高中新課程數(shù)學(xué)（新課標(biāo)人教A版）選修1-2《2.1.2類比推理》課件

第2課時(shí)類比推理【課標(biāo)要求】1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理．2．了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．【核心掃描】1．對(duì)合情推理含義的理解．(重點(diǎn))2．能利用歸納和類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理．(重點(diǎn))1．類比推理的概念 由兩類對(duì)象具有某些

特征和其中一類對(duì)象的某些

，推出另一類對(duì)象也具有這些特征．簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．類似已知特征想一想：類比推理的結(jié)論一定正確嗎？提示類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測(cè)正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測(cè)性，不一定可靠．2．合情推理

(1)定義 歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有事實(shí)，經(jīng)過

、

、

、

，再進(jìn)行

、

，然后提出

的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理．

(2)合情推理的過程觀察分析比較聯(lián)想歸納類比猜想想一想：由合情推理得到的結(jié)論可靠嗎？提示一般來說，由合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，未必可靠，例如，費(fèi)馬猜想就被數(shù)學(xué)家歐拉推翻了．名師點(diǎn)睛1．類比推理

(1)類比推理的一般步驟 ①找出兩類事物之間的相似性或一致性． ②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題．

(2)類比推理的特點(diǎn) ①類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性，推測(cè)正在研究中的事物的屬性，以舊認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)，類比出新結(jié)果． ②類比是從一種事物的特殊屬性推測(cè)另一種事物的特殊屬性．如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的命題越可靠．③類比的結(jié)果是猜測(cè)性的，不一定正確．但它卻具有發(fā)現(xiàn)的功能．(3)類比推理的適用前提①運(yùn)用類比推理的前提是兩類對(duì)象在某些性質(zhì)上有相似性或一致性，關(guān)鍵是把這些相似性或一致性確切地表述出來，再由一類對(duì)象具有的特性去推斷另一類對(duì)象也可能具有此類特性．②運(yùn)用類比推理常常先要尋找合適的類比對(duì)象．2．歸納推理與類比推理的區(qū)別與聯(lián)系 區(qū)別：歸納推理是由特殊到一般的推理；類比推理是由個(gè)別到個(gè)別的推理或是由一般到一般的推理． 聯(lián)系：在前提為真時(shí)，歸納推理與類比推理的結(jié)論都可真可假．題型一類比推理在數(shù)列中的應(yīng)用【例1】

已知數(shù)列a1、a2，…，a30，其中a1、a2，…，a10是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；a10，a11，…，a20是公差為d的等差數(shù)列；a20，a21，…，a30是公差為d2的等差數(shù)列(d≠0)．

(1)若a20＝40，求d；

(2)試寫出a30關(guān)于d的關(guān)系式；

(3)續(xù)寫已知數(shù)列，使得a30，a31，…，a40是公差為d3的等差數(shù)列，…，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列．提出同(2)類似的問題((2)應(yīng)當(dāng)作為特例)，并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？

[思路探索]利用類比的思想求解．規(guī)律方法數(shù)學(xué)中的許多定理、公式和法則都可以用類比的方法進(jìn)行證明和應(yīng)用，而且許多例題、習(xí)題也都可以用類比的方法引出新的知識(shí)和題目，通過進(jìn)一步論證得到新的結(jié)果，由此可知，類比推理為我們研究問題提供了一盞明燈．【變式1】

根據(jù)等差數(shù)列{an}的性質(zhì)，通過類比寫出等比數(shù)列{bn}的對(duì)應(yīng)性質(zhì).等差數(shù)列{an}(公差為d)等比數(shù)列{bn}(公比為q)①若m＋n＝p＋q＝2t，則am＋an＝ap＋aq＝2at②ar，ar＋m，ar＋2m，…構(gòu)成公差為md的等差數(shù)列③Sn為前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…構(gòu)成公差為n2d的等差數(shù)列④2an＋1＝an＋an＋2解將等差數(shù)列與等比數(shù)列的運(yùn)算進(jìn)行類比，得

等差數(shù)列{an}(公差為d)等比數(shù)列{bn}(公比為q)①若m＋n＝p＋q＝2t，則am＋an＝ap＋aq＝2at若m＋n＝p＋q＝2t，則aman＝apaq＝a②ar，ar＋m，ar＋2m，…構(gòu)成公差為md的等差數(shù)列br，br＋m，br＋2m，…構(gòu)成公比為qm的等比數(shù)列題型二類比推理在幾何中的應(yīng)用【例2】

如圖所示，在△ABC中，射影定理可 表示為a＝b·cos

C＋c·cos

B，其中a，b，c分 別為角A，B，C的對(duì)邊，類比上述定理，寫出 對(duì)空間四面體性質(zhì)的猜想．

[思路探索]

解如右圖所示，在四面體PABC中，設(shè)S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大小．我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.規(guī)律方法(1)類比推理的基本原則是根據(jù)當(dāng)前問題的需要，選擇適當(dāng)?shù)念惐葘?duì)象，可以從幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面入手．由平面中的相關(guān)結(jié)論可以類比得到空間中的相關(guān)結(jié)論．(2)平面圖形與空間圖形類比平面圖形空間圖形點(diǎn)線線面邊長(zhǎng)面積面積體積線線角二面角三角形四面體題型三類比推理的應(yīng)用【例3】

三角形與四面體有下列相似性質(zhì)：

(1)三角形是平面內(nèi)由直線段圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形；四面體是空間中由三角形圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形．

(2)三角形可以看作是由一條線段所在直線外一點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的連線所圍成的圖形；四面體可以看作是由三角形所在平面外一點(diǎn)與這個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線所圍成的圖形． 通過類比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)填寫下表：三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的中位線的長(zhǎng)等于第三邊長(zhǎng)的一半，且平行于第三邊三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心三角形和四面體分別是平面圖形和空間圖形，三角形的邊對(duì)應(yīng)四面體的面，即平面的線類比到空間為面．三角形的中位線對(duì)應(yīng)四面體的中位面，三角形的內(nèi)角對(duì)應(yīng)四面體的二面角，三角形的內(nèi)切圓對(duì)應(yīng)四面體的內(nèi)切球．[規(guī)范解答]

三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊四面體的三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積三角形的中位線的長(zhǎng)等于第三邊長(zhǎng)的一半，且平行于第三邊四面體的中位面的面積等于第四個(gè)面的面積的，且中位面平行于第四個(gè)面三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是四面體內(nèi)切球的球心【題后反思】

將平面幾何中的三角形、長(zhǎng)方形、圓、面積等和立體幾何中的三棱錐、長(zhǎng)方體、球、體積等進(jìn)行類比，是解決和處理立體幾何問題的重要方法．【變式3】

類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?

)． ①各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等； ②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等．

A．①

B．①②

C．①②③

D．③解析由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，叫類比推理，上述三個(gè)結(jié)論均符合推理結(jié)論，故均正確．答案C方法技巧數(shù)形結(jié)合思想在合情推理中的應(yīng)用本節(jié)關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想的考查主要是利用圖形歸納、類比一般規(guī)律，從而作出猜想．【示例】

如圖所示是樹形圖，第一層是一條與水平線垂直的線段，長(zhǎng)度為1；第二層在第一層線段的前端作兩條與該線段均成135°角