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大題考法2解三角形中的結(jié)構(gòu)不良問題(2023·惠州模擬)條件①acosB=c+eq\f(1,2)b,條件②eq\f(sinA-sinC,b)=eq\f(sinB+sinC,a+c),條件③eq\r(3)bsineq\f(B+C,2)=asinB.請從上述三個條件中任選一個,補充在下列問題中,并解答.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足________,(1)求A;(2)若AD是∠BAC的角平分線,且AD=1,求2b+c的最小值.解:(1)選①:因為acosB=c+eq\f(1,2)b,由正弦定理可得sinAcosB=sinC+eq\f(1,2)sinB,即sinAcosB=sin(A+B)+eq\f(1,2)sinB=sinAcosB+cosAsinB+eq\f(1,2)sinB,所以cosAsinB=-eq\f(1,2)sinB,而B∈(0,π),所以sinB≠0,故cosA=-eq\f(1,2),因為A∈(0,π),所以A=eq\f(2π,3).選②:因為eq\f(sinA-sinC,b)=eq\f(sinB+sinC,a+c),由正弦定理eq\f(a-c,b)=eq\f(b+c,a+c),即b2+c2-a2=-bc,由余弦定理cosA=eq\f(b2+c2-a2,2bc)=eq\f(-bc,2bc)=-eq\f(1,2),因為A∈(0,π),所以A=eq\f(2π,3).選③:因為eq\r(3)bsineq\f(B+C,2)=asinB,正弦定理及三角形內(nèi)角和定理可得eq\r(3)sinBsineq\f(π-A,2)=sinAsinB,即eq\r(3)sinBcoseq\f(A,2)=2sineq\f(A,2)coseq\f(A,2)sinB,因為A、B∈(0,π),則eq\f(A,2)∈(0,eq\f(π,2)),所以sinB≠0,coseq\f(A,2)≠0,所以sineq\f(A,2)=eq\f(\r(3),2),所以eq\f(A,2)=eq\f(π,3),即A=eq\f(2π,3).(2)由題意可知,S△ABC=S△ABD+S△ACD,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得eq\f(1,2)bcsineq\f(2π,3)=eq\f(1,2)b×1×sineq\f(π,3)+eq\f(1,2)c×1×sineq\f(π,3),化簡得bc=b+c,即eq\f(1,b)+eq\f(1,c)=1,因此2b+c=(2b+c)(eq\f(1,b)+eq\f(1,c))=3+eq\f(c,b)+eq\f(2b,c)≥3+2eq\r(\f(c,b)·\f(2b,c))=3+2eq\r(2),當(dāng)且僅當(dāng)c=eq\r(2)b=eq\r(2)+1時取等號,所以2b+c的最小值為3+2eq\r(2).結(jié)構(gòu)不良問題是新高考卷的一大特點,這類問題的引入,增強了試題條件的開放性,引導(dǎo)學(xué)生更加注重思維的靈活性及策略選擇.解決此類問題,首先要快速瀏覽試題,結(jié)合所給的條件和結(jié)論,選擇自己熟悉的條件解題.(2023·淄博三模)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知sinA+eq\r(3)cosA=0.(1)求角A的大??;(2)給出以下三個條件:①a=4eq\r(3),b=4;②b2-a2+c2+10b=0;③S△ABC=15eq\r(3).若以上三個條件中恰有兩個正確,求sinB的值.解:(1)因為sinA+eq\r(3)cosA=0,若cosA=0,則sinA=0,不滿足sin2A+cos2A=1,所以tanA=-eq\r(3),因為0<A<π,所以A=eq\f(2π,3).(2)由A=eq\f(2π,3)及①,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccoseq\f(2π,3),即c2+4c-32=0,由c>0,解得c=4;由A=eq\f(2π,3)及②,由余弦定理可得b2+c2-a2=2bccosA=-bc,由b2-a2+c2+10b=0可得10b-bc=0,可得c=10;由A=eq\f(2π,3)及③,由三角形的面積公式可得S△ABC=eq\f(1,2)bcsinA=eq\f(\r(3),4)bc=15eq\r(3),可得bc=60.經(jīng)分析可知①②不能同時成立,①③不能同時成立,正確條件為②③,故b=6,c=10.代入②可得36
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