2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測試第一部分專題六函數(shù)與導(dǎo)數(shù)01真題賞析類型二基本初等函數(shù)函數(shù)與方程

類型二基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程1．(多選題)(2023·新課標卷Ⅰ)噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常數(shù)p0(p0>0)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則()A．p1≥p2B．p2>10p3C．p3＝100p0D．p1≤100p2解析：由題意得，60≤20lgeq\f(p1,p0)≤90，1000p0≤p1≤10eq\s\up6(\f(9,2))p0，50≤20lgeq\f(p2,p0)≤60，10eq\a\vs4\al(\f(5,2))p0≤p2≤1000p0，20lgeq\f(p3,p0)＝40，p3＝100p0，可得p1≥p2，A正確；p2≤10p3＝1000p0，B錯誤；p3＝100p0，C正確；p1≤10eq\s\up6(\f(9,2))p0＝100×10eq\s\up6(\f(5,2))p0≤100p2，p1≤100p2，D正確．故選ACD.答案：ACD2．(2023·全國乙卷)函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋2存在3個零點，則a的取值范圍是()A．(－∞，－2)B．(－∞，－3)C．(－4，－1)D．(－3，0)解析：f′(x)＝3x2＋a，若函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋2存在3個零點，則f′(x)＝3x2＋a＝0，有兩個不同的根，且極大值大于0，極小值小于0，即判別式Δ＝0－12a>0，得a<0，由f′(x)>0得x>eq\r(－\f(a,3))或x<－eq\r(－\f(a,3))，此時f(x)單調(diào)遞增，由f′(x)<0得－eq\r(－\f(a,3))<x<eq\r(－\f(a,3))，此時f(x)單調(diào)遞減，即當x＝－eq\r(－\f(a,3))時，函數(shù)f(x)取得極大值，當x＝eq\r(－\f(a,3))時，f(x)取得極小值，則f(－eq\r(－\f(a,3)))>0，f(eq\r(－\f(a,3)))<0，即－eq\r(－\f(a,3))(－eq\f(a,3)＋a)＋2>0，且eq\r(－\f(a,3))(－eq\f(a,3)＋a)＋2<0，即－eq\r(－\f(a,3))×eq\f(2a,3)＋2>0，①且eq\r(－\f(a,3))×eq\f(2a,3)＋2<0，②則①恒成立，由eq\r(－\f(a,3))×eq\f(2a,3)＋2<0，2<－eq\r(－\f(a,3))×eq\f(2a,3)，平方得4<－eq\f(a,3)×eq\f(4a2,9)，即a3<－27，則a<－3，綜上a<－3，即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－3)．故選B.答案：B3．(2023·天津卷)若函數(shù)f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|有且僅有兩個零點，則a的取值范圍為________________________________________________________________________．解析：①當a＝0時，f(x)＝－2x－|x2＋1|＝－2x－x2－1，不滿足題意；②當方程x2－ax＋1＝0滿足a≠0且Δ≤0時，有a2－4≤0即a∈[－2，0)∪(0，2]，此時，f(x)＝(a－1)x2＋(a－2)x－1當a＝1時，不滿足，當a≠1時，Δ＝(a－2)2＋4(a－1)＝a2>0，滿足；③Δ>0時，a∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，記x2－ax＋1＝0的兩根為m，n，不妨設(shè)m<n，則f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1([（a－1）x－1]（x＋1），x∈（－∞，m]∪[n，＋∞），,[（a＋1）x－1]（x－1），x∈（m，n）))當a>2時，x1＝eq\f(1,a－1)，x2＝－1且x∈(－∞，m]∪[n，＋∞)，但此時xeq\o\al(2,1)－ax1＋1＝eq\f(－a＋2,（a－1）2)<0，舍去x1，x3＝eq\f(1,a＋1)，x4＝1，且x∈(m，n)，但此時xeq\o\al(