河南省周口市川匯區(qū)周口恒大中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)12月考試卷數(shù)學(xué)試題試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150第I卷（選擇題）單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共40分）1．在等差數(shù)列中，，．則數(shù)列中正數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為（

）A．14 B．13 C．12 D．112．直線與圓相切，則（

）A．3 B． C．或1 D．3或3．已知圓和圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．外離4．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

A． B． C． D．5．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l位置時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬4m，則水位下降2m后（水足夠深），水面寬為（

）A． B． C． D．6．如圖所示，圓柱中，是底面直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，點(diǎn)是母線上一點(diǎn)，點(diǎn)是上底面的一動(dòng)點(diǎn)，，，，則（

）A．存在點(diǎn)，使得B．存在唯一的點(diǎn)，使得C．滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是D．當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球的表面積是7．已知點(diǎn)F(0，1)，直線l：y＝－1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C，已知圓M過(guò)定點(diǎn)D（0，2），圓心M在軌跡C上運(yùn)動(dòng)，且圓M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)|DA|＝l1，|DB|＝l2，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．2 D．38．已知點(diǎn)P是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最大值為（

）A．3 B．5 C．7 D．9二．多項(xiàng)選擇題（每小題5分，共20分，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分）9．已知是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足，則下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的有（

）A． B． C．最小 D．10．已知圓：，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)在圓M內(nèi) B．圓關(guān)于對(duì)稱C．半徑為3 D．直線與圓相切11．下列命題中，正確的是（

）A．兩條不重合直線的方向向量分別是，，則B．直線l的方向向量，平面的法向是，則C．兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則D．直線l的方向向量，平面的法向量，則直線l與平面所成角的大小為12．我們把離心率為的橢圓稱為黃金橢圓，類似地，也把離心率為的雙曲線稱為黃金雙曲線，則（）A．曲線是黃金雙曲線B．如果雙曲線是黃金雙曲線，那么（c為半焦距）C．如果雙曲線是黃金雙曲線，那么右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的四分之一D．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線l交C于M、N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線C是黃金雙曲線第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共20分）13．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，都有，則．14．已知長(zhǎng)方體的棱，和的長(zhǎng)分別為3cm、4cm和5cm，則棱到平面的距離為cm15．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，為橢圓的右頂點(diǎn)，以為圓心的圓與直線相交于兩點(diǎn)，且，，則圓的半徑為．16．已知點(diǎn)，平面a經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且垂直于向量，則點(diǎn)A到平面a的距離為.四、解答題（共6小題，共計(jì)70分.第17題10分，第18---22題，每題12分）17．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，P(5，a)為拋物線C上一點(diǎn)，且|PF|＝8．(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓過(guò)Q(0，﹣3)，求直線l的方程．18．求下列數(shù)列的前項(xiàng)和：(1)(2)數(shù)列中，.19．根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別寫出數(shù)列的第10項(xiàng).(1)；(2).20．求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和：(1)；(2)；(3).21．已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，．(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)，求的面積．22．已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，軸，且過(guò)兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線交橢圓于（不與點(diǎn)重合）兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，若，證明：的周長(zhǎng)為定值，并求出定值.參考答案：1．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再求解即可.【詳解】，由可得，所以數(shù)列中正數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為12．故選：C．2．D【分析】利用題給條件列出關(guān)于a的方程，解之即可求得a的值.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為又直線與圓相切，則，解之得或，故選：D．3．A【分析】根據(jù)圓的方程確定圓的圓心和半徑，再根據(jù)兩圓圓心間的距離與兩圓半徑的大小關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)閳A，所以，半徑為5,因?yàn)閳A，所以，半徑為5，由于，等于兩圓半徑之和，所以圓與圓外切.故選：A【點(diǎn)睛】判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．兩圓相切注意討論內(nèi)切外切兩種情況.4．D【詳解】橢圓方程為：∴，,且焦點(diǎn)在y軸上∴，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選D5．B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，求出拋物線的方程，再代點(diǎn)的坐標(biāo)即得解.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，將代入，得，所以．設(shè)，代入，得．所以水面寬為．故選：B6．D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法判斷選項(xiàng)A，B，C的對(duì)錯(cuò)，再通過(guò)確定三棱錐外接球的球心及半徑判斷D.【詳解】由圓錐的性質(zhì)可得平面，如圖以為原點(diǎn)，為的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，設(shè)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以，所以，又，所以，A錯(cuò)誤，又，因?yàn)椋?，所以，所以，所以滿足的點(diǎn)的軌跡為圓，B錯(cuò)誤，因?yàn)?，，，所以，所以，故，所以滿足的點(diǎn)的軌跡為線段，所以，C錯(cuò)誤，因?yàn)椋?,所以為直角三角形，取的中點(diǎn)為,又為直角三角形，所以,故為三棱錐外接球的球心，故外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為，D正確，故選：D.7．C【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C方程，設(shè)M進(jìn)而得到⊙M的方程為：，可得A(a+2，0)，B(a－2，0)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得，，再利用基本不等式即可得出．【詳解】設(shè)P(x，y)，則Q(x，－1)，∵，∴(0，y+1)(－x，2)＝(x，y－1)(x，－2)，∴2(y+1)＝x2－2(y－1)，∴x2＝4y．∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為：x2＝4y．設(shè)M．（a∈R）．則⊙M的方程為：．化為．令y＝0，則x2－2ax+a2＝4，解得x＝a+2，或a－2．取A(a+2，0)，B(a－2，0)．∴|DA|＝l1，|DB|＝l2．當(dāng)a≠0時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)取等號(hào)．當(dāng)a＝0時(shí)，2．綜上可得：的最大值為．故選：C．8．C【分析】先由判斷點(diǎn)在圓外，則最大值為.【詳解】圓，即，則圓心，半徑，由點(diǎn)，則，即點(diǎn)在圓外，則.故選：C.9．ABD【解析】由條件可得，然后逐一判斷每個(gè)選項(xiàng)即可【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，所以即，即所以所以正確的有ABD故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查的是等差數(shù)列的性質(zhì)及其前項(xiàng)和的性質(zhì)，屬于典型題.10．BD【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心與半徑，再結(jié)合點(diǎn)與圓、直線與圓、圓的對(duì)稱性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】圓：化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心，半徑，故C不正確；又，所以點(diǎn)在圓M外，故A不正確；圓心的坐標(biāo)滿足直線的方程，故直線過(guò)圓心，所以圓關(guān)于對(duì)稱，故B正確；圓心到直線的距離，所以直線與圓相切，故D正確.故選：BD.11．ABC【分析】由可判斷A；由可判斷B；由可判斷C；根據(jù)線面角的向量公式直接計(jì)算可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)?，且不重合，所以，A正確；B選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，B正確；C選項(xiàng)：因?yàn)椋?，C正確；D選項(xiàng)：記直線l與平面所成角為，則，因?yàn)?，所以，D錯(cuò)誤.故選：ABC12．BD【解析】根據(jù)雙曲線的離心率以及黃金雙曲線的定義分別計(jì)算即可一一判斷；【詳解】解：對(duì)于A：，，，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：雙曲線是黃金雙曲線，所以，由，所以，故B正確；對(duì)于C：雙曲線的一條漸近線，則到其距離，而由B可知，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，令，，則，，所以，則，由B可知，雙曲線C是黃金雙曲線，故D正確；故選：BD【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．13．96【分析】利用與的關(guān)系，分類討論可得到是等比數(shù)列，進(jìn)而可求.【詳解】由題意對(duì)任意的，都有，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，故，即，∴數(shù)列是，的等比數(shù)列，.故答案為：96．14．3【分析】由長(zhǎng)方體得，平面，再由平面得，棱到平面的距離為cm.【詳解】依題意作圖，在長(zhǎng)方體中，有平面，又平面，所以棱AB到平面的距離為cm.故答案為：3.15．【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連結(jié)，由題意可得：，結(jié)合圓的性質(zhì)有：，在等腰直角三角形中，令，則：，中，，，則，結(jié)合可得橢圓方程為，則，圓的半徑.16．【分析】利用點(diǎn)到平面的距離為，即可求得結(jié)論.【詳解】由題意，，，，所以點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.17．(1)；(2)2x﹣y﹣6＝0﹒【分析】(1)根據(jù)拋物線焦半徑公式構(gòu)造方程求得，從而得到結(jié)果．(2)設(shè)直線，代入拋物線方程可得韋達(dá)定理的形式，根據(jù)可構(gòu)造方程求得，從而得到直線方程．【詳解】（1）由拋物線定義可知：，解得：，拋物線的方程為：．（2）由拋物線方程知：，設(shè)直線，，，，，聯(lián)立方程，得：，，，以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，，，解得：，直線的方程為：，即．18．(1)；(2).【分析】（1）利用分組求和法，通過(guò)等差等比的求和公式求和；（2）利用裂項(xiàng)求和法求和.【詳解】（1）；（2）則數(shù)列的前項(xiàng)和為.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的通項(xiàng)公式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.（2）根據(jù)的通項(xiàng)公式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以?）解：因?yàn)?，所?0．(1)，6(2)，8(3)，【分析】根據(jù)橢圓方程求出的值，確定焦點(diǎn)的位置，結(jié)合橢圓定義即可得答案.【詳解】（1）由橢圓方程可得長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且，故橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為；（2）由橢圓方程可得長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且，故橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為；（3）由橢圓方程，即，可得長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且，故橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為；21．(1)(2)【分析】(1)由條件列方程求，由此可得橢圓方程；(2)根據(jù)橢圓的定義和余弦定理列等式，化簡(jiǎn)可求，再由三角形面積公式求的面積.【詳解】（1）由知，，因?yàn)檩S時(shí)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，又，所以所以，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，，，又，所以，所以