八章歐氏空間euclideanspace歐式h

Euclidean8.1定義和性幾何空間里向量的內(nèi)積是Euclidean8.1定義和性幾何空間里向量的內(nèi)積是通過(guò)向量的長(zhǎng)度和夾角來(lái)定義的，||||cos||表示的長(zhǎng)度，表示與定義 設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的一個(gè)向量空間，有一個(gè)VV到的二元實(shí)函數(shù)，記作(,Vk (,)(,) (,)(,)(,) (k,)k(,) (,0,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)(叫做向量的歐氏內(nèi)積，簡(jiǎn)稱(chēng)為內(nèi)積.V叫做對(duì)這個(gè)內(nèi)積來(lái)說(shuō)的歐氏例 (a,a,,a)',(b,b,,b)'Rn，規(guī)定與的內(nèi)積 n1 (abababRn1 2n()ab2abnab，不難驗(yàn)證，Rn對(duì)() 1()ab2abnab，不難驗(yàn)證，Rn對(duì)() 1 2n1一般，我們說(shuō)歐氏空 都是指對(duì)內(nèi)積(,)而言的歐氏空間例 在閉區(qū)間[a,b]上的所有實(shí)連續(xù)函數(shù)所成的向量空間C[a,b]中，對(duì)f(xg(xC[a,bb(f,g) fa (0,)(,0)0 若(,0，則0 (,k)k(,) (,)(,)(,)rs (aii,bjj)aibj(i,j)ji1j的在幾何空間中，向量的長(zhǎng)度為(,),類(lèi)似地，我們?cè)谝话愕臍W幾里2非負(fù)實(shí)數(shù)(,)稱(chēng)為向量的長(zhǎng)度，記為||知的性質(zhì)：|k||k|||，事實(shí)上，|k|(k,k)k2(,)|k|(,)|k||1長(zhǎng)度為1的向量稱(chēng)為單位向量.如果是一個(gè)非零向量|常稱(chēng)為把單位化.在解析幾何中，向量cos(,|||(,1明不等|||定理 ,，有|(,)||||當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)，則0k(,)2(,定理 ,，有|(,)||||當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)，則0k(,)2(,)(,若線性無(wú)關(guān)，則不論t取何值t0，從而(t,t0(,2()t()t20，二次三項(xiàng)式的判別(2())24(,)(0，即()2(,)()，兩邊開(kāi)方|(,)|||||因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)是嚴(yán)格不等號(hào)，所以若等號(hào)成立，必線性相關(guān).應(yīng)用到例1Rn就是，ababaaabb2222221 2n12n n112bbb2 f應(yīng)用到例2中C[a,bfaaan例 a,a,,aR，有|an(aaa 2.1ni ni|,|a},,|a n定義8.3非零向量的,arccos(,)0,|||關(guān)于長(zhǎng)度具有三角不等式||||||事實(shí)上||2,,2(||22||||||2||||)2，開(kāi)平方得|||||定義8.4若(0，則說(shuō)是正交的或互相垂直的，記為,arccos02在歐氏空間中勾股定理也成立，即：當(dāng)時(shí)，||2||2||2||2(,)2(,)(,在歐氏空間中勾股定理也成立，即：當(dāng)時(shí)，||2||2||2||2(,)2(,)(,)||2||2這個(gè)結(jié)果可推廣到多個(gè)向量的情形，即如果向量1,2,,m兩兩正交，有|12m||1|2|2|2|m|定義8.5設(shè)12nn維歐氏空間V(i,j)a1naaA2naannn我們稱(chēng)A為基12n的度量矩陣aijijjiajiAA又x11x22xnn，y11y22ynnVnni iji(,),)xyaxyiji1ji1jXx1x2xnYy1,y2,yn，則()XAYX0定理設(shè)12n12n是歐氏空間V(1,2,,n)(1,2,,n)T證設(shè)t1ntT2ntnnna1naaA2naannn則Ta1naaA2naannn則Tnnitlil，lk，nnnn(i,j)(tlil,tkjk)(l,kalktlitkjl1klkl1knB(i,jalktlitkjl1k8.2正交準(zhǔn)正交定義8.6歐氏空間的一組兩兩正交的非零向量叫做一個(gè)正交組，如果一個(gè)正交組中的向量都是單位向量，則這個(gè)正交組叫做一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交組.n維歐氏空間量，則稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正交基定理8.3設(shè)12rk1k2krRk11k22krr0則依次用iki(ii0.由于(i,i0kii1,2r，從而12r線性無(wú)關(guān).顯然，若12n)1,i(0,i 例1設(shè)Vn12n是)1,i(0,i 例1設(shè)Vn12n是Vx11x22xnnV(,i)x1(1,i)xi(i,i)xn(n,i)xi即1)12)2n)n.若y11y22ynnV，則還有則nn (,) x yj)yyxyXYij1 2nnn||(,)XX x22i基，將其正交化，然后單位化即可得到標(biāo)準(zhǔn)正交基.可以得出求V的標(biāo)準(zhǔn)正交基設(shè)12n令1122x11x1(2,1)0xx((, 1 1 再令33y11y220313y11y22131y1(11(31)，y(,1 0323y11y22232y2(22y(32，(,2 1(2,1) (,1 (3,1)(3,2)， (, (,12 j1(j,ij2,3,,i(, i 12,n單位化(2,1) (,1 (3,1)(3,2)， (, (,12 j1(j,ij2,3,,i(, i 12,n單位化,,,，12n便得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組12,n.可以看(1,2,,n12,nT是上三角矩陣，而且主對(duì)線上元素都是1，因此從基1,2,,n到正交1,2,,n的過(guò)渡矩陣也是上三角矩陣，而且主對(duì)角線上元素都是1.2已知11,1,0,021,0,1,0)31,00,1)41,1,1,1)R4的一組基,用施密特正交化方法,由,, 構(gòu)造R4的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 解11(1,1,0,0)(2,1)(1,1,1,0)(, 122 (3,1)(3,2)(1,,,1)1(,(, 1233 (4,3)(((, (, (, 123 再單1 ,|11 11 , ,2|2 21 3|3 3 (1,1,1,1|44 2241,2,3,4即為所求8.7An階實(shí)矩陣,AAAA1,2,3,4即為所求8.7An階實(shí)矩陣,AAAAE,A為正交矩陣正交矩陣是一種重要的實(shí)方陣，它的行向量組也是標(biāo)準(zhǔn)正交組正交矩陣的特點(diǎn)就是A的轉(zhuǎn)置等于A的逆.8.4ABn階正交矩陣,則ABA1也是正交矩陣證明ABABBAABBAA)BEA1A1A')1A1AA')1E1E,A1A1E定理8.51)設(shè)12n12n是歐氏空間V且(1,2,,n)(1,2,,n)U，Uuij 因?yàn)閕,jiu1i1u2i2unin，ju1j1u2j2unjn1,i(,)uuu u0,i 1 2i2ni而u1iu1ju2iu2juniunj是UU的第ij列處的元素，故UUE，即U2)12n與12n是歐氏空間V的兩組基，且uij(1,2,,n)(1,2,,n)U若1,2,,n是標(biāo)準(zhǔn)正交基，則i,j1,i(,)uuu u0,i 1 2i2ni是標(biāo)準(zhǔn)正交基，則(,,)(,,,)U1，U n n n8.3同8.3同定義8.8稱(chēng)歐氏空間V與V是同構(gòu)1)R上向量空間有VV，即存在V到V的雙射，使VkR()()()，(k)k()2)雙射還保持內(nèi)積不變，即V((())(,引理8.1n維歐氏空間VRn證明設(shè)12n是V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.x11x22xnnV，定義:VRn()(x1,x2,,xn)則是VRn的雙射，且在第六章中已證明是向量空間VRn的同構(gòu)映射.y11y22ynnV，有(,)(xii,yjj)xiyj(i,j)xiyinnnnji1jn((),())xiyi(,)i證明若歐氏空間V與V同構(gòu)，則作為向量空間V與V同構(gòu)，因此，它們Rn同構(gòu).由于同構(gòu)具有對(duì)稱(chēng)性和傳遞性，故V與V同構(gòu).8.4正交變定義8.9歐氏空間V的線性變換8.4正交變定義8.9歐氏空間V的線性變換稱(chēng)為正交變換，如果V|()|||例1R2中，把每一個(gè)向量旋轉(zhuǎn)一個(gè)角歐氏空間V的線性變換是正交變換的充要條件是V定理有((())(,設(shè)V，有(((((())(，因此|(|||”設(shè)是正交變換，則V，有|(|2||2|(|2||2|(|2||2|()|2(()(),()(|()|22((),())|()|2||2(,)2(,)(,)||22(,)|所以((())(,1)2)若12n是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則(1(2(nV3)在V證明1)2)設(shè)是正交變換，12n是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則i,)1,i((),())(,0,iij 2)3)設(shè)12n是VA是矩陣，即((1),矩陣，即((1),(2),,(n))(1,2,,n) ，則由2)(1(2(n)V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，而A可視為由標(biāo)準(zhǔn)正交基12n到標(biāo)準(zhǔn)正交基(1),(2),(n)的過(guò)渡矩陣，再由定理2.2A是正交矩陣3)1)設(shè)((1(2(n12nA12n是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，A是正交矩陣.由定理2.2知(1(2(n)也是標(biāo)準(zhǔn)正交基.于是x11x22xnnV，有()x1(1)x2(2)xn(n)n|)| ||2 i兩邊開(kāi)方，得正交矩陣的乘積與正交矩陣的逆矩陣也是正交矩陣.如果U是正交矩陣，那么由UUE可知，正交變換的行列式等于1或者1.行列式等于1的正交變換如，在歐氏空間中任取一組標(biāo)準(zhǔn)正交基12n，定義線性變換為：(11,(ii,i2,3,n8.5正交補(bǔ)、向量到子空間的距設(shè)VWV,V.如果W,(0與W令W{|(,)0,則W是V是一個(gè)子空間，稱(chēng)為W的正交補(bǔ)W的正交補(bǔ)是若子空間W1的所有向量都與W2正交，則說(shuō)W1與W2正交，記作若子空間W1的所有向量都與W2正交，則說(shuō)W1與W2正交，記作W1W2. 設(shè)W是歐氏空間V的一個(gè)有限維子空間，則VWW證明若W0}，則WV若W0}，取W的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基12sV,1)1,2)2,s)sW.令，則，且(,i)(,i)(,i)(,i)(,i)0(i1,2,s，于是W，且VWW又若WW，則(,0，從而0，VWW.上面證明中的通常叫做在W中的正射影.的距離.距離滿足三角不等式||||||.||2|()()|2||22(,)|||22||||||2(||||)2設(shè)W是歐氏空間 V的一個(gè)有限維子空間，y(%)則x(%)V3.94.0||||其中是在WW且證明注意到WW知||2||2||2||2||2這個(gè)結(jié)論叫做射影定理，可用來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題出最佳的a和b.出最佳的a和b.yx的一個(gè)近似公式解xyaxbab，使得下面的3.6ab1.0003.7ab0.903.8ab0.903.9ab0.8104.0ab0.6004.1ab0.5604.2ab0.35都成立.ab代入上面各式都發(fā)生一些誤差.于是想找到a,b使得上面各式的誤差的平方和最小，即(3.6ab1.00)2(3.7ab0.90)2(3.8ab(3.9ab0.81)2(4.0ab0.60)2(4.1ab(4.2ab最小a11x1a12x2a1sxsb1xaxaxb21 222sa11x1a12x2a1sxsb1xaxaxb21 222s an1x1an2x2ansxsbnn(axaxaxb2i1 i2is ix1x2xsx1,x2,xs稱(chēng)為方程組(5.1)的最小二乘解b1x1bx，B22， bxnsn(axaxaxb)距離表示出來(lái)就是|AXB2i1 i2is iAXx11x22xssL(1,2,,s)，由射影定理知，BL(1,2,,s)中向量的距離以正射影最小.當(dāng)AXAXB1,2,,sAAXB)1',2',,sAXB)0,0,0)A'AXA'B1.000.90 0.90A 0.60 0.560.35 AAaABb''AAaABb''A'A'(A)27.3a7b5.12取三位有效數(shù)字作為解a b所求表達(dá)式 y1.05x 若子空間W1W2，則對(duì)W1W2有W1，W2，故(,)0，從而0，即有W1W2{0}，故W1W2W1W28.6對(duì)稱(chēng)變換對(duì)稱(chēng)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)的線性變換滿足什么條件時(shí)，才能使得V有一個(gè)由的特征向量所組成的正交顯然，的特征多項(xiàng)式的根必須都是實(shí)數(shù)，設(shè)c1c2,cn是(重根按重?cái)?shù)計(jì)算)，i是屬于ci的一個(gè)特征向量，且1,2,,ni是單位向量，dimVn,,Vxiiyii，因?yàn)閚nij(iciinnnn((),)(cixii，yjj)cixiyj(i,j)cixiji1jn同樣的計(jì)算得到(,(cixiyii定義 設(shè)是歐氏空間V的一個(gè)線性變換．若,V都有((),)(,(,則稱(chēng)是V的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換 設(shè)是n維歐氏空間V的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換,1,2,,n是V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基．A 設(shè)是n維歐氏空間V的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換,1,2,,n是V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基．A(aij)nn是在這個(gè)基下的矩陣，則A'A，即A是實(shí)對(duì)稱(chēng)n證明由(iakik,1≤i≤n．1,2,,n是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，因?yàn)閗nnaji(akik,j)((i),j)(i,(j))(i,akjk)aijkkAA 設(shè)是n維歐氏空間V的一個(gè)線性變換若在V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是對(duì)稱(chēng)矩陣，則是一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換．證明若在V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,,nAaij)nnnn的．設(shè)xiiyiiiinn n((),)(xi(i)，yjj)(xiakik，yjjj kjnnn(akixik，yjj)ajixiyk1jj1in同樣的計(jì)算可 (,())aijxiyji．因?yàn)閕1j((),)(,())，即是一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換引理 A是一個(gè)nA的一個(gè)特征根，則存在不全為零的復(fù)數(shù)c1,c2,…,cn使得c1c1c1c ccA2c1c1c1c ccA22，記2 cccnnn于是，用''A'A'(A)'n注意到'cic0，所以，故i引理8.3n維歐氏空間的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換的屬于不同特征值的特征向量彼此證明設(shè)是n維歐氏空間V是分別是屬于(,)(,)((),)(,())(,)(．因?yàn)?，所?0．定理 設(shè)是n維歐氏空間V的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換，則存在V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)交基，使得nn1n1假設(shè)對(duì)于n－1維歐氏空間的對(duì)稱(chēng)變換來(lái)說(shuō)定理成立．對(duì)于n維歐氏空間V的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換，設(shè)是1是V中屬于的一個(gè)特征向量，可設(shè)1是單位向量．令WL(1，則W在之下不變．由定理8.11，VWW，且W在之下也不變．事實(shí)上，設(shè)W，W，我們有((),)(,())0，所以()W．在W上的限制 是W的W個(gè)對(duì)稱(chēng)變換，并且|的特征值都是的特征值．因?yàn)閐imWn1W假設(shè)存在W⊥的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,,,使 在這個(gè)基下的矩陣是實(shí) W角矩陣．因此1,2,,n就是V推論 設(shè)A是一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則存在一個(gè)n階正交矩陣U，使推論 設(shè)A是一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則存在一個(gè)n階正交矩陣U，使UAU12,n是標(biāo)準(zhǔn)正交基.((1),(2),,(n12,nA確定的線性變換，由定理2是對(duì)稱(chēng)變換，由定理3，存在標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,,n，在這組基下的矩陣是實(shí)對(duì)角矩B標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,,n到標(biāo)準(zhǔn)12,n的過(guò)渡矩陣U是正交矩陣，因此U'AUBB的對(duì)角線上是A的全部特征值.8.16nf(x1x2,xnXAX，存在正交線性XUY，Un階正交矩陣,使得X'AXY'U'AUYyyyn221 2n其中平方項(xiàng)的系數(shù)12,nA的全部特征值,f=的秩A的非零特征根的個(gè)數(shù)為了求出，可以用以下的方法．可以先求出一個(gè)可逆矩陣T，使得T1A的特征向量，AT中ARn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正n陣U．例12122A21求正交矩陣U，使得UAU為對(duì)角型矩陣解A的特征多項(xiàng)式EA(1)2(特征值為11,25，把1代入齊次線性方解A的特征多項(xiàng)式EA(1)2(特征值為11,25，把1代入齊次線性方程(EAX02x2x2x 2x12x22x30x1x2x32x2x2x 把5代入齊次方程組(EAX0得2x2x 2x14x22x32x2x4x 它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為3111將1,2正交化11(1,0,(2(0,1,1)1(1,0,1)(1,1,1(, 12 11121613|112|223|33112016261631U3，則U為正交矩陣，滿1213U'AU而且|U1|=|U||S|=1．顯然U1AU1=UAU．*例6.3ax2ay2aU'AU而且|U1|=|U||S|=1．顯然U1AU1=UAU．*例6.3ax2ay2az22axy2axz2ayz2b2by2bzd123令a13xb1Aa，Xy，Ba232zbaa333XAX2BXdxc13x1y，或者cc 231z zcc 331X1(CAC)X12(BC)X1d0 0 0CAC2 3xyz2bx2by2bzd(b,b,b)(b,b,b222,.1 31 2 3 方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程．譬如說(shuō)，當(dāng)全不為零時(shí)，就作移x1x2y1y22 z1z2xx1x2y1y22 z1z2xyzd22 1 2 3dd123 8.7酉空間介 設(shè)V是復(fù)數(shù)域C上的一個(gè)向量空間，有一個(gè)VV到C的二元復(fù)函數(shù)，記作(,)，具有以下性質(zhì)：,,V,kC (,;這里(,表示(,的共軛復(fù)數(shù) (k,)k(,) (,)(,)(,) (,是非負(fù)實(shí)數(shù)，(,0當(dāng)且僅當(dāng)(叫做向量的內(nèi)積，V叫做對(duì)這個(gè)內(nèi)積來(lái)說(shuō)的酉空間例1aa,ab,b,,bCn n1 (ababab，則Cn1 2nn同特征值的特征向量必正交等*8.8應(yīng)用和利用Maple計(jì)算舉1A2A的列確定的平行四邊形的面積為|A|同特征值的特征向量必正交等*8.8應(yīng)用和利用Maple計(jì)算舉1A2A的列確定的平行四邊形的面積為|A|證Axx,Ayx02 y2|A|x1y2，正好是以(x10)(0,y2為頂點(diǎn)，添加(0,0)(x1y2確定的矩形的面積，也就是A的列確定的平行四邊形的面積；若1,2成比例，則|A|0，這時(shí)1,2A的列確定0；下面設(shè)2不是1x10第一列的cx20，這時(shí)c垂直于 1x12c1L表示通過(guò)原點(diǎn)0和1的直線，則2L是通過(guò)2L2c1在該直線上，由于2與2c1L的距離相等，所以1,2的平行四邊形的面積等于1,2c11,2確定的矩形的面積8.18.2體積以類(lèi)似于2階的情況證明.2在向量空間模型中，文本泛指各種機(jī)器可讀的記錄.D（Document）,T(t1,t2,,tn，其中tk是特征項(xiàng)，1kn.n個(gè)特征項(xiàng)的文本，通常會(huì)給每個(gè)特征項(xiàng)賦予一定的權(quán)重表示其重T(t1,t2,,tn，其中tk是特征項(xiàng)，1kn.n個(gè)特征項(xiàng)的文本，通常會(huì)給每個(gè)特征項(xiàng)賦予一定的權(quán)重表示其重要程度.D(t1w1,t2w2,,tnwn，簡(jiǎn)記D(w1w2,wn)，我們把它叫做文本D的向量表示.wk是tk的權(quán)重，(D1,D2Sim(D,D)cos. |D||D 例如一篇文檔中有a、b、c、d四個(gè)特征項(xiàng)，那么這篇文檔就可以表示為T(mén)1(a,bcda、b、c、d30，20，20，10，那么該文本的向0202010).30，20，10，將共同的特征項(xiàng)都列出來(lái)，則D1的向量表示為00302010)D1D2例3在QR分解中,矩陣A被看作乘積QR,此處,Q為正交矩陣,R為上三角陣.該分解是對(duì)一系列線性無(wú)關(guān)向量作Gram-Schmidt正交化,因此,Q包含了正交的向量,R的列記錄了產(chǎn)生原向量的線性組合.命令格式為：QRdecomp(A,Q='q',rank='r',其中,A為矩陣,Q='q'—AQ因子,rank='r'—A的秩,fullspan=value—中包含空格(true>258A:=3>51666110006>3>31166631664利用Maple將向量正交化和單位化>vector([-1,-1,vector([-1,1,vector([1,0,:=GramSchmidt([u1,u2,:=GramSchmidt([u1,u2,u3],也可以用下面的方法>A:={vector([1,1,-1,-2]),vector([5,8,--vector([3,9,A:={[5,8,-2,-3],[3,9,3,9],[1,1,3>31166631664利用Maple將向量正交化和單位化>vector([-1,-1,vector([-1,1,vector([1,0,:=GramSchmidt([u1,u2,:=GramSchmidt([u1,u2,u3],也可以用下面的方法>A:={vector([1,1,-1,-2]),vector([5,8,--vector([3,9,A:={[5,8,-2,-3],[3,9,3,9],[1,1,-1,-2]>simplify(map(normalize,{3391 91, 91,29125117, 7, 7,3939 39777事實(shí)上,向量的Schmidt正交化過(guò)程實(shí)際上給出了矩陣的QR分解5用正交變換XUY，化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形f(x,x,x,x)x2x2x2x22xx2xx2xx2x1 1 1 3 f(x1,x2,x3,x4)X'AX，這 x111x012AX，x310x14A:=array([[1,1,0,-1],[1,1,-1,0],[0,-1,1,1],[->u1:=vector([-1,-u3:=evalm(U^(- x111x012AX，x310x14A:=array([[1,1,0,-1],[1,1,-1,0],[0,-1,1,1],[->u1:=vector([-1,-u3:=evalm(U^(-正交變XUY后，這里Yy1y2y3y4，原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)f3y2y2y2y. 例6求二次齊次表達(dá)式的極值.x,y,z,w是不全為零的實(shí)數(shù)求Sxy2yz正交變XUY后，這里Yy1y2y3y4，原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)f3y2y2y2y. 例6求二次齊次表達(dá)式的極值.x,y,z,w是不全為零的實(shí)數(shù)求Sxy2yzzw的最大值x2y2z2這個(gè)題目相當(dāng)于在條x2y2z2w21的條件下fxyzw=xy+2yz+zw的最大值解fxyzw=xy+2yz+zwxy則fxyzw)xyzwAzw0120100101201A這120由特征多項(xiàng)式|λEA|=0，易A的最大特征值為212所以依定理，得fxyzw21·x2+y2z2w22Sxy所以依定理，得fxyzw21·x2+y2z2w22Sxy2yzzw的最大值是21x2y2z227f(xxx2xx2xx2xx,求其x2x2x21時(shí)的 1 1 1 2值與最小值8用最小二乘法求解線性方程組在實(shí)際問(wèn)題中,由于誤差或者其他各方面的原因,很容易出現(xiàn)無(wú)解的方程組.這樣問(wèn)題的解決則變成求出一個(gè)“最優(yōu)”的近似解.Maple中,求最小二乘解要用軟件包linalg中的函數(shù)leastsqrs,它有兩種調(diào)用格式：其中，A為矩陣b為向量，S為線性方程組v為變量名>>S:={c[0]+c[1]+c[2]-3,c[0]+2*c[1]+4*c[2]-10,c[0]-9/10,9S:={ccc3,c2c4c10,ccc3,c 012 0>{c ,159,c91102再如>A:=b:=[0,1,-1>[0,0對(duì)于有解的方程組，leastsqrs命令與solve作用一樣>{x1,y1,z2>{x1,y1,z2下面介紹向量的外積和混合積8.13R3的向量xyzxyz下面介紹向量的外積和混合積8.13R3的向量xyzxyz 1 y1 z1,yzzy222222叫做向量的外積外積與都垂直，方向符合右手法則，即展開(kāi)右手，拇指朝上，其他四指從，拇指方向就是外積的方向.利用|||||||||sin,這里表示的夾角.1）2）(k)(k)k()3）()，(x3,y3,z3)z(,,)成右手系，混合積符號(hào)為正，否則為負(fù)3）若,共面，當(dāng)0垂直于所在的平面，也就是,所在的平面，所以(0，當(dāng)0，當(dāng)然有(0；反之，若()0，當(dāng)0時(shí)，垂直于,所在的平面，也就有(，因此與所在的平面共面，當(dāng)0，故,共面1)(,,)(,,)(,,)2)(,,)(,,) 三個(gè)向量,共面的充分必要條件是(,0第八章習(xí)8.1定義和1n維實(shí)向量，則下列各式中錯(cuò)誤的是A.22C．22第八章習(xí)8.1定義和1n維實(shí)向量，則下列各式中錯(cuò)誤的是A.22C．222.在歐氏空間C[2,2]xB