2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測(cè)試第一部分專題四概率與統(tǒng)計(jì)微專題2統(tǒng)計(jì)案例大題考法3非線性回歸方程

大題考法3非線性回歸方程(2023·江門(mén)一模)某高科技公司對(duì)其產(chǎn)品研發(fā)年投資額x(單位：百萬(wàn)元)與其年銷售量y(單位：千件)的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理后得到如下統(tǒng)計(jì)表和散點(diǎn)圖．x123456y0.511.53612z＝lny－0.700.41.11.82.5(1)該公司科研團(tuán)隊(duì)通過(guò)分析散點(diǎn)圖的特征后，計(jì)劃分別用①y＝bx＋a和②y＝edx＋c兩種方案作為年銷售量y關(guān)于年投資額x的回歸分析模型，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)，確定方案①和②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(注：系數(shù)b，a，d，c按四舍五入保留一位小數(shù))(2)根據(jù)下表中數(shù)據(jù)，用相關(guān)指數(shù)R2(不必計(jì)算，只比較大小)比較兩種模型的擬合效果哪個(gè)更好，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)當(dāng)研發(fā)年投資額為8百萬(wàn)元時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量是多少？經(jīng)驗(yàn)回歸方程殘差平方和y＝bx＋ay＝edx＋ceq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)218.290.65參考公式及數(shù)據(jù)：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2),eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)),R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)（yi－eq\o(y,\s\up6(^))i）2,\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2,\i\su(i＝1,n,)yeq\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up6(－))2)eq\i\su(i＝1,6,)xizi＝－1×0.7＋2×0＋3×0.4＋4×1.1＋5×1.8＋6×2.5＝28.9，e3.4＝30.解析：(1)由題可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(0.5＋1＋1.5＋3＋6＋12)＝4，eq\i\su(i＝1,6,)xiyi＝1×0.5＋2×1＋3×1.5＋4×3＋5×6＋6×12＝121,eq\i\su(i＝1,6,)xeq\o\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，所以b＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)xiyi－6\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,6,)xeq\o\al(2,i)－6\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(121－6×4×3.5,91－6×3.52)≈2.11，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝4－2.11×3.5≈－3.4，方案①回歸方程y＝2.1x－3.4，對(duì)y＝edx＋c兩邊取對(duì)數(shù)得：lny＝dx＋c，令z＝lny，z＝dx＋c是一元線性回歸方程，eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(－0.7＋0＋0.4＋1.1＋1.8＋2.5)＝0.85，d＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)xiyi－6\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,6,)xeq\o\al(2,i)－6\o(x,\s\up6(－))2)eq\f(28.9－6×3.5×0.85,91－6×3.52)≈0.63，c＝eq\o(z,\s\up6(－))－deq\o(x,\s\up6(－))＝0.85－0.63×3.5≈－1.4，方案②回歸方程y＝e0.6x－1.4.(2)方案①相關(guān)指數(shù)Req\o\al(2,1)＝1－eq\f(18.29,\i\su(i＝1,n,)yeq\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up6(－))2)，方案②相關(guān)指數(shù)Req\o\al(2,2)＝1－eq\f(0.65,\i\su(i＝1,n,)yeq\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up6(－))2)，Req\o\al(2,1)＜Req\o\al(2,2)，故模型②的擬合效果更好，精度更高，當(dāng)研發(fā)年投資額為8百萬(wàn)元時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量y＝e4.8－1.4＝e3.4＝30(千件).,,解答非線性回歸方程問(wèn)題時(shí)，變量置換是關(guān)鍵，即將非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題．,,,(2023·廣州二模)一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，通過(guò)加大技術(shù)創(chuàng)新投入降低了每件產(chǎn)品成本，為了調(diào)查年技術(shù)創(chuàng)新投入x(單位：千萬(wàn)元)對(duì)每件產(chǎn)品成本y(單位：元)的影響，對(duì)近10年的年技術(shù)創(chuàng)新投入xi和每件產(chǎn)品成本yi(i＝1，2，3，…，10)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如下散點(diǎn)圖，并計(jì)算得：eq\o(x,\s\up6(－))＝6.8，eq\o(y,\s\up6(－))＝70，3，eq\i\su(i＝1,10,)eq\f(1,xi)＝3,eq\i\su(i＝1,10,)eq\f(1,xeq\o\al(2,i))＝1.6，eq\i\su(i＝1,10,)eq\f(yi,xi)＝350.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖可知，可用函數(shù)模型y＝eq\f(b,x)＋a擬合y與x的關(guān)系，試建立y關(guān)于x的回歸方程；(2)已知該產(chǎn)品的年銷售額m(單位：千萬(wàn)元)與每件產(chǎn)品成本y的關(guān)系為m＝－eq\f(y2,500)＋eq\f(2y,25)＋eq\f(200,y－10)＋100.該企業(yè)的年投入成本除了年技術(shù)創(chuàng)新投入，還要投入其他成本10千萬(wàn)元，根據(jù)(1)的結(jié)果回答：當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？(注：年利潤(rùn)＝年銷售額－年投入成本)參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小乘估計(jì)分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)uiui－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)u2i－n\o(u,\s\up6(－))2),eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－)).解：(1)令u＝eq\f(1,x)，則y關(guān)于u的線性回歸方程為y＝α＋βu，,由題意可得eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)uiyi－10\o(u,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)ueq\o\al(2,i)－10\o(u,\s\up6(－))2)＝eq\f(350－210,1.6－0.9)＝200，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－))＝70－200×0.3＝10，則y＝10＋200u，所以，y關(guān)于x的回歸方程為y＝10＋eq\f(200,x).(2)由y＝10＋eq\f(200,x)可得x＝eq\f(200,y－10)，年利潤(rùn)M＝m－x－