,解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列的基本量的計算,意在考查學(xué)生的計算能力.12、D【解析】

當(dāng)時,函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示,方程兩個不同實(shí)根,即函數(shù)和有圖像兩個交點(diǎn),計算,,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時,,故函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:方程,即,即函數(shù)和有兩個交點(diǎn).,,故,,,,.根據(jù)圖像知:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題,確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

對函數(shù)求導(dǎo),得出在處的一階導(dǎo)數(shù)值,即得出所求切線的斜率,再運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式求出切線的方程.【詳解】令,,所以,又,所求切線方程為,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在切點(diǎn)處的切線方程,關(guān)鍵在于求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值就是切線的斜率,屬于基礎(chǔ)題.14、240【解析】

利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,令x的指數(shù)等于3,計算展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】由題意得:,只需,可得,代回原式可得,故答案:240.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式及簡單應(yīng)用,相對不難.15、①③【解析】

連接、交于點(diǎn),取的中點(diǎn),證明四邊形為平行四邊形,可判斷命題①的正誤;利用線面平行的性質(zhì)定理和空間平行線的傳遞性可判斷命題②的正誤;連接,證明出,結(jié)合線面垂直和面面垂直的判定定理可判斷命題③的正誤;假設(shè)平面與平面垂直,利用面面垂直的性質(zhì)定理可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對于命題①,連接、交于點(diǎn),取的中點(diǎn)、,連接、,如下圖所示:則且,四邊形是矩形,且,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),且,且,四邊形為平行四邊形,,即,平面,平面,平面,命題①正確;對于命題②,,平面,平面,平面,若四點(diǎn)、、、共面,則這四點(diǎn)可確定平面,則,平面平面,由線面平行的性質(zhì)定理可得,則,但四邊形為梯形且、為兩腰,與相交,矛盾.所以,命題②錯誤;對于命題③,連接、,設(shè),則,在中,,,則為等腰直角三角形,且,,,且,由余弦定理得,,,又,,平面,平面,,,、為平面內(nèi)的兩條相交直線,所以,平面,平面,平面平面,命題③正確;對于命題④,假設(shè)平面與平面垂直,過點(diǎn)在平面內(nèi)作,平面平面,平面平面,,平面,平面,平面,,,,,,,又,平面,平面,.,平面,平面,.,,顯然與不垂直,命題④錯誤.故答案為:①③.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何綜合問題,涉及線面平行、面面垂直的證明、以及點(diǎn)共面的判斷,考查推理能力,屬于中等題.16、【解析】

先求導(dǎo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,有求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),所以,所以,解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,還考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ),,,,;(Ⅱ)為偶數(shù)時,,為奇數(shù)時,;(Ⅲ)證明見解析,,【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意直接寫出答案.(Ⅱ)討論當(dāng)為偶數(shù)時,最大為,當(dāng)為奇數(shù)時,最大為,得到答案.(Ⅲ)討論當(dāng)為奇數(shù)時,,至少存在一個全為1的拆分,故,當(dāng)為偶數(shù)時,根據(jù)對應(yīng)關(guān)系得到,再計算,,得到答案.【詳解】(Ⅰ)整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為:,,,,.(Ⅱ)當(dāng)為偶數(shù)時,時,最大為;當(dāng)為奇數(shù)時,時,最大為;綜上所述:為偶數(shù),最大為,為奇數(shù)時,最大為.(Ⅲ)當(dāng)為奇數(shù)時,,至少存在一個全為1的拆分,故;當(dāng)為偶數(shù)時,設(shè)是每個數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”,則它至少對應(yīng)了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”,故.綜上所述:.當(dāng)時,偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為,奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為,;當(dāng)時,偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為,,奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為,故;當(dāng)時,對于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”,除了各項(xiàng)不全為的奇數(shù)拆分外,至少多出一項(xiàng)各項(xiàng)均為的“正整數(shù)分拆”,故.綜上所述:使成立的為:或.【點(diǎn)睛】本土考查了數(shù)列的新定義問題,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.18、(Ⅰ)直線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為,的直角坐標(biāo)方程為;(Ⅱ)2.【解析】

(Ⅰ)由定義可直接寫出直線的極坐標(biāo)方程,對曲線同乘可得:,轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為;(Ⅱ)分別聯(lián)立兩直線和曲線的方程,由得,由得,則,結(jié)合三角函數(shù)即可求解;【詳解】(Ⅰ)直線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為由曲線的極坐標(biāo)方程得,所以的直角坐標(biāo)方程為.(Ⅱ)與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得所以.與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得所以.所以.所以當(dāng)時,取最小值2.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化,極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,極坐標(biāo)中的幾何意義,屬于中檔題19、(1)(2)定值為0.【解析】

(1)根據(jù)直線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo),即得c,再根據(jù)離心率得,(2)先設(shè)直線方程以及各點(diǎn)坐標(biāo),化簡,再聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用韋達(dá)定理代入化簡得結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)橹本€過橢圓的右焦點(diǎn),所以,因?yàn)殡x心率為,所以,(2),設(shè)直線,則因此由得,所以,因此即【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程以及直線與橢圓位置關(guān)系,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.20、(1)男生人數(shù)為人,女生人數(shù)55人.(2)列聯(lián)表答案見解析,有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān).【解析】

(1)求出男女比例,按比例分配即可;(2)根據(jù)題意結(jié)合頻率分布表,先求出二聯(lián)表中數(shù)值,再結(jié)合公式計算,利用表格數(shù)據(jù)對比判斷即可【詳解】(1)因?yàn)槟猩藬?shù):女生人數(shù)=900:1100=9:11,所以男生人數(shù)為,女生人數(shù)100﹣45=55人,(2)由頻率頻率直方圖可知學(xué)生每

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