2024屆高考數(shù)學二輪專題復習與測試第一部分專題五解析幾何微專題1直線與圓小題考法3直線與圓的位置關系

小題考法3直線與圓的位置關系(1)(2023·梅州二模)若直線l：mx＋ny＋m＝0將圓C：(x－2)2＋y2＝4分成弧長之比為2∶1的兩部分，則直線的斜率為()A．±eq\f(\r(5),2)B．±eq\f(2\r(5),5)C．±eq\f(\r(2),2)D．±eq\f(\r(2),4)(2)(多選題)(2023·汕頭一模)已知直線l1：2x－y－3＝0，l2：x－2y＋3＝0，圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，若圓C與直線l1，l2都相切，則下列選項一定正確的是()A．l1與l2關于直線y＝x對稱B．若圓C的圓心在x軸上，則圓C的半徑為3或9C．圓C的圓心在直線x＋y－6＝0或直線x－y＝0上D．與兩坐標軸都相切的圓C有且只有2個解析：(1)設直線與圓的交點為A，B，由題意可得△ABC是頂角為120°的等腰三角形，則幾何關系可得圓心到直線的距離為eq\f(1,2)×2＝1，即：d＝eq\f(|2m＋0＋m|,\r(m2＋n2))＝1，整理可得：8m2＝n2，當n＝0時，m＝0，方程mx＋ny＋m＝0不表示直線，舍去，當n≠0時，eq\f(m,n)＝±eq\f(\r(2),4)，所以直線l的斜率為k＝－eq\f(m,n)＝±eq\f(\r(2),4).故選D.(2)對于A，設直線l1：2x－y－3＝0上任意一點(x0，2x0－3)關于直線y＝x對稱的點為(m，n)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2x0－3－n,x0－m)＝－1，,\f(m＋x0,2)＝\f(n＋2x0－3,2)，))解得m－2n＋3＝0，所以點(m，n)在直線l2：x－2y＋3＝0上，所以l1與l2關于直線y＝x對稱，故A正確；對于B，因為圓C的圓心在x軸上，設圓心為(a，0)，又圓C與直線l1，l2都相切，所以r＝eq\f(|2a－3|,\r(5))＝eq\f(|a＋3|,\r(5))，解得a＝0或a＝6，當a＝0時，r＝eq\f(3,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5)，當a＝6時，r＝eq\f(9,\r(5))＝eq\f(9\r(5),5)，故B錯誤；對于C，由圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，得圓心C(a，b)，半徑為r，因為圓C與直線l1，l2都相切，所以r＝eq\f(|2a－b－3|,\r(5))＝eq\f(|a－2b＋3|,\r(5))，解得a＋b－6＝0或a＝b，所以圓心C(a，b)在直線x＋y－6＝0或直線x－y＝0上，故C正確；對于D，由圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，得圓心C(a，b)，半徑為r，因為圓C與兩坐標軸都相切，得圓心到x軸的距離為|b|，到y(tǒng)軸的距離為|a|，所以r＝|a|且r＝|b|，即|a|＝|b|，解得a＝b或a＝－b，當a＝b時，由題意可得eq\f(|2a－b－3|,\r(5))＝|a|，解得a＝b＝－eq\f(3（\r(5)＋1）,4)或a＝b＝eq\f(3（\r(5)－1）,4)，當a＝－b時，不滿足，所以與兩坐標軸都相切的圓C有且只有2個，故D正確．故選ACD.答案：(1)D(2)ACD解決直線與圓、圓與圓位置關系問題的方法(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關系時，要注意數(shù)形結合，充分利用圓的幾何性質尋找解題途徑，減少運算量．(2)圓上的點與圓外點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到點的距離問題；圓上的點與直線上點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到直線的距離問題；圓上的點與另一圓上點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到圓心的距離問題．1．(多選題)(2023·茂名模擬)已知A，B為圓O：x2＋y2＝1上的兩點，P為直線l：x＋y－2＝0上一動點，則()A．直線l與圓O相離B．當A，B為兩定點時，滿足∠APB＝eq\f(π,2)的點P有2個C．當|AB|＝eq\r(3)，|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值是2eq\r(2)＋1D．當PA，PB為圓O的兩條切線時，直線AB過定點(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))解析：對于A，圓的圓心到直線的距離為：eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)>1，所以直線l與圓O相離，所以A正確；對于B，當A，B為兩定點時，如果兩個定點是圓的直徑上的兩點，AB與直線垂直時，不可能有滿足∠APB＝eq\f(π,2)的點P，所以B不正確；對于C，當|AB|＝eq\r(3)時，此時圓的圓心到直線的距離為eq\f(1,2)，只要AB與直線x＋y－2＝0不平行，過AB的直線與直線x＋y－2＝0相交，此時|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的值沒有最大值，所以C不正確；對于D，因為點P為直線x＋y－2＝0上，所以設P(t，2－t)，圓O：x2＋y2＝1的圓心為C(0，0)，所以PO中點坐標為(eq\f(t,2)，eq\f(2－t,2))，且|PO|＝eq\r(t2＋（2－t）2)，所以以PO為直徑的圓Q方程為(x－eq\f(t,2))2＋(y－eq\f(2－t,2))2＝eq\f(t2＋（2－t）2,4)，即x2＋y2－tx－(2－t)y＝0，圓Q與圓O的公共弦直線方程為tx＋(2－t)y－1＝0，即t(x－y)＋2y－1＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,2y－1＝0，))解得x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)，即直線tx＋(2－t)y－1＝0過定點(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，D正確．故選AD.答案：AD2．(多選題)(2023·東莞市模擬)已知直線l過點M(1，2)且與圓C：(x－2)2＋y2＝5相切，直線l與x軸交于點N，點P是圓C上的動點，則下列結論中正確的有()A．點N的坐標為(－3，0)B．△MNP面積的最大值為10C．當直線l與直線ax－y＋1＝0垂直時，a＝2D．tan∠MNP的最大值為eq\f(4,3)解析：由題可得點M(1，2)在圓C上，因為kMC＝eq\f(2－0,1－2)＝－2，所以直線l的斜率k＝eq\f(1,2)，因此直線l的方程為x－2y＋3＝0，令y＝0，解得x＝－3，所以點N的坐標為(－3，0)，故A正確；因為點P是圓C上的動點，所以點P到直線l的最大距離d＝2r＝2eq\r(5)，又因為|MN|＝eq\r(（1＋3）2＋（2－0）2)＝2eq\r(5)，所以△MNP的面積最大值為eq\f(|MN|·d,2)＝10，故B正確；因為直線l：x－2y＋3＝0與直線ax－y＋1＝0垂直，所以eq\f(1,2)a＝－1，解得a＝－2，故C錯誤；當直線lNP與圓C相切時，銳角∠MNP最大，即tan∠MNP最大，此時∠MNP＝2∠MNC，因為t