2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測試第一部分專題一三角函數(shù)與平面向量微專題2三角恒等變換與解三角形大題考法2解三角形中的結(jié)構(gòu)不良問題

大題考法2解三角形中的結(jié)構(gòu)不良問題(2023·惠州模擬)條件①acosB＝c＋eq\f(1,2)b，條件②eq\f(sinA－sinC,b)＝eq\f(sinB＋sinC,a＋c)，條件③eq\r(3)bsineq\f(B＋C,2)＝asinB.請從上述三個條件中任選一個，補充在下列問題中，并解答．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足________，(1)求A；(2)若AD是∠BAC的角平分線，且AD＝1，求2b＋c的最小值．解：(1)選①：因為acosB＝c＋eq\f(1,2)b，由正弦定理可得sinAcosB＝sinC＋eq\f(1,2)sinB，即sinAcosB＝sin(A＋B)＋eq\f(1,2)sinB＝sinAcosB＋cosAsinB＋eq\f(1,2)sinB，所以cosAsinB＝－eq\f(1,2)sinB，而B∈(0，π)，所以sinB≠0，故cosA＝－eq\f(1,2)，因為A∈(0，π)，所以A＝eq\f(2π,3).選②：因為eq\f(sinA－sinC,b)＝eq\f(sinB＋sinC,a＋c)，由正弦定理eq\f(a－c,b)＝eq\f(b＋c,a＋c)，即b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－bc,2bc)＝－eq\f(1,2)，因為A∈(0，π)，所以A＝eq\f(2π,3).選③：因為eq\r(3)bsineq\f(B＋C,2)＝asinB，正弦定理及三角形內(nèi)角和定理可得eq\r(3)sinBsineq\f(π－A,2)＝sinAsinB，即eq\r(3)sinBcoseq\f(A,2)＝2sineq\f(A,2)coseq\f(A,2)sinB，因為A、B∈(0，π)，則eq\f(A,2)∈(0，eq\f(π,2))，所以sinB≠0，coseq\f(A,2)≠0，所以sineq\f(A,2)＝eq\f(\r(3),2)，所以eq\f(A,2)＝eq\f(π,3)，即A＝eq\f(2π,3).(2)由題意可知，S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得eq\f(1,2)bcsineq\f(2π,3)＝eq\f(1,2)b×1×sineq\f(π,3)＋eq\f(1,2)c×1×sineq\f(π,3)，化簡得bc＝b＋c，即eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝1，因此2b＋c＝(2b＋c)(eq\f(1,b)＋eq\f(1,c))＝3＋eq\f(c,b)＋eq\f(2b,c)≥3＋2eq\r(\f(c,b)·\f(2b,c))＝3＋2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)c＝eq\r(2)b＝eq\r(2)＋1時取等號，所以2b＋c的最小值為3＋2eq\r(2).結(jié)構(gòu)不良問題是新高考卷的一大特點，這類問題的引入，增強了試題條件的開放性，引導(dǎo)學(xué)生更加注重思維的靈活性及策略選擇．解決此類問題，首先要快速瀏覽試題，結(jié)合所給的條件和結(jié)論，選擇自己熟悉的條件解題．(2023·淄博三模)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知sinA＋eq\r(3)cosA＝0.(1)求角A的大?。?2)給出以下三個條件：①a＝4eq\r(3)，b＝4；②b2－a2＋c2＋10b＝0；③S△ABC＝15eq\r(3).若以上三個條件中恰有兩個正確，求sinB的值．解：(1)因為sinA＋eq\r(3)cosA＝0，若cosA＝0，則sinA＝0，不滿足sin2A＋cos2A＝1，所以tanA＝－eq\r(3)，因為0<A<π，所以A＝eq\f(2π,3).(2)由A＝eq\f(2π,3)及①，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccoseq\f(2π,3)，即c2＋4c－32＝0，由c>0，解得c＝4；由A＝eq\f(2π,3)及②，由余弦定理可得b2＋c2－a2＝2bccosA＝－bc，由b2－a2＋c2＋10b＝0可得10b－bc＝0，可得c＝10；由A＝eq\f(2π,3)及③，由三角形的面積公式可得S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),4)bc＝15eq\r(3)，可得bc＝60.經(jīng)分析可知①②不能同時成立，①③不能同時成立，正確條件為②③，故b＝6，c＝10.代入②可得36