2024屆福建師范大第二附屬中學(xué)八上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆福建師范大第二附屬中學(xué)八上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖是作的作圖痕跡，則此作圖的已知條件是（）A．已知兩邊及夾角 B．已知三邊 C．已知兩角及夾邊 D．已知兩邊及一邊對(duì)角2．如圖，在中，點(diǎn)是邊上任一點(diǎn)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連結(jié)，若的面積為，則的面積為（）A． B． C． D．3．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等B．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等C．有兩條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等D．形狀和大小完全相同的兩個(gè)三角形全等4．某班級(jí)的一次數(shù)學(xué)考試成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖如圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．得分在70～80分的人數(shù)最多 B．該班的總?cè)藬?shù)為40C．人數(shù)最少的得分段的頻數(shù)為2 D．得分及格(≥60分)的有12人5．已知當(dāng)時(shí)，分式的值為0，當(dāng)時(shí)，分式無(wú)意義，則的值為（）A．4 B．－4 C．0 D．6．如圖，在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線(xiàn)，E為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD，與AC、DC分別交于點(diǎn)G，F(xiàn)，H為CG的中點(diǎn)，連接DE，EH，DH，F(xiàn)H．下列結(jié)論：①EG＝DF；②∠AEH+∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若＝，則3S△EDH＝13S△DHC，其中結(jié)論正確的有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．把通分，下列計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．8．函數(shù)y＝5﹣2x，y的值隨x值的增大而（）A．增大 B．減小C．不變 D．先增大后減小9．若，則下列式子正確的是（）A． B． C． D．10．下列銀行標(biāo)志中，既不是中心對(duì)稱(chēng)圖形也不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是()A． B． C． D．11．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，在邊長(zhǎng)為1的正方形的邊上有—?jiǎng)狱c(diǎn)沿正方形運(yùn)動(dòng)一周，則的縱坐標(biāo)與點(diǎn)走過(guò)的路程之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是（）A． B． C． D．12．下面調(diào)查適合利用選舉的形式進(jìn)行數(shù)據(jù)收集的是（）A．誰(shuí)在電腦福利彩票中中一等獎(jiǎng) B．誰(shuí)在某地2019年中考中取得第一名C．10月1日是什么節(jié)日 D．誰(shuí)最適合當(dāng)班級(jí)的文藝委員二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm；，BE平分∠ABC，交AD于點(diǎn)E，交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則DE+DF的長(zhǎng)度為_(kāi)________.14．如圖，在中，，，分別是，的中點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，，，，則四邊形的周長(zhǎng)是____________．15．如圖1六邊形的內(nèi)角和為度，如圖2六邊形的內(nèi)角和為度，則________．16．已知關(guān)于的方程的解是正數(shù)，則的取值范圍為_(kāi)_________．17．如圖，BE⊥AC，垂足為D，且AD＝CD，BD＝ED.若∠ABC＝54°，則∠E＝________°.18．如果把人的頭頂和腳底分別看作一個(gè)點(diǎn)，把地球赤道看作一個(gè)圓，那么身高2m的小趙沿著赤道環(huán)行一周，他的頭頂比腳底多行_____m．三、解答題（共78分）19．（8分）（問(wèn)題原型）如圖1，在等腰直角三形ABC中，∠ACB=90°，BC=1．將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段BD，連結(jié)CD，過(guò)點(diǎn)D作△BCD的BC邊上的高DE，易證△ABC≌△BDE，從而得到△BCD的面積為．（初步探究）如圖2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段BD，連結(jié)CD．用含a的代數(shù)式表示△BCD的面積并說(shuō)明理由．（簡(jiǎn)單應(yīng)用）如圖3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段BD，連續(xù)CD，求△BCD的面積(用含a的代數(shù)式表示)．20．（8分）（1）分解因式：（2）解分式方程：21．（8分）如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）圖中與∠DBE相等的角有：；（2）直接寫(xiě)出BE和CD的數(shù)量關(guān)系；（3）若△ABC的形狀、大小不變，直角三角形BEC變?yōu)閳D2中直角三角形BED，∠E＝90°，且∠EDB＝∠C，DE與AB相交于點(diǎn)F．試探究線(xiàn)段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．22．（10分）在中，，分別以、為邊向外作正方形和正方形．（1）當(dāng)時(shí)，正方形的周長(zhǎng)________（用含的代數(shù)式表示）；（2）連接．試說(shuō)明：三角形的面積等于正方形面積的一半．（3）已知，且點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)在移動(dòng)過(guò)程中，的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．23．（10分）解下列分式方程(1)(2)24．（10分）為了解某校八年級(jí)暑期參加義工活動(dòng)的時(shí)間，某研究小組隨機(jī)采訪(fǎng)了該校八年級(jí)的20位同學(xué)，得到這20位同學(xué)暑假參加義工活動(dòng)的天數(shù)的統(tǒng)計(jì)如下：天數(shù)（天）02356810人數(shù)1248221（1）這20位同學(xué)暑期參加義工活動(dòng)的天數(shù)的中位數(shù)是______天，眾數(shù)是_______天，極差是_______天；（2）若小明同學(xué)把天數(shù)中的數(shù)據(jù)“8”看成了“7”，那么中位數(shù)、眾數(shù)、方差，極差四個(gè)指標(biāo)中受影響的是___；（3）若該校有500名八年級(jí)學(xué)生，試用這20個(gè)同學(xué)的樣本數(shù)據(jù)去估計(jì)該校八年級(jí)學(xué)生暑期參加義工活動(dòng)的總天數(shù)．25．（12分）（1）如圖①，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線(xiàn)，試判斷，，之間的等量關(guān)系．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，易證得到，從而把，，轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中即可判斷．，，之間的等量關(guān)系________；（2）問(wèn)題探究：如圖②，在四邊形中，，與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線(xiàn)，試探究，，之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．26．已知中，，，過(guò)頂點(diǎn)作射線(xiàn).（1）當(dāng)射線(xiàn)在外部時(shí)，如圖①，點(diǎn)在射線(xiàn)上，連結(jié)、，已知，，（）.①試證明是直角三角形；②求線(xiàn)段的長(zhǎng).（用含的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)射線(xiàn)在內(nèi)部時(shí)，如圖②，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，請(qǐng)寫(xiě)出線(xiàn)段、、的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】觀察的作圖痕跡，可得此作圖的條件.【詳解】解：觀察的作圖痕跡，可得此作圖的已知條件為：∠α，∠β，及線(xiàn)段AB,故已知條件為：兩角及夾邊，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形作圖及三角形全等的相關(guān)知識(shí).2、C【分析】根據(jù)三角形中線(xiàn)及中位線(xiàn)的性質(zhì)即可得到三角形面積之間的關(guān)系，進(jìn)而由的面積即可得到的面積.【詳解】∵G，E分別是FB，F(xiàn)C中點(diǎn)∴，∴∵∴∵F是AD中點(diǎn)∴，∵，∴∴，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積與中位線(xiàn)和中線(xiàn)的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵.3、C【分析】根據(jù)三條邊相等三個(gè)角相等可對(duì)A進(jìn)行判斷；利用SAS可對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)全等的條件可對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)全等的定義可對(duì)D進(jìn)行判斷.【詳解】A.三條邊都相等且三個(gè)都相等，能完全重合，該選項(xiàng)正確；B.兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等且?jiàn)A角都等于90，符合SAS，該選項(xiàng)正確；C.不滿(mǎn)足任何一條全等的判定條件，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.形狀和大小完全相同的兩個(gè)三角形完全重合，該選項(xiàng)正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的概念和三角形全等的判定，其中結(jié)合特殊三角形的性質(zhì)得出判定全等的條件是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.．4、D【解析】試題分析：A、得分在70～80分之間的人數(shù)最多，有14人，此選項(xiàng)正確；B、該班的總?cè)藬?shù)為4＋12＋14＋8＋2＝40人，此選項(xiàng)正確；C、得分在90～100分之間的人數(shù)最少，有2人，頻數(shù)為2，此選項(xiàng)正確；D、及格（≥60分）人數(shù)是12＋14＋8＋2＝36人，此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選D．點(diǎn)睛：本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力；利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息時(shí)，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷和解決問(wèn)題．5、B【分析】根據(jù)題意可得，當(dāng)時(shí)，分子，當(dāng)時(shí)，分母，從而可以求得、的值，本題得以解決．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，分式的值為0，當(dāng)時(shí)，分式無(wú)意義，，解得，，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查分式的值為零的條件、分式有意義的條件，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出、的值．6、D【分析】根據(jù)題意可知∠ACD=45°，則GF=FC，繼而可得EG=DF，由此可判斷①；由SAS證明△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，繼而有∠AEH+∠ADH=180°，由此可判斷②；同②證明△EHF≌△DHC，可判斷③；若AE:AB=2:3，則AE=2BE，可以證明△EGH≌△DFH，則∠EHG=∠DHF且EH=DH，則∠DHE=90°，△EHD為等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥CD于點(diǎn)M，設(shè)HM=x，則DM=5x，DH=，CD=6x，根據(jù)三角形面積公式即可判斷④.【詳解】①∵四邊形ABCD為正方形，EF∥AD，∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，∴△CFG為等腰直角三角形，∴GF=FC，∵EG=EF-GF，DF=CD-FC，∴EG=DF，故①正確；②∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點(diǎn)，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC(SAS)，∴∠HEF=∠HDC，∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正確；③∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點(diǎn)，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC(SAS)，故③正確；④∵AE:AB=2:3，∴AE=2BE，∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點(diǎn)，∴FH=GH，∠FHG=90°，∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，在△EGH和△DFH中，，∴△EGH≌△DFH(SAS)，∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，∴△EHD為等腰直角三角形，過(guò)H點(diǎn)作HM垂直于CD于M點(diǎn)，如圖所示：設(shè)HM=x，則DM=5x，DH==，CD=6x，則S△DHC=×CD×HM=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，∴3S△EDH=13S△DHC，故④正確，所以正確的有4個(gè)，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7、B【分析】根據(jù)分式通分的方法即可求解．【詳解】把通分，最簡(jiǎn)公分母為，故故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查分式通分，解題的關(guān)鍵是熟知分式通分的方法．8、B【分析】根據(jù)函數(shù)y＝5﹣2x和一次函數(shù)的性質(zhì)可以得到y(tǒng)隨x的增大如何變化，本題得以解決．【詳解】解：∵y＝5﹣2x，k＝﹣2＜0，∴y的值隨x值的增大而減小，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9、B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：由，不能判斷與的大小，A錯(cuò)誤；由，可知，B正確；由，可知，∴，C錯(cuò)誤；由，可知，D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)不等式性質(zhì)的應(yīng)用，注意：不等式的性質(zhì)有①不等式的兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)或整式，不等號(hào)的方向不變，②不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，③不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．10、D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形與中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念求解．【詳解】解：A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故A選項(xiàng)不合題意；B、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故B選項(xiàng)不合題意；C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形．故C選項(xiàng)不合題意；D、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故D選項(xiàng)符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念：軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分沿對(duì)稱(chēng)軸折疊后可重合；中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合．11、D【分析】根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)即可求出AB=BC=CD=DA=1，然后結(jié)合圖象可知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2，線(xiàn)段BC上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為1，線(xiàn)段DA上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為2，再根據(jù)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的位置逐一分析，用排除法即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∴AB=BC=CD=DA=1由圖象可知：點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2，線(xiàn)段BC上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為1，線(xiàn)段DA上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為2，∴當(dāng)點(diǎn)P從A到B運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0＜S≤1時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)逐漸減小，故可排除選項(xiàng)A；當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)B時(shí)，即當(dāng)S=1時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y=1，故可排除選項(xiàng)B；當(dāng)點(diǎn)P從B到C運(yùn)動(dòng)時(shí)，即1＜S≤2時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y恒等于1，故可排除C；當(dāng)點(diǎn)P從C到D運(yùn)動(dòng)時(shí)，即2＜S≤3時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)逐漸增大；當(dāng)點(diǎn)P從D到A運(yùn)動(dòng)時(shí)，即3＜S≤4時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y恒等于2，故選D．【點(diǎn)睛】此題考查的是根據(jù)圖形上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，找出對(duì)應(yīng)的圖象，掌握橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義和根據(jù)點(diǎn)的不同位置逐一分析是解決此題的關(guān)鍵．12、D【分析】選舉形式收集數(shù)據(jù)適合于調(diào)查主觀意識(shí)情況，不適合客觀情況調(diào)查．【詳解】解：根據(jù)選舉形式的特點(diǎn)可知只有選項(xiàng)D符合題意．故答案為D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)據(jù)的收集，掌握收據(jù)的收集方式是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、4【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，進(jìn)而得出∠AEB=∠CBF，再利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出∠ABF=∠CBF，進(jìn)而得出∠AEB=∠ABF，即可得出AB=AE，同理可得：BC=CF，即可得出答案．【詳解】∵平行四邊形ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠AEB=∠CBF，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF，

∴∠AEB=∠ABF，

∴AB=AE，

同理可得：BC=CF，

∵AB=3cm，BC=5cm，

∴AE=3cm．CF=5cm，

∴DE=5-3=2cm，DF=5-3=2cm，

∴DE+DF=2+2=4cm，

故答案為：4cm．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，得出AB=AE，BC=CF是解題關(guān)鍵．14、1【分析】根據(jù)勾股定理先求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理和直角三角形的性質(zhì)求出DE和AE的長(zhǎng)，進(jìn)而由已知可判定四邊形AEDF是平行四邊形，從而求得其周長(zhǎng)．【詳解】解：在Rt△ABC中，∵AC=6，AB=8，∴BC=10，∵E是BC的中點(diǎn)，∴AE=BE=5，∴∠BAE=∠B，∵∠FDA=∠B，∴∠FDA=∠BAE，∴DF∥AE，∵D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴DE∥AC，DE=AC=3，∴四邊形AEDF是平行四邊形∴四邊形AEDF的周長(zhǎng)=2×（3+5）=1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線(xiàn)定理的運(yùn)用，熟悉直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及平行四邊形的判定．熟練運(yùn)用三角形的中位線(xiàn)定理和直角三角形的勾股定理是解題的關(guān)鍵．15、0【分析】將兩個(gè)六邊形分別進(jìn)行拆分，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和和四邊形的內(nèi)角和計(jì)算即可得出答案.【詳解】如圖1所示，將原六邊形分成了兩個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，∴=180°×2+360°=720°如圖2所示，將原六邊形分成了四個(gè)三角形∴=180°×4=720°∴m-n=0故答案為0.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和和四邊形的內(nèi)角和，難度適中，解題關(guān)鍵是將所求六邊形拆分成幾個(gè)三角形和四邊形的形式進(jìn)行求解.16、且【分析】首先求出關(guān)于x的方程的解，然后根據(jù)解是正數(shù)，再解不等式求出m的取值范圍．【詳解】解關(guān)于x的方程得x＝m＋6，∵x?2≠0，解得x≠2，∵方程的解是正數(shù)，∴m＋6＞0且m＋6≠2，解這個(gè)不等式得m＞?6且m≠?1．故答案為：m＞?6且m≠?1．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，是一個(gè)方程與不等式的綜合題目，解關(guān)于x的方程是關(guān)鍵，解關(guān)于x的不等式是本題的一個(gè)難點(diǎn)．17、27【解析】∵BE⊥AC，AD=CD，

∴AB=CB，即△ABC為等腰三角形，

∴BD平分∠ABC，即∠ABE=∠CBE=∠ABC=27°，

在△ABD和△CED中，,∴△ABD≌△CED（SAS），

∴∠E=∠ABE=27°.

故答案是：27.18、4π．【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式，分別求出赤道的周長(zhǎng)和人頭沿著赤道環(huán)形一周的周長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：設(shè)地球的半徑是R，則人頭沿著赤道環(huán)形時(shí)，人頭經(jīng)過(guò)的圓的半徑是（R+2）m，∴赤道的周長(zhǎng)是2πRm，人頭沿著赤道環(huán)形一周的周長(zhǎng)是2π（R+2）m，∴他的頭頂比腳底多行2π（R+2）﹣2πR＝4πm，故答案為：4π.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的周長(zhǎng)的計(jì)算方法，難度不大，理解題意是關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、【問(wèn)題原型】3；【初步探究】△BCD的面積為a2；【簡(jiǎn)單應(yīng)用】△BCD的面積為a2．【分析】問(wèn)題原型：如圖1中，△ABC≌△BDE，就有DE=BC=1．進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論；初步探究：如圖2中，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線(xiàn)，與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，由垂直的性質(zhì)就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論；簡(jiǎn)單運(yùn)用：如圖3中，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC與F，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)可以得出BF=BC，由條件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面積公式就可以得出結(jié)論．【詳解】解：?jiǎn)栴}原型：如圖1中，如圖2中，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線(xiàn)，與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，∴∠BED=∠ACB=90°．∵線(xiàn)段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴BC=DE=1．∵S△BCDBC?DE，∴S△BCD=3．故答案為：3．初步探究：△BCD的面積為a2．理由：如圖2中，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線(xiàn)，與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E．，∴∠BED=∠ACB=90°∵線(xiàn)段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴BC=DE=a．∵S△BCDBC?DE，∴S△BCDa2；簡(jiǎn)單應(yīng)用：如圖3中，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC與F，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，，∴∠AFB=∠E=90°，BFBCa，∴∠FAB+∠ABF=90°．∵∠ABD=90°，∴∠ABF+∠DBE=90°，∴∠FAB=∠EBD．∵線(xiàn)段BD是由線(xiàn)段AB旋轉(zhuǎn)得到的，∴AB=BD．在△AFB和△BED中，，∴△AFB≌△BED(AAS)，∴BF=DEa．∵S△BCDBC?DE，∴S△BCD?a?aa2，∴△BCD的面積為a2．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．20、（1）（2）x=3【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式即可分解；（2）根據(jù)分式方程的解法去分母化為整式方程，再進(jìn)行求解.【詳解】（1）==（2）x=3經(jīng)檢驗(yàn)，x=3是原方程的解.【點(diǎn)睛】此題主要考查因式分解及分式方程的求解，解題的關(guān)鍵是熟知分式方程的解法.21、（1）∠ACE和∠BCD；（2）BE＝CD；（3）BE＝DF，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠DBE＝∠ACE，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠BCD＝∠ACE，得到答案；（2）延長(zhǎng)BE交CA延長(zhǎng)線(xiàn)于F，證明△CEF≌△CEB，得到FE＝BE，證明△ACD≌△ABF，得到CD＝BF，證明結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)D作DG∥CA，交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，與AE相交于H，分別證明△BGH≌△DFH、△BDE≌△GDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠E＝∠BAC，又∠EDB＝∠ADC，∴∠DBE＝∠ACE，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，∴∠DBE＝∠BCD，故答案為：∠ACE和∠BCD；（2）延長(zhǎng)BE交CA延長(zhǎng)線(xiàn)于F，∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE，在△CEF和△CEB中，，∴△CEF≌△CEB（ASA），∴FE＝BE，在△ACD和△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（ASA），∴CD＝BF，∴BE＝CD；（3）BE＝DF證明：過(guò)點(diǎn)D作DG∥CA，交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，與AE相交于H，∵DG∥AC，∴∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°，∵∠EDB＝∠C，∴∠EDB＝∠EDG＝∠C，∵BE⊥ED，∴∠BED＝90°，∴∠BED＝∠BHD，∵∠EFB＝∠HFD，∴∠EBF＝∠HDF，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°，∵GD∥AC，∴∠GDB＝∠C＝45°，∴∠GDB＝∠ABC＝45°，∴BH＝DH，在△BGH和△DFH中，，∴△BGH≌△DFH（ASA）∴BG＝DF，∵在△BDE和△GDE中，，∴△BDE≌△GDE（ASA）∴BE＝EG，∴BE＝．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的意義，三角形全等的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是：①熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，理清角與角之間存在的關(guān)系；②正確理解角平分線(xiàn)的性質(zhì)③熟練掌握三角形全等的判定方法。22、（1）4；（2）詳見(jiàn)解析；（3）的周長(zhǎng)最小值為【分析】（1）根據(jù)正方形的周長(zhǎng)公式即可得解；（2）首先判定，然后即可判定，即可得解；（3）利用對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)A′、P、Q、F共線(xiàn)時(shí)的周長(zhǎng)取得最小值，然后利用勾股定理即可得解.【詳解】（1）由題意，得正方形的周長(zhǎng)為；（2）連接，如圖所示：∵∠CBH=∠ABE=90°∴∠CBH+∠ABC=∠ABE+∠ABC∴∵,,∴∴的面積的面積正方形的面積（3）作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),∴∵的周長(zhǎng)為，即為當(dāng)A′、P、Q、F共線(xiàn)時(shí)的周長(zhǎng)取得最小值，∴的周長(zhǎng)的最小值為過(guò)作的延長(zhǎng)線(xiàn)于,∵∴∠CAB=45°，AB=AD=∵∠DAB=90°∴∠MAA′=45°∴為等腰直角三角形∵，∴∴∴∴的周長(zhǎng)最小值為.【點(diǎn)睛】此題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求解最值，熟練掌握，即可解題.23、（1）無(wú)解.（2）x=【解析】各分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】(1)去分母得，2（x+1）-3(x-1)=x+3，解方程，得，x=1，經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是原方程的增根，原方程無(wú)解.(2)去分母得，2x=3-2(2x-2)解方程得，x=，經(jīng)檢驗(yàn)，x=是原方程的解.【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．24、（1）5、5、10；（2）方差；（3）2350天【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)極差定義回答即可；（2）由中位數(shù)和眾數(shù)不受極端值影響可得答案；（3）用總?cè)藬?shù)除以樣本容量，再乘以樣本中所有學(xué)生參加義工活動(dòng)的天數(shù)即可得．【詳解】解：（1）這20位同學(xué)暑期參加義工活動(dòng)的天數(shù)的中位數(shù)是（5+5）÷2=5（天）；眾數(shù)是5天；極差是10-0=10（天）；故答案為：5，5，10；（2）若小明同學(xué)把天數(shù)的數(shù)據(jù)“8”看成了“7”，那么中位數(shù)，眾數(shù)