高中新課程數(shù)學（新課標人教A版）選修1-2《2.1.2類比推理》課件

第2課時類比推理【課標要求】1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理．2．了解合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用．【核心掃描】1．對合情推理含義的理解．(重點)2．能利用歸納和類比進行簡單的推理．(重點)1．類比推理的概念 由兩類對象具有某些

特征和其中一類對象的某些

，推出另一類對象也具有這些特征．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．類似已知特征想一想：類比推理的結論一定正確嗎？提示類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結果具有猜測性，不一定可靠．2．合情推理

(1)定義 歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有事實，經(jīng)過

、

、

、

，再進行

、

，然后提出

的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理．

(2)合情推理的過程觀察分析比較聯(lián)想歸納類比猜想想一想：由合情推理得到的結論可靠嗎？提示一般來說，由合情推理所獲得的結論，僅僅是一種猜想，未必可靠，例如，費馬猜想就被數(shù)學家歐拉推翻了．名師點睛1．類比推理

(1)類比推理的一般步驟 ①找出兩類事物之間的相似性或一致性． ②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題．

(2)類比推理的特點 ①類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性，推測正在研究中的事物的屬性，以舊認識為基礎，類比出新結果． ②類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性．如果類比的相似性越多，相似的性質與推測的性質之間越相關，那么類比得出的命題越可靠．③類比的結果是猜測性的，不一定正確．但它卻具有發(fā)現(xiàn)的功能．(3)類比推理的適用前提①運用類比推理的前提是兩類對象在某些性質上有相似性或一致性，關鍵是把這些相似性或一致性確切地表述出來，再由一類對象具有的特性去推斷另一類對象也可能具有此類特性．②運用類比推理常常先要尋找合適的類比對象．2．歸納推理與類比推理的區(qū)別與聯(lián)系 區(qū)別：歸納推理是由特殊到一般的推理；類比推理是由個別到個別的推理或是由一般到一般的推理． 聯(lián)系：在前提為真時，歸納推理與類比推理的結論都可真可假．題型一類比推理在數(shù)列中的應用【例1】

已知數(shù)列a1、a2，…，a30，其中a1、a2，…，a10是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；a10，a11，…，a20是公差為d的等差數(shù)列；a20，a21，…，a30是公差為d2的等差數(shù)列(d≠0)．

(1)若a20＝40，求d；

(2)試寫出a30關于d的關系式；

(3)續(xù)寫已知數(shù)列，使得a30，a31，…，a40是公差為d3的等差數(shù)列，…，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列．提出同(2)類似的問題((2)應當作為特例)，并進行研究，你能得到什么樣的結論？

[思路探索]利用類比的思想求解．規(guī)律方法數(shù)學中的許多定理、公式和法則都可以用類比的方法進行證明和應用，而且許多例題、習題也都可以用類比的方法引出新的知識和題目，通過進一步論證得到新的結果，由此可知，類比推理為我們研究問題提供了一盞明燈．【變式1】

根據(jù)等差數(shù)列{an}的性質，通過類比寫出等比數(shù)列{bn}的對應性質.等差數(shù)列{an}(公差為d)等比數(shù)列{bn}(公比為q)①若m＋n＝p＋q＝2t，則am＋an＝ap＋aq＝2at②ar，ar＋m，ar＋2m，…構成公差為md的等差數(shù)列③Sn為前n項和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…構成公差為n2d的等差數(shù)列④2an＋1＝an＋an＋2解將等差數(shù)列與等比數(shù)列的運算進行類比，得

等差數(shù)列{an}(公差為d)等比數(shù)列{bn}(公比為q)①若m＋n＝p＋q＝2t，則am＋an＝ap＋aq＝2at若m＋n＝p＋q＝2t，則aman＝apaq＝a②ar，ar＋m，ar＋2m，…構成公差為md的等差數(shù)列br，br＋m，br＋2m，…構成公比為qm的等比數(shù)列題型二類比推理在幾何中的應用【例2】

如圖所示，在△ABC中，射影定理可 表示為a＝b·cos

C＋c·cos

B，其中a，b，c分 別為角A，B，C的對邊，類比上述定理，寫出 對空間四面體性質的猜想．

[思路探索]

解如右圖所示，在四面體PABC中，設S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大?。覀儾孪肷溆岸ɡ眍惐韧评淼饺S空間，其表現(xiàn)形式應為S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.規(guī)律方法(1)類比推理的基本原則是根據(jù)當前問題的需要，選擇適當?shù)念惐葘ο螅梢詮膸缀卧氐臄?shù)目、位置關系、度量等方面入手．由平面中的相關結論可以類比得到空間中的相關結論．(2)平面圖形與空間圖形類比平面圖形空間圖形點線線面邊長面積面積體積線線角二面角三角形四面體題型三類比推理的應用【例3】

三角形與四面體有下列相似性質：

(1)三角形是平面內由直線段圍成的最簡單的封閉圖形；四面體是空間中由三角形圍成的最簡單的封閉圖形．

(2)三角形可以看作是由一條線段所在直線外一點與這條線段的兩個端點的連線所圍成的圖形；四面體可以看作是由三角形所在平面外一點與這個三角形三個頂點的連線所圍成的圖形． 通過類比推理，根據(jù)三角形的性質推測空間四面體的性質填寫下表：三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的中位線的長等于第三邊長的一半，且平行于第三邊三角形的三條內角平分線交于一點，且這個點是三角形內切圓的圓心三角形和四面體分別是平面圖形和空間圖形，三角形的邊對應四面體的面，即平面的線類比到空間為面．三角形的中位線對應四面體的中位面，三角形的內角對應四面體的二面角，三角形的內切圓對應四面體的內切球．[規(guī)范解答]

三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊四面體的三個面的面積之和大于第四個面的面積三角形的中位線的長等于第三邊長的一半，且平行于第三邊四面體的中位面的面積等于第四個面的面積的，且中位面平行于第四個面三角形的三條內角平分線交于一點，且這個點是三角形內切圓的圓心四面體的六個二面角的平分面交于一點，且這個點是四面體內切球的球心【題后反思】

將平面幾何中的三角形、長方形、圓、面積等和立體幾何中的三棱錐、長方體、球、體積等進行類比，是解決和處理立體幾何問題的重要方法．【變式3】

類比平面內正三角形的“三邊相等，三內角相等”的性質，可推出正四面體的下列哪些性質，你認為比較恰當?shù)氖?

)． ①各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等； ②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等；③各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等．

A．①

B．①②

C．①②③

D．③解析由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，叫類比推理，上述三個結論均符合推理結論，故均正確．答案C方法技巧數(shù)形結合思想在合情推理中的應用本節(jié)關于數(shù)形結合思想的考查主要是利用圖形歸納、類比一般規(guī)律，從而作出猜想．【示例】

如圖所示是樹形圖，第一層是一條與水平線垂直的線段，長度為1；第二層在第一層線段的前端作兩條與該線段均成135°角