銀行經(jīng)理投資問題

銀行經(jīng)理投資問題

摘要

本文針對某銀行經(jīng)理計劃用一筆資金進(jìn)行有價證券的投資的問題，利用線性規(guī)劃的方法，建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，運用LINGO軟件進(jìn)行編程，結(jié)合題目要求的約束條件，求出總收益的最大值。針對問題一，基于銀行經(jīng)理如何投資，我們運用線性規(guī)劃方法，建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，結(jié)合題中所給的約束條件，求出收益最大的最優(yōu)解。最終結(jié)果為：A證券的投資資金為218.1818萬元，B證券的投資資金為0，C證券的投資資金為736.3636萬元，D證券的投資資金為0，E證券的投資資金為45.4546萬元，在此情況下，獲益最大為29.83636萬元。

針對問題二，涉及到借款的問題，收益就會因借款而減小。同樣運用線性規(guī)劃的方法，對整體求最優(yōu)解。結(jié)果可知：若該經(jīng)理能以2.75%的利率借到不超過100萬元資金，他應(yīng)該改變投資策略，A證券的投資資金為240萬元，B證券的投資資金為0，C證券的投資資金為810萬元，D證券的投資資金為0，E證券的投資資金為50萬元，在此情況下，獲益最大為30.07萬元，應(yīng)借款100萬元。

針對問題三，改變收益百分?jǐn)?shù)，從而使收益可能發(fā)生改變。運用LINGO軟件分別對其求解。運用比較法，檢驗情況。前一種也就是A稅收前收益增加時，方案不變，但總收益增加。而C的稅前收益減少為4.8%時，方案變動為A證券的投資資金為336萬元，B證券的投資資金為0，C證券的投資資金為0萬元，D證券的投資資金為648萬元，E證券的投資資金為16萬元，在此情況下，獲益最大為29.424萬元。

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃、LINGO、投資、總收益

一、問題重述

某銀行經(jīng)理計劃用一筆資金進(jìn)行有價證券的投資，可供購進(jìn)的證券以及其信用等級、到期年限、收益如圖表1所示。按照規(guī)定，市政證券的收益可以免稅，其他證券的收益需按50%的稅率納稅。此外還有以下限制：

政府及代辦機構(gòu)的證券總共至少要購進(jìn)400萬元。

所購證券的平均信用等級不超過1.4。

所購證券的平均到期年限不超過5年。

表1證券信息

證券名稱證券種類信用等級到期年限到期稅前收益/%A市政294.3B代辦機構(gòu)2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5

問：（1）若該經(jīng)理有1000萬元資金，應(yīng)如何投資？

（2）如果能夠以2.75%的利率借到不超過100萬元資金，該經(jīng)理應(yīng)如何操作？

（3）在1000萬元資金情況下，若證券A的稅前收益增加4.5%，投資應(yīng)否改變？若證券C的稅前收益減少為4.8%，投資應(yīng)否改變？二、基本假設(shè)1.到期稅前收益在投資期內(nèi)無明顯變化。2.信用等級、到期年限在投資期間無明顯變化。3.免稅的政策不變。

三、符號說明

符號代表意思x1A證券的投資資金x2B證券的投資資金x3C證券的投資資金x4D證券的投資資金x5E證券的投資資金x6借款資金四、模型的建立與求解

4.1問題一模型建立與求解

4.1.1

問題一的分析

問題一的求解，在于對收益進(jìn)行最大化規(guī)劃，利用投資數(shù)量分別算出各種投資的收益，各種收益總和，就是投資方向和方法的判斷標(biāo)準(zhǔn)。

4.1.2

問題一模型的建立

目標(biāo)函數(shù)：Max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5約束條件：x2+x3+x4>=400x1+x2+x3+x4+x5<=1000;x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;4.1.3

問題一模型的求解運用問題中的各個約束，如平均信用等級約束、平均到期年限約束，及其一些特殊約束對其進(jìn)行求解。輸入LINGO：model:max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;x2+x3+x4>=400;0.6*x1+0.6*x2-0.4*x3-0.4*x4+3.6*x5<=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;x1+x2+x3+x4+x5<=1000;x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;end解決的結(jié)果為：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:29.83636Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:3VariableValueReducedCostX1218.18180.000000X20.0000000.3018182E-01X3736.36360.000000X40.0000000.6363636E-03X545.454550.000000RowSlackorSurplusDualPrice129.836361.0000002336.36360.00000030.0000000.6181818E-0240.0000000.2363636E-0250.0000000.2983636E-016218.18180.00000070.0000000.0000008736.36360.00000090.0000000.0000001045.454550.000000可得到結(jié)果：A證券的投資資金為218.1818萬元，B證券的投資資金為0，C證券的投資資金為736.3636萬元，D證券的投資資金為0，E證券的投資資金為45.45455萬元，在此情況下，獲益最大為29.83636萬元。4.2

問題二模型建立與求解

4.2.1

問題二的分析

欲知經(jīng)理具體的操作方法，只需在前面的約束中，增加一個借款約束即可，再通過同樣的方法，即可得到第二個全局最優(yōu)解，就可以知道結(jié)果。

4.2.2

問題二模型的建立

目標(biāo)函數(shù)：Max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5-0.0275*x6約束條件：x2+x3+x4>=400x1+x2+x3+x4+x5<=1000+x6;

x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;x6>=0;x6<=100;

4.2.3

問題二模型的求解

增加借款約束，再去掉借款利息而得到最大收益。輸入LINGO:model:

max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5-0.0275*x6;x2+x3+x4>=400;

0.6*x1+0.6*x2-0.4*x3-0.4*x4+3.6*x5<=0;

4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;

x1+x2+x3+x4+x5<=1000+x6;

x1>=0;

x2>=0;

x3>=0;

x4>=0;

x5>=0;

x6>=0;

x6<=100;

end解決的結(jié)果為：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:30.07000Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:3VariableValueReducedCostX1240.00000.000000X20.0000000.3018182E-01X3810.00000.000000X40.0000000.6363636E-03X550.000000.000000X6100.00000.000000RowSlackorSurplusDualPrice130.070001.0000002410.00000.00000030.0000000.6181818E-0240.0000000.2363636E-0250.0000000.2983636E-016240.00000.00000070.0000000.0000008810.00000.00000090.0000000.0000001050.000000.00000011100.00000.000000120.0000000.2336364E-02

所以，投資數(shù)量為A證券的投資資金為240萬元，C證券的投資資金為810萬元，E證券的投資資金為50萬元。其他總類不投資。

4.2.4

問題二結(jié)果的分析及驗證

借款影響了收益情況，總的情況增加了0.23364萬元，結(jié)果理想。表明在可以借款的情況下，只要投資合理，必定盈利。

4.3

問題三模型建立與求解

4.3.1

問題三的分析

在問題一的基礎(chǔ)上，計算出各種收益百分?jǐn)?shù)改變后的整體最優(yōu)解，即最大收益。再與改變前的最大收益做比較，若收益改變，則看是增加還是減少還是不變，若有改變，則作出調(diào)整；若無改變，則可不變。

4.3.2

問題三模型的建立

目標(biāo)函數(shù)：Max=0.045*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5Max=0.043*x1+0.027*x2+0.024*x3+0.022*x4+0.045*x5約束條件與問題一一樣。

4.3.3

問題三模型的求解

證券A的稅前收益增加為4.5%輸入LINGO:model:max=0.045*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;x2+x3+x4>=400;0.6*x1+0.6*x2-0.4*x3-0.4*x4+3.6*x5<=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;x1+x2+x3+x4+x5<=1000;x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;end解決的結(jié)果為：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:30.27273Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:3VariableValueReducedCostX1218.18180.000000X20.0000000.3436364E-01X3736.36360.000000X40.0000000.2727273E-03X545.454550.000000RowSlackorSurplusDualPrice130.272731.0000002336.36360.00000030.0000000.6363636E-0240.0000000.2727273E-0250.0000000.3027273E-016218.18180.00000070.0000000.0000008736.36360.00000090.0000000.0000001045.454550.000000證券C的稅前收益減少為4.8%輸入LINGO:model:max=0.043*x1+0.027*x2+0.024*x3+0.022*x4+0.045*x5;x2+x3+x4>=400;0.6*x1+0.6*x2-0.4*x3-0.4*x4+3.6*x5<=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;x1+x2+x3+x4+x5<=1000;x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;end解決的結(jié)果為：Objectivevalue:29.42400Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:3VariableValueReducedCostX1336.00000.000000X20.0000000.3064000E-01X30.0000000.4400000E-03X4648.00000.000000X516.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice129.424001.0000002248.00000.00000030.0000000.6360000E-0240.0000000.2440000E-0250.0000000.2942400E-016336.00000.00000070.0000000.00000080.0000000.0000009648.00000.0000001016.000000.000000與問題一的大致相同，改變了其中的某個到期稅前收益百分?jǐn)?shù)。投資策略在第一種是不改變，在第二種時，方案改變。A證券的投資資金為336萬元，B證券的投資資金為0，C證券的投資資金為0萬元，D證券的投資資金為648萬元，E證券的投資資金為16萬元。

4.3.4

問題三結(jié)果的分析及驗證

由結(jié)果可知，在A稅收前收益增加為4.5%時，對此銀行經(jīng)理最有利。飛機運送戰(zhàn)爭物資最佳方案模型分析本題的目標(biāo)是使在滿足運輸條件的前提下使運輸總費用最低。其中總費用包括：新飛機的購買費、執(zhí)行任務(wù)飛行員的報酬、閑置飛行員的報酬、休假飛行員的報酬、教練和新飛行員的報酬（包括培訓(xùn)費）。為了完成運送物資的任務(wù)，在飛行員和飛機的配置上必須滿足以下幾個條件：1.在上月執(zhí)行任務(wù)的飛機有20%損失的前提下，4個月中必須保證每個月至少有100、150、150、200架可運送貨物的飛機。2.在上月執(zhí)行任務(wù)的飛行員有20%損失的前提下，4個月中必須保證每個月有300、450、450、600可參加飛行的飛行員。3.在上個月執(zhí)行任務(wù)的飛機和飛行員損失20%且所有返回的飛行員均休假一個月的前提下，保證所有的剩余飛機及剩余飛行員（包括已培訓(xùn)過一個月的飛行員、閑置飛行員以及休假結(jié)束的飛行員），能保證本月供給，否則必須購買更多飛機，培訓(xùn)更多飛行員。模型假設(shè)1.假設(shè)每個月甲方運送戰(zhàn)爭物資順利，無任何飛機被擊落，只在他們返回途中有20%被擊落。2.假設(shè)只有剛執(zhí)行完飛行任務(wù)的飛行員才能休假。3.假設(shè)四個月中沒有其他人為因素和自然因素對甲方的空中運送計劃造成影響。三、模型建立因為執(zhí)行飛行任務(wù)以及執(zhí)行飛行任務(wù)后休假的熟練飛行員數(shù)量是一定的，所以這部分的費用是固定的，那么在本問的優(yōu)化模型中不予考慮。3.1決策變量設(shè)4個月開始時甲方新購買的飛機數(shù)目分別為架，閑置的飛機數(shù)目分別為架，4個月中，飛行員中教練和新飛行員數(shù)量分別為人，閑置的熟練飛行員數(shù)量分別為人，z為運輸總費用。3.2決策目標(biāo)運輸總費用最低，其目標(biāo)函數(shù)為：3.3約束條件3.3.1飛機數(shù)量限制由題可知4個月中執(zhí)行飛行任務(wù)的飛機分別為100,150,150,200架，但只有80,120,120,160架能夠返回供下個月使用。第1個月：第2個月：第3個月：第4個月：3.3.2飛行員數(shù)量限制由題可知4個月中執(zhí)行飛行任務(wù)的熟練飛行員分別為300,450,450,600人，但只有240,360,360,480人能夠返回（下個月一定休假）。第1個月：第2個月：第3個月：第4個月：3.4模型求解利用題目所給的數(shù)據(jù)，將這模型輸入LINGO：model:min=200*x1+195*x2+190*x3+185*x4+10*u1+9.9*u2+9.8*u3+9.7*u4+7*v1+6.9*v2+6.8*v3+6.7*v4;y1=70;y2-y1-x1=-70;y3-y2-x2=-30;y4-y3-x3=80;0.05*u1+v1=30;0.05*u2+v2-u1-v1=-450;0.05*u3+v3-u2-v2=-210;0.05*u4+v4-u3-v3=-240;end@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(u1);@gin(u2);@gin(u3);@gin(u4);@gin(v1);@gin(v2);@gin(v4);用LINGO求解可得：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:14988.87Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:3VariableValueReducedCostX10.0000000.000000X230.000000.000000X30.000000190.0000X40.000000185.0000U1453.78950.000000U2222.00000.000000U3240.00000.000000U40.00000010.21602V17.3105260.000000V20.0000006.650000V30.0000006.887500V40.00000017.02039Y170.000000.000000Y20.0000005.000000Y30.000000195.0000Y480.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice114988.87-1.00000020.000000200.000030.000000200.000040.000000195.000050.0000000.00000060.0000003.15789570.00000010.1578980.00000010.4078990.00000010.32039可得最優(yōu)解為x1=60，x2=30，x3=80,x4=0,y1=10,y2=y3=y4=0,u1=460,u2=220;u3=240,u4=0,v1=7,v2=6,v3=4,v4=4;目標(biāo)函數(shù)z=42324.40。模型修改如果每名熟練飛行員可以作為教練員,每個月指導(dǎo)不超過20名飛行員（包括他自己在內(nèi)）進(jìn)行訓(xùn)練，則應(yīng)將教練與新飛行員分開：設(shè)4個月飛行員中教練數(shù)量為u1,u2,u3,u4人，新飛行員數(shù)量分別為w1,w2,w3,w4人，其他符號不變。飛行員的數(shù)量限制約束為第1個月：第2個月：第3個月：第4個月：優(yōu)化模型作相應(yīng)修改，用LINGO求解得到：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:6474.705Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:4Elapsedruntimeseconds:0.05VariableValueReducedCostX10.0000000.000000X230.000000.000000X30.000000190.0000X40.000000185.0000U120.551040.000000U210.544220.000000U311.428570.000000U40.00000010.19016V128.972450.000000V20.0000006.867258V30.0000006.803203V40.0000007.190160Y170.