2023-2024學年河南省駐馬店市西平縣八年級（上）期中數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年河南省駐馬店市西平縣八年級第一學期期中數(shù)學試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．中華文明，源遠流長；中華漢字，寓意深廣．下列四個選項中，是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．2．三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個（）A．形狀相同的三角形 B．面積相等的三角形 C．直角三角形 D．周長相等的三角形3．如圖，已知∠ACB＝∠ACD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．AC平分∠BAD C．AB＝AD D．∠B＝∠D4．在平面直角坐標系中，點B的坐標是（4，﹣1），點A與點B關于x軸對稱，則點A的坐標是（）A．（4，1） B．（﹣1，4） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣1，﹣4）5．若三角形的三邊長分別為3，1+2x，8，則x的取值范圍是（）A．2＜x＜5 B．3＜x＜8 C．4＜x＜7 D．5＜x＜96．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，點D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，則BC等于（）A．4 B．5 C．6 D．87．如圖，在△AEF中，尺規(guī)作圖如下：分別以點E，點F為圓心；大于的長為半徑作弧，兩弧相交于G，H兩點，作直線GH，交EF于點O，連接AO，則下列結論正確的是（）A．AO平分∠EAF B．AO垂直EF C．GH垂直平分EF D．AO＝OF8．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東70°方向的M處，它以每小時40海里的速度向正北方向航行，2小時后到達位于燈塔P的北偏東40°的N處，則N處與燈塔P的距離為（）A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里9．如圖，兩把完全相同的長方形直尺按如圖方式擺放，記兩把尺的接觸點為點P．其中一把直尺邊緣恰好和射線OA重合，而另一把直尺的下邊緣與射線OB重合，上邊緣與射線OA交于點M，聯(lián)結OP．若∠BOP＝28°，則∠AMP的大小為（）A．62° B．56° C．52° D．46°10．如圖，在△ABC中，點E為BC邊上一點，AC＝CE，連結AE，CD⊥AE交AE于點F，連結DE，∠CAB＝2∠B，若CE＝5，AD＝3，則BC的長為（）A．6 B．7 C．8 D．10二、填空題（每小題3分，共15分）11．在生活中，我們常?？吹皆陔娋€桿的兩側拉有兩根鋼線用來固定電線桿（如圖所示），這樣做的數(shù)學原理是．12．如果一個多邊形的每個外角都等于相鄰的內(nèi)角的，則這個多邊形的邊數(shù)是．13．一個多邊形的內(nèi)角和是540°，則這個多邊形是邊形．14．如圖，△ABC≌△FDE，AB＝FD，BC＝DE，AE＝20cm，F(xiàn)C＝10cm，則AF的長是cm．15．如圖，在等邊△ABC中，點D為邊BC的中點；點E為AB上一點，連接AD，AD＝3，且P為AD上的動點，連接EP，BP，則BP+EP的最小值為．三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16．如圖，五邊形ABCDE的每個內(nèi)角都相等，EF平分∠AED交BC于點F，求∠BFE的度數(shù)．17．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A（2，3）、B（3，1）、C（﹣2，﹣2）．（1）請在圖中作出△ABC關于y軸的軸對稱圖形△A′B′C′（A，B，C的對稱點分別是A′，B′，C′），并直接寫出A′，B′，C′的坐標．（2）求△A′B′C′的面積．18．如圖，AC與BD相交于點E，AB＝CD，∠A＝∠D．（1）試說明△ABE≌△DCE；（2）連接AD，判斷AD與BC的位置關系，并說明理由．19．作圖題：（不寫作法，但必須保留作圖痕跡）如圖：某地有兩所大學和兩條相交叉的公路，（點M，N表示大學，AO，BO表示公路）．現(xiàn)計劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學的距離相等，到兩條公路的距離也相等．你能確定倉庫P應該建在什么位置嗎？在所給的圖形中畫出你的設計方案．20．如圖，AC＝AE，BC＝DE，BC的延長線與DE相交于點F，∠ACF+∠AED＝180°．求證：AB＝AD．21．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E．（1）求證：∠EBD＝∠EDB．（2）當AB＝AC時，請判斷CD與ED的大小關系，并說明理由．22．如圖，點D在等邊△ABC的外部，連接AD、CD，AD＝CD，過點D作DE∥AB交AC于點F，交BC于點E．（1）判斷△CEF的形狀，并說明理由；（2）連接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的長．23．【初步探索】（1）如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點，且EF＝BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關系．小明同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是．【靈活運用】（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點，且EF＝BE+FD，上述結論是否仍然成立，并說明理由．

參考答案一、選擇題（每小題3分，共30分）1．中華文明，源遠流長；中華漢字，寓意深廣．下列四個選項中，是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念進行判斷即可．解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；D、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：C．【點評】本題主要考查了軸對稱圖形的概念，熟知：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．這條直線是它的對稱軸．2．三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個（）A．形狀相同的三角形 B．面積相等的三角形 C．直角三角形 D．周長相等的三角形【分析】根據(jù)三角形的面積公式以及三角形的中線定義，知三角形的一邊上的中線把三角形分成了等底同高的兩個三角形，所以它們的面積相等．解：三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個面積相等的三角形．故選：B．【點評】考查了三角形的中線的概念．構造面積相等的兩個三角形時，注意考慮三角形的中線．3．如圖，已知∠ACB＝∠ACD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．AC平分∠BAD C．AB＝AD D．∠B＝∠D【分析】分別根據(jù)全等三角形的判定方法判斷即可．解：A．∵∠ACB＝∠ACD，CB＝CD，CA＝CA，根據(jù)SAS可判定△ABC≌△ADC，不符合題意；B．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵∠ACB＝∠ACD，CA＝CA，根據(jù)ASA可判定△ABC≌△ADC，不符合題意；C．∵∠ACB＝∠ACD，AB＝AD，CA＝CA，根據(jù)SSA不能判定△ABC≌△ADC，符合題意；D．∵∠ACB＝∠ACD，∠B＝∠D，CA＝CA，根據(jù)AAS可判定△ABC≌△ADC，不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解題的關鍵．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等．判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角相等時，角必須是兩邊的夾角．4．在平面直角坐標系中，點B的坐標是（4，﹣1），點A與點B關于x軸對稱，則點A的坐標是（）A．（4，1） B．（﹣1，4） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣1，﹣4）【分析】直接利用關于x軸對稱點的性質(zhì)，橫坐標不變縱坐標改變符號進而得出答案．解：∵點B的坐標是（4，﹣1），點A與點B關于x軸對稱，∴點A的坐標是：（4，1）．故選：A．【點評】此題主要考查了關于x軸對稱點的性質(zhì)，正確把握橫縱坐標的關系是解題關鍵．5．若三角形的三邊長分別為3，1+2x，8，則x的取值范圍是（）A．2＜x＜5 B．3＜x＜8 C．4＜x＜7 D．5＜x＜9【分析】首先根據(jù)三角形的三邊關系定理三角形兩邊之和大于第三邊．三角形的兩邊差小于第三邊可得8﹣3＜1+2x＜3+8，解不等式即可．解：根據(jù)三角形的三邊關系可得：8﹣3＜1+2x＜3+8，解得：2＜x＜5．故選：A．【點評】此題主要考查了三角形的三邊關系，關鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，點D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，則BC等于（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠B，求出∠BAC，求出∠DAC＝∠C，求出AD＝DC＝2，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出BD，即可求出答案．解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°，∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∵AD＝2，∴BD＝2AD＝4，∵∠DAC＝120°﹣90°＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴AD＝DC＝2，∴BC＝BD+DC＝4+2＝6，故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應用，解此題的關鍵是求出BD和DC的長．7．如圖，在△AEF中，尺規(guī)作圖如下：分別以點E，點F為圓心；大于的長為半徑作弧，兩弧相交于G，H兩點，作直線GH，交EF于點O，連接AO，則下列結論正確的是（）A．AO平分∠EAF B．AO垂直EF C．GH垂直平分EF D．AO＝OF【分析】根據(jù)作圖可得，GH是線段EF的垂直平分線，即可得到答案．解：由作圖可知，GH是線段EF的垂直平分線，∴GH垂直平分EF；故選：C．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，解題的關鍵是掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方法．8．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東70°方向的M處，它以每小時40海里的速度向正北方向航行，2小時后到達位于燈塔P的北偏東40°的N處，則N處與燈塔P的距離為（）A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里【分析】根據(jù)方向角的定義即可求得∠M＝70°，∠N＝40°，則在△MNP中利用內(nèi)角和定理求得∠NPM的度數(shù)，證明三角形MNP是等腰三角形，即可求解．解：MN＝2×40＝80（海里），∵∠M＝70°，∠N＝40°，∴∠NPM＝180°﹣∠M﹣∠N＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∴∠NPM＝∠M，∴NP＝MN＝80（海里）．故選：D．【點評】本題考查了方向角的定義，以及三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定義是關鍵．9．如圖，兩把完全相同的長方形直尺按如圖方式擺放，記兩把尺的接觸點為點P．其中一把直尺邊緣恰好和射線OA重合，而另一把直尺的下邊緣與射線OB重合，上邊緣與射線OA交于點M，聯(lián)結OP．若∠BOP＝28°，則∠AMP的大小為（）A．62° B．56° C．52° D．46°【分析】過P點作PD⊥OB，一把直尺邊緣與OA的交點為E，如圖，根據(jù)題意得到PD＝PE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理可判斷OP平分∠AOB，所以∠AOP＝∠BOP＝28°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解．解：過P點作PD⊥OB，一把直尺邊緣與OA的交點為E，如圖，∵兩把直尺為完全相同的長方形，∴PD＝PE，∵PE⊥OA，PD⊥OB，∴OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠BOP＝28°，∴∠AOB＝56°，∵PM∥OB，∴∠AMP＝∠AOB＝56°．故選：B．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：在角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．也考查了平行線的性質(zhì)．10．如圖，在△ABC中，點E為BC邊上一點，AC＝CE，連結AE，CD⊥AE交AE于點F，連結DE，∠CAB＝2∠B，若CE＝5，AD＝3，則BC的長為（）A．6 B．7 C．8 D．10【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CD垂直平分AE，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝DE，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得到∠B＝∠EDB，進而得到BE＝DE＝3，據(jù)此可求出BC的長．解：∵AC＝CE＝5，CD⊥AE，∴AF＝EF，∴CD是線段AE的垂直平分線，∴AD＝DE＝3，∴∠DAE＝∠DEA，∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∴∠CAE+∠DAE＝∠CEA+∠DEA，即：∠CAB＝∠AED，∵∠CAB＝2∠B，∴∠CED＝2∠B又∵∠CED＝∠B+∠EDB，∴2∠B＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE＝3，∴BC＝CE+BE＝5+3＝8，故選：C．【點評】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解答的關鍵．二、填空題（每小題3分，共15分）11．在生活中，我們常?？吹皆陔娋€桿的兩側拉有兩根鋼線用來固定電線桿（如圖所示），這樣做的數(shù)學原理是三角形的穩(wěn)定性．【分析】根據(jù)三角形的三邊一旦確定，則形狀大小完全確定，即三角形的穩(wěn)定性．解：結合圖形，為了防止電線桿傾倒，常常在電線桿上拉兩根鋼筋來加固電線桿，所以這樣做根據(jù)的數(shù)學道理是三角形的穩(wěn)定性．故答案為：三角形的穩(wěn)定性．【點評】本題考查三角形穩(wěn)定性的實際應用．三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結構，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得．12．如果一個多邊形的每個外角都等于相鄰的內(nèi)角的，則這個多邊形的邊數(shù)是12．【分析】根據(jù)每個外角都等于相鄰內(nèi)角的，并且外角與相鄰的內(nèi)角互補，就可求出外角的度數(shù)；根據(jù)外角度數(shù)就可求得邊數(shù)．解：設外角是x度，則相鄰的內(nèi)角是5x度．根據(jù)題意得：x+5x＝180，解得x＝30．則多邊形的邊數(shù)是：360÷30＝12．故答案為：12．【點評】此題主要考查了多邊形的外角和是360度，外角和不隨邊數(shù)的變化而變化．13．一個多邊形的內(nèi)角和是540°，則這個多邊形是五邊形．【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列方程并解方程即可．解：設此多邊形的邊數(shù)為n，則（n﹣2）?180°＝540°，解得：n＝5，即此多邊形為五邊形，故答案為：五．【點評】本題考查多邊形的內(nèi)角和公式，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．14．如圖，△ABC≌△FDE，AB＝FD，BC＝DE，AE＝20cm，F(xiàn)C＝10cm，則AF的長是5cm．【分析】根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到AC＝EF，結合等式的性質(zhì)推知AF＝CE，結合已知相關線段的長度解答．解：∵AE＝20cm，F(xiàn)C＝10cm，∴AF+CE＝AE﹣FC＝10cm．∵△ABC≌△FDE，AB＝FD，BC＝DE，∴AC＝EF．∴AC﹣FC＝EF﹣FC，∴AF＝CE．∴AF＝（AF+CE）＝5cm．故答案為：5．【點評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正確得出AF＝CE是解題關鍵．15．如圖，在等邊△ABC中，點D為邊BC的中點；點E為AB上一點，連接AD，AD＝3，且P為AD上的動點，連接EP，BP，則BP+EP的最小值為3．【分析】因為△ABC是等邊三角形，故點B關于AD的對稱點為點C，過點C作垂線交AB于點E1，交AD于點P1，此時BP+EP有最小值．解：∵△ABC是等邊三角形，點D為邊BC的中點；∴點B關于AD的對稱點為點C，過點C作垂線交AB于點E1，交AD于點P1，如圖所示：則此時BP+EP有最小值：垂線段最短，BP+EP≥CP1+P1E1＝CE1，因為等邊三角形的三邊都滿足“三線合一”故CE1＝AD＝3，此時BP+EP有最小值為3，故答案為：3．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱求線段和最小值的方法是解題的關鍵．三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16．如圖，五邊形ABCDE的每個內(nèi)角都相等，EF平分∠AED交BC于點F，求∠BFE的度數(shù)．【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理計算出∠AED，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠AEF，再求∠BFE的度數(shù)即可．解：五邊形的內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°，∵五邊形ABCDE的每個內(nèi)角都相等，∴∠A＝∠B＝∠AED＝540°÷5＝108°，∵EF平分∠AED，∴，∵四邊形ABFE的內(nèi)角和為360°，∴∠BFE＝360°﹣（108°+108°+54°）＝90°．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，解題的關鍵是熟記定理并靈活運用，多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）．17．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A（2，3）、B（3，1）、C（﹣2，﹣2）．（1）請在圖中作出△ABC關于y軸的軸對稱圖形△A′B′C′（A，B，C的對稱點分別是A′，B′，C′），并直接寫出A′，B′，C′的坐標．（2）求△A′B′C′的面積．【分析】（1）分別作出點A，B，C的對稱點A′，B′，C′，順次連接即可得；（2）利用割補法求解可得．解：（1）如圖所示，點A′（﹣2，3），B′（﹣3，1），C′（2，﹣2）；（2）用大正方形面積減去三個直角三角形面積，S△A′B′C′＝25﹣（×4×5+×1×2+×5×3）＝6.5．【點評】本題主要考查軸對稱變換的作圖，熟練掌握軸對稱變換的性質(zhì)是解題的關鍵．18．如圖，AC與BD相交于點E，AB＝CD，∠A＝∠D．（1）試說明△ABE≌△DCE；（2）連接AD，判斷AD與BC的位置關系，并說明理由．【分析】（1）由“AAS”可證△ABE≌△DCE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得AE＝DE，BE＝CE，可得∠ADE＝∠DAE，∠BCE＝∠CBE，由外角性質(zhì)可得∠ADE＝∠EBC，可證AD∥BC．【解答】證明：（1）∵AB＝CD，∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEC∴△ABE≌△DCE（AAS）（2）AD∥BC理由如下：如圖，連接AD∵△ABE≌△DCE；∴AE＝DE，BE＝CE，∴∠ADE＝∠DAE，∠BCE＝∠CBE∵∠AEB＝∠ADE+∠DAE＝∠BCE+∠CBE∴∠ADE＝∠EBC∴AD∥BC【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，證明△ABE≌△DCE的本題的關鍵．19．作圖題：（不寫作法，但必須保留作圖痕跡）如圖：某地有兩所大學和兩條相交叉的公路，（點M，N表示大學，AO，BO表示公路）．現(xiàn)計劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學的距離相等，到兩條公路的距離也相等．你能確定倉庫P應該建在什么位置嗎？在所給的圖形中畫出你的設計方案．【分析】先連接MN，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)作出線段MN的垂直平分線DE，再作出∠AOB的平分線OF，DE與OF相交于P點，則點P即為所求．解：如圖所示：（1）連接MN，分別以M、N為圓心，以大于MN為半徑畫圓，兩圓相交于DE，連接DE，則DE即為線段MN的垂直平分線；（2）以O為圓心，以任意長為半徑畫圓，分別交OA、OB于G、H，再分別以G、H為圓心，以大于GH為半徑畫圓，兩圓相交于F，連接OF，則OF即為∠AOB的平分線（或∠AOB的外角平分線）；（3）DE與OF相交于點P，則點P即為所求．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線及角平分線的作法及性質(zhì)，熟知此知識是解答此題的關鍵．20．如圖，AC＝AE，BC＝DE，BC的延長線與DE相交于點F，∠ACF+∠AED＝180°．求證：AB＝AD．【分析】由已知∠ACF+∠AED＝180°，可得到∠ACB＝∠AED，再利用SAS證明△ABC≌△ADE，從而得到AB＝AD．【解答】證明：∵∠ACF+∠AED＝180°，∠ACF+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝∠AED，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴AB＝AD．【點評】本題考查全等三角形的判定，掌握SAS判定定理是解題的關鍵．21．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E．（1）求證：∠EBD＝∠EDB．（2）當AB＝AC時，請判斷CD與ED的大小關系，并說明理由．【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得結論；（2）利用平行線的性質(zhì)可得∠ADE＝∠AED，則AD＝AE，從而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代換即可．【解答】（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識，熟練掌握平行與角平分線可推出等腰三角形是解題的關鍵．22．如圖，點D在等邊△ABC的外部，連接AD、CD，AD＝CD，過點D作DE∥AB交AC于點F，交BC于點E．（1）判斷△CEF的形狀，并說明理由；（2）連接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的長．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝BC，CF＝CE＝4．推出BD是線段AC的垂直平分線，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABD＝∠CBD．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABD＝∠BDE，于是得到結論．解：（1）△CEF是等邊三角形，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AB∥DE，∴∠CEF＝∠ABC＝60°，∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF＝60°，∴△CEF是等邊三角形；（2）∵△ABC是等邊三角形，△CEF是等邊三角形，∴AB＝BC，CF＝CE＝4．∵AD＝CD，∴BD是線段AC的垂直平分線，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵AB∥DE，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠BDE＝∠CBD，∴BE＝DE．∵BC＝BE+EC＝DE+CF，∴DE＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，